장음표시 사용
231쪽
113 SECTIONUM CONICA Ru MFio. os . etiam quantitatis 1 valor innotescet. In tria
r stulo enim CAD notus est angulus ACD,veia Iut aequalis angulo ANM , qui vel datus est, vel sumitur ad libitum . Quare, ubi duo ejus
latera , designata per quantitateS n,&m, similitet nota sunt 3 cognoscemus quoque teristium latus AD , quod exhibet quantitas r. Speciatim autem erit stata n , ubi valor ipsius m nullus reperitur ἔ quandoquidem , evaneis
scente CD , cadit AB super AD, & puncta
duo C, S D coeunt in unum. Hic etiam notare oportet, quod . perinde ae in locis ad ellipsim , valor parametri pnumquam negativuS possit oriri. Unde. quod in constructione locorum ad parabolam obis servavimus , hic quoque nequit locum hahere. Potius valor semidiametri t Oriti potest quandoque imaginarius. Et quum id continiagit , haud quidem putandum est, quaesitum locum contradictionem aliquam involvere; sed tantum per hyperbolas conjugatas ille debet explicari. Nec reticebimus , ejusdem semidiametri valorem posse etiam interdum nihilo aequalem inveniri; S in eo casu opta. ta hypeihola ad duplicem rectam reducetur. IX. IX. Oporteat itaque primo, construere m . aquatiοxem v - 2ον - axx:c ' oa ' abino. -- . -i Quia in ea deest terminus v ue utique fractio am:n , per quam ille in formula multipli- catus reperitur , debet esse nihilo aequalis . Unde , quum sit m m o I per ea , quae Paulo
ante notata sunt, erit quoque n m σοῦ adeo
232쪽
R LAE MENTA. aas Iam , instituta comparatione, habebit uep' at m a: c, ag ao, Ποῦ x - o, S ρρ fpit a - pre: at oa s ab . Unde , sicuti exprima harum aequationum insertur , quod ratio parametri ad diametrum debeat esse aequalis ei, quam habet a ad e , sic ex secunda erui iatur ρια-a , ex tertia r o , S ex quarta
Quum autem sit p:2t et arco erit etiam p ast ic , S pt aati t c . Est vero pi Eab . Itaque erit stati t c aab, S itHine , per quadratae radicis extractionem , fiet i 2x-t proindeque , designatis valoribus incogaliae x per portiones AN reis Flactae AB . R existente AL tecta , cui esse de-hent aequid istantes valores alterius incognitae I , construetur proposita aequatio in eum, qui sequitur, modum.
Ab indatur ex AL portῖo AP m a. Tum, ducta Fo , ipsi AB parallela , capiatur
super ea hinc inde a puncto F, tam portio FH, quam portio FK aete , M. Agatur postea HG . parallela rectae AL, S constituatur eadem H G talis longitudinis, ut sit HG ad HK in eadem ratione . quam habet a ad GDenique diametro HK descri hatur hypeiho-Ia , ita ut HG exhibeat, tam parametrum eius diametri, quam positionem suarum ordinatarum . Et hyperbola , subinde descripta,
locus erit quaesitus. Ducatur enim ex puncto aliquo M ordinata ad diametrum MO , quae extendatur
233쪽
ago SECTIONUM CONICARUM constructione MO M F - o. Sed , propter hyperbolam , MO quadratum est ad differeniat iam quadratorum Fo , FH , ut est HGad HK . Quare erit, ut AP an aa ad
Hinc in prima harum aequationum, subrogatis valoribus ipsarum m , ct n , si et aa:cc
pss: atcc , sive etiam p:2t aaa r ss. Unde inscrtur , rationem parametri ad diametrum aequalem esse debere ei, quam habet aaa adss. Et quoniam ex secunda aequatione eruitur ρ α --b,habebitur ope tertiae pr: t in et ab .s, sive etiam pr: 2t m ab: s. Quumque sit p: at - 2aa:st ; erit per substitutionem et aar: σα abcs c atque adeo r ω bs: 2 a. Denique , ob quartam aequationem, erit bb l pt: a ,- bbra in aa , sive etiam aa -hb : a pt: e , aut Iaa - bb M pr. Quum autem habeatur pet at m asta: is, fiet quoquv
234쪽
h sit aaa maior , quam ιb, valor ipsius t , vel nullus , vel imaginarius prodibit. Ponamus ergo , st sta majorem esse, quam ιδ . Et, de sigilatis valoribus incognitae x per portiones AN rectae AB , sit A L ea , cui reis quid istantes esse debent valores alterius in-pio.
cognitae I . Capiatur in AB portio AG - e. Et , ducta CD . ipsi AL parallela , fiat eadem CD a, iungaturque An . Abscindatur deinde ex AL portio Ap ira b , perque punctum F agatur recta Eo parallela ipsi AD.
piat postea FE ira bria a . Et hinc inde a punis et o Ε capiatur , lain portio Eid , quam portio ΕΚ - sse 2 bhss'. 4as). . Ducatur porro AG , aequid istans eidem AL , & constituatur eadem H G talis longitudinis , ut sit HG ad ΗΚ in eadem ratione , quam habet et aa ad ss. Denique diametro HK describatur hyperbola , ita ut HGexhibeat , tam parametrum cius diametri, quam positionem suarum ordinatarum . Et hyperbola, subinde descripta, locus erit quae situs. Quod ut palam fiat , ducatur ex puncto aliquo M ordinata ad diametrum MO,
235쪽
XI. In allato igitur exemplo, ut valor semidiametri t realis evadat, necesse est , ut aaa major sit, quam bb. Sed, si fuerit aaa minor , quam bue, tunc ejusdem semidiametrivator prodibit imaginarius. In isto autem casu , ut superius innuimus , explicandus est locus per hyperbolas conjugatas , ct fieri de-het ΕΗ, vel ΕΚ - thbss: qaa- ss: 2 .Nec dissicile id erit ostendere. Sumatur enim in altera hyperbolarum conjugatarum punctum aliquod M , ex quo ducatur ad diametrum ΗΚ ordinata MΟ.
ipsi AB occurrens in Ndamque, positis adhuc AN in x, S MN in F; erit Mo -3 - ax:c - b , St ΕΟ - sx: e ' hst aa . Sed in isto casu Mo quadratum est ad summam quadratorum ΕΟ, ΕΗ, ut HG ad HK. Quare, quum
236쪽
ELEMENTA. a 3 2 au . c axx : cc ab lao in o. Fieri etiam potest . ut sit gaa - bb . Et tunc, evanescente valore semidiametri t, verintetur hyperbola in rectas duas, in centro E sese mutuo secantes . Id vero ut ostendamus, addatur utrique aequationis construendae parriti communis quantitas a naxx . cc t aabχ: c fιθ - au ; & erit γ' - 2am. c t aa xx q. cc
aequationes ad lineam rectam nos ducunt. Et quidem, quod evanescente valore se iamidiametri t, hyperbola verti debeat in reridias duas, in centro sese invicem secantes; id generaliter vidimus supra , ubi sectionum coisnicarum ortum exposuimus. Quod autem l cus explicari debeat per hypei bolas conju-jugatas , quum ejusdem semidiametri valor prodit imaginarIus ς id uniuersaliter pendet ex eo, quod in hyperbolis conjugatis quadratum cuiusque ordinatae proportione correspondet, non quidem disserentiae , sed summae quadratorum , quae fiunt ex seinidia meistro , S portione ejus , ordinata , ct centro comprehensa. Hinc notetur hoc Ioco velIm , quod si construendus sit Iocus aliquis ad hypeiho. Iam , relate ad diametros consideratam , per
reductionem ejus ad formulam simplieissimam, & aequatio reducta formam induat, non
237쪽
locus per hyperbolas conjugatas poterit exisplicari , quum sit, ut π ad m , ita quadratumo νdinatae di ad summam quadratorum , quae sunt ex semidiametro d , & portione x, cenistro & ordinata comprehensa. Neque vero mirum censeri debet, quod id superius a nobis non fuerit adnotatum . Si enim reductae aequationis mu ε n - xx f dstermini omnes multiplicentur per u , iidem
quae proculdubio per hyperbolas principales debet explicari. Unde , per reductionem aequationis ad sormulam simplicissimam semper casus vitati potest , qui ad hyperbolas coniugatas nos manuducit . xi 1. XII. Caeterum , in compositione locoruma m ad hyperbolam , relate ad diametror considera
--... ad tam , ιllud etIam sedulo notara debet, quouexistentibus x , Scy duabus construendae ae-- συι quationis incognitis, fieri quandoque possit, ut designari debeant per potiiones AN rectae valores incognitae I , perque rectas NM ualores alterius incognitae x. Nec sane in utraque loca construendi ratione difficile et it definire , quando demum id fieri debeat. Nimirum, quum construitur locus, petreductionem aequationis ad formulam simplicissimam , fieri id debet, quotiescumque sinaequatione reducta per fiastionem aliquam multiplicatum repetitur quadratum , vel inis .gnitae x a vel eius , quae ex ipsa dependet.
238쪽
ELEMENTA. Sic aequatio mxx:n - 2 mx f mπ αα 'ν ' avmutationem illam exposcit. Nam , faciendo x - - et, & ' ' o u, habebitur loco eius haec alia metor π-uu aa: ubi per ha-ctionem men reperitur multiplicatum quadratum incognitae et , quae dependet ex x a
Quotiescumque vero constru tur locus, per reductionem aequationis ad sormulam composita in , illud idem fieri debet , quando in aequatione construenda quadratum incoiagnitae x ab omni fractione immune reperitur. Sic sequens aequatio xx atrv:c t aaγν: acc- aax - 2b l cc o eκigit quoque eam variationem, quia quadratum incognitae x illud est , quod in ea omni fractione denuda.
Interim, quum construitur aequat Io,per reductionem ad sormu Iam compositam , ea demque natura sua mutationem illam exposcit , necesse est , ut etiam in formula incognitae varientur . Sic formula, cum qua cominparanda est aequatio xx - 2axf. c l stavracc
Sed hic quoque , perInde ae in ellipsi.
Diendrin e st, variationem istam non esse ahis solute necessariam . Nam in priore exemplo, etsi per reductionem habeat ut mee cum uu--ὴ multiplicando tamen omnes aequati
239쪽
136 SECTIONUM c NICA Ru Mn s terminos per π, eosdemque dividendo me
nus t m - az f naa I m : ubi per fractionem ni m multiplicatum reperitur quadratum inis cognitae a , quae dependet ex F I qum hahea tur ν ' a u : licet ipsa aequatio explicari debeat per huperbolas coniugatas. Atque ita quoque in secundo exemplo, etsi aequatio sit xx - 2av : c ' assu : Ecc sax - ais lectio; multiplicatis tamen terminis omnibus per are, iisdemque divisis peraa , habebitur accxx et aa - μυς a s v --ψccx: a - 4bc : aa ' acue raa-o: ubi quadratum incognitae ' omni vacat fractione. Nee dissicile erit intelligere , quod hoc idem praestati possit in omnibus aequationibus,quae ad hyperbolam , relate ad diametros consideratam , nOS manuducunt.
XIII. Illud quoque nolim h Ic flentio praeterire , quod sicuti loca ad circulum reis ferri debent ad illa, quae sunt ad ellipsim; sie inter laea ad Operbolam neciatim consideranda sint eo , qua hyperbola aquilatera teris
minantur. Innotescent autem hujusmodi lora. quotiescumque in eorum constructione oriatur parameter aequalis diametro, ad quam reis
Proponatur, exempli gratia, construenda aequatio νγ - 2o' ' aa m xx - 2bx,qum ad hyperbolam , relate ad diametros consideis
per substitutionem rara ---bb aequatio reducta. Du-
240쪽
Dueatur inm in subjecto plano recta FIO. quaevis AB, S designentur per portiones eius
AN valores incognitae x. Quumque in reductione habeatur x- Α - u , abscindatur ex
AB portio AC - δ. Et quoniam fit quaelibet
CN - x--b, designabunt portiones istae CN valores incognitae c. Sit deinde CD recta , cui esse debene aequid istantes ipsis NM,quae valores referunt alterius incognitae di . Et quoniam in reductione habetur quoque' - a - e , abscinis
datur ex CD portio CE in a; & ducta per punctum E recta EF , ipsi in parallela , set quaelibet o M in F - ο ς adeoque ipsae OMvalores reserent incognitae E.
Denique . quum aequatIo reducta sit xa in au - bb, liquet, quod, si hinc inde a puncto E capiatur, tum EF . cum EG α β , de-heat esse FG quaesitae hyperbolae diameter. Et quemadmodum, ducta FH, ipsi CD parallela, diametri eius ordinatae debent esse aequid iis stantes tectae FH ; ita si fiat, ut FH sit ad FG in ratione aequalitatis, erit eadem FH para- meter illius diametri. In constructo igitur loco Inventa est parameter FH aequalis diametro FG , ad quam
refertur. Unde consequens est . ut hyperbola , per quam locus terminatur , sit aequi- Iatera : adeo nempe , ut non modo diameter
FG adaequet parametrum suam FH , sed Romnes aliae diametri parametris suis aequales esse debebunt. Caeterum , quum hyperbola aequilatera circulo correspondeat, quaeri hic potest, cur