장음표시 사용
241쪽
13 IECTIO NuM EONICA Ru Mhyperbola fiat aequi latera, per solam aequalitatem parametri cum diametro , ad quam reser tur , sed non item eli ipsis , quippe quae ut in
circulum abeat, requiritur quoque , ut ordinatae rectos cum eadem diametro angulos constituant.
Pendet id igitur ex eo , quod in qualibet ellipsi binae ad sinat conjugatae diametri aequales, tam inter se , quam cum parametris suis . Unde sola aequalitas parametri cum diametro efficere nequaquam potest, ut ellipsis vertatur in circulum , quum aequalitas illa
etiam in ellipsi possit haberi.
De constructione locorum ad perbolam, relate ad GImptotos consederatam
I. Radita constructione locorum ad α hyperbolam, relate ad diametros consideratam ; ostendemus modo , qua ratio ne construenda sint loca illa , in quibus hyperbola sub contemplatioem venit relate ad asymptotos . Et ut ab ea methodo ordiamur, quae formulam adhibet, casum omnium sim inplicissimum continentem, sciendum est , quod in hyperbola , relate ad asymptotos considerata,casus simplicissimus habeatur, quum ejus punera omnia ad aliquam ipsius athmptotam rcferuntur per reuas , qui sint olymptoto at
242쪽
E L E M E N T A. M' Sit ergo A centrum hyperbolae, fiatquo Fro. 39. etiam AB , AC duae eju3 asymptoti . Capiat ut in hyperbola punetiim aliquod M, ex quo demittatur ad asymptotum AB rem NN , asymptoto alteri AC parallela . Tum Ponatur AN - x , Sc MN . Jamque. ob naturam hyperbolae, rediangulum ANM est ejusdem tibique magnitudinis . Quare , si
quantitas ejus vocetur Oa, erit hypeiholae Io-ςalis aequati O v M oa. Unde semper ac aequatio aliqua ad istiusmodi formam reduci iapoterit 3 tunc ea ad hyperbolam , relate ad asymptoto consideratam , proculdubio nos
Sed notetur hoc loco velim, quod etsi punctum M capiatur in hyperbola opposita, adhu p tamen aequatio localis hyperbolae sit μ' - os . Nam , licet in hoc casu habeatur, tam AN -x,quam MN em --ν; nihilominus rectangulum AN M semper per v ex pri. mi debet , quum notum si ex Algebrae E ementis , positivum esse produetum, quod oritur ex multiplicatione duarum quantita.
Notatu etiam hic dIgnum existimo, quantitatem cujusque rectanguli ANM , perua a nobis designatam. vocari communiter
potentiam hyperbolae; nec aliter, datis asymptotis , hyperbolam definiri, quam data etiam ejus potentia . Qua autem rat vine hyperbo
Ia in plano describi possit , ubi una cum ejus asymptotis data est quoque eiusdem potentia a id quidem inserius ostendemus. ιI. Neque veto difficile erit definire,
243쪽
14o SECTIONUM CONICA Rura qualis esse debeat aquatio , quae subinde re- ei polsit, ut formam induat istius v - aa.
Primo enim . quemadmodum in formula in-eognitae duae simul multiplicatae reperiuntur, sic etiam non poterit aequatio aliqua ad eam formulam revocari, nisi contineat productum duarum incognitarum.
Sed produinim istud necesse est quo
que , ut vel cum nullo earundem incognita rum quadrato , vel cum uno tantum conjungatur : adeo nempe , ut si ambo fuerint in aequatione quadrata incognitarum , locus nunquam erit ad hyperbolam, relate ad suas asymptotos consideratam , sed, per regulas superius traditas, erit, vel ad hyperbolam, consideratam relate ad diametros, vel ad ellipsim, vel etiam ad parabolam. Proponatur, exempli gratia , sequati v ax-Θ - ac - o , ubi productum incognitarum cum nullo earum quadrato conjungitur. Fiat γ - a - et , si ve etiam I
i et i a ; S erit per substitutionem xa ' ax
ope substitutionis se ab- ac M o . Fiat demum ab f aciest 3 Sc erit ua fm o, sive etiam uet faequatio reducta. Proponatur etiam aequatio ax - xx lv f sic in o , ubi productum incognitarum cum uno tantum earum quadrato coniungitur . Capiatur x f h li a ; sive etiam κω u - b. Et ponendo ubique u h loco κ, Sua -- abu bb loco xx ; erit ou ,- au fabu
244쪽
sue etiam ua aequatio reducta. III. Sed exemplis modo ostendamus, qua ratione, per reductionem aequatianis ad formulam simplicissimam, loca ad Operbolam , relate ad assidimptotos consideratam, consertiantur. Primo itaque proponatur construenda aequatio v - ax -- by - ac o. quae, ut paulo ante ostentum est , reducitur ad se Τ, ponendo F - a m a , x-ώ - u , ct ac - Τ. Dueatur in subjecto plano recta quaevis AB, ex qua abscindatur portio AC in h. Jamque, si designentur per portiones AN ipsius AB valores incognitae x , fiet unaquaeque reliquarum portionum CN - x - δι adeoque, quum habeatur κ - θ u , ipsae CN designabunt valores incognitapu. Sit deinde CD recta , cui esse debent ae- quid i stantes ipsae NM , quae valores reserunt alterius incognitaedi. Et quoniam in redir-ctione habetur θ -- a m a , abscindatur ex
CD portio CE in a ; S ducta per punctum E recta EF , ipsi CA parallela , fiet quaelibet
ΟM in V - a ; atque adeo ipse O M valores reserent incognitae a.
Denique, quum aequatio reducta sit saera F, liquet, debere esse punctum E centrum describendae hyperbolae , & rectas ΕD , EFasymptotos ejus . De Icti hatur ergo hyperbola ista . sed ita tamen , ut si s potentia eius,
245쪽
141 SECTIO NuM CONICA Ru M& eadem erit terminus loci propositi. 3V. IV. Ut autem ostendere possimus , h perbolam istam σι limm , ad quam refertur
a zz aduerte te, quod ii su per AB capiatur ad p.r-- tem oppositam portio AG - c , hyperbola quidem principalis nulli mode secet tectam Fio. ΑΒ , ejus autem opposita transite debeat per I oo. punctum G . Nam in aequatione , de qua agiis
Id quum ita sit, capiatur primo in hyperbola principali pundium aliquod M, ex quo demittatur ad a sumpto tum BF re a Mo. ipsi ED parallela , conveniens cum Adin N. Jamque, positis AN - x, Se MN - θ; erit ex constructione CN, sive m in x -ΟM-v-a, & rectangulum EO M in xyn b. Unde,quum sit f, sive etiam ab ac potentia hyperbolae erat xy-ax-. hy obra ab oc, sive etiam v --ax-b, ae o, quae est aequatio construenda. Ducantur nunc ex punctis A,& G in yperbola opposita rectae AH, GX, ipsi ED parallesae . Tum capiatur secundo puta tum aliquod M in portione HX ipsius hyperbolas oppositae,ex quo demittatur pariter ad as vinpio tum EF redi a Mo , eidem ED parallela, conveniens cum AB in N . Et quamquam in isto casu maneat AN - x, fiet twmen tN, sive EO - θ - x, Quumque hic poni debeat MN - - y ; erit Mo m -I '' proinde-
246쪽
CapIatur tertio in portione hyperbolae oppositae ΗΚ punctum quodvis M , ex quo etiam ducatur ad asymptotum EF recta Mo. alteri ED parallela , conveniens cum AB in N . Patetque . in isto casu seri, tum AN -- x , cum MN - - γ δ adeoque esse , ut in casu praecedenti, CN, sive Eo in b. x , &MΟ --l a . Quare , ob hyperbolae na
Capiatur denique punctum M in portione reliqua ΚΖ hyperbolae oppositae , ex quo similiter demittatur ad asymptotum EF recta Mo , alteri ED parallela , conveniens cum AB in N . Et quoniam in isto casu fit AN -- x , Sc MN - ν; adhuc erit CN, si ve b - x, & MΟ- - γ' a. Unde , ob naturam hyperbolae, scmper habebitur
quatio altera , superius allato , ax -- xx f '' θ -- ω - o , quae, ut ibidem ostensum sesum μοι. est, reducitur ad aem Τ. ponendo x ' b ra a ruta.
Ducatur in subjecto plano recta quaevis Ior. AB ,& per portiones ejus AN designent ut valores incognitae x. Quumque habeatur x fh nn a, capiatur super AB ad plagam opposies tam potito AC ra , . Et quoniam fit quaelibet CN in x 'b, des gnabunt portiones CNvalores incognitae M.
Sit deinde CD recta , cui esse debent ae quid istantes ipsae NM , quae valores reserunt alterius incognitae ν. Et quoniam in redu-
247쪽
x44 IECTIONUM CONICARUM 'ione habetur ' ab idi me,sive etiamylalb--κ - Σὴ capiatur super CD ad partem contrariam , tum portio CE in al B, cum portio EF aequalis ipsi ACJamque,comis pleto parallelogrammo AB, ductaque FG, ipsis NM occurrente in o , fiet unaquae qua
Yalores referent incognitae a.
Quoniam autem rectae istae OM coris respondent portionibus ipsius FG a utiquaerit F centrum describendae hyperbolae , tum item FG , FD erunt asymptoti ejus . Vtrum portiones illae Fo tunc demum reperiuntur aequales ipsis CN, ubi aequales sunt duae AC, FG . Unde procul est, ut eaedem Fo designare queant valoreS incognitae a ue adeoque, etsi Wquatio reducta sit tia ν, multum tamen
abest, ut sit Fquaesitae hyperbolae potentia.
Itaque , ut definiamus potentiam destriis hendae hyperbolae , sit AG ad FG, ut est v adm . Quumque hac ratione fiat quaelibet Foin mur u , si ponamus ulterius , quod quaestii potentia sitra , erit eiusdem hyperbolae localis aequatio mua : u in re, sive ex iam ua muni m. Erat autem ua m F. Quare , instituista comparatione , fiet urg :m F. Unde in fertur ra in vis: nue adeoque potentia hyper. holae describendae debet esse vis: s. v I. VI. Hic etiam , ut ostendere possimus,
248쪽
xLEMENTA. a Mile), hyperbola quidem principalis transire deaheat per puncta Κ. Sc LI ejus autem opposita nulli mode secet rectam AB. Nani in aequati ne, de qua agitur,si poliatur θαὐ,fiet
Id quum ita sit , extendatur Ati usque donec hyperbolam prinei palem secet in i , Rcapiatur in portione eius lL , aut ΚX punctum aliquod M , ex quo demittatur ad asymptotum FG recta MO. alteri FD parallela, eonveniens cum AB in N . Jamque , positis AN x , S MN - ν; erit ex constructione
--hπ Σαν; quae, translatis terminis omnibus
ad eandem partem, & posito locos valore eius ab ' bbi ac, redueitur ad υ l ax- xxst by -- ac M o. Capiatur secundo in portione hyper-holae principalis KL punctum aliquod M , e Mquo etiam dc mittatur ad asymptotum FG tecta MO , alteri FD parallela , conveniens cum AB in N . Et quonitim in isto casu fit AN in x , ct MN- di 3 erit adhuc CN
249쪽
Capiatur tertio in portione reliqua hyperbolae principalia IZ punctum quodvis M, ex quo ducatur pariter ad asymptotum FGrecta MO , alteri FD parallela , conveniens cum AB in N. Patetque, in hoc easu fieri AN - - x,& MN M 3.Hinc erit semper CN tradidi x ' , , FO mx: n f ml: n , Sc MO in γ' a s b - x , Quare , ob naturam hypeihΟ-lae , habebitur semper aequatio xy f ox --
Capiatur demum in hyperbola opposita punctum quodvis M , ex quo smiliter ducatur ad asymptotum FG tedia MD , alteri FD Parallela , quae conveniat cum AB in N Quiimque in isto casu fiat, tum AN ι x. cum MN di , erit adhuc CN - x f b,
κ: proindeque. ob hyperbolae naturam, adhuc habebitur eadem arquatio v l ax - - ' b
Fieri autem potest, ut puncta duo H,& Κ coeant in unum , S ipsa AB hyperbolae
tangenS evadat: nimirum, quum habetur a mgc , quandoquidem in hoc casu radices duae aequationis ax. . xx. ac - o fiunt aequales
inter se . sed contingere quoque potest , ut recta AH nec secet, nec tangat hyperbolam: scilicet , si a minor sit, quam sic ς quum in isto casu eiusdem aequationis radices duae evadant imaginariae. VII. Atque ita quidem constiuuntur
250쪽
consideratam, per reductionem suarum aequationum ad formulam siniplicissimam . Videa
perbolam construi debeast, reducendo eo-ιrum aeqτationes ad formulam, quae sit oma tum maxime composita . Quem in finem , qu ilis sit istiusmodi formula , operae pretium est , ut primo loco definiamus. Nimirum , referendo hyperbolae puncta omnἰa ad rectam politione datam , per rectas alias , quae sint uni ex asymptotis parallelae; perspicuum est , tria contingere posse. Primo , ut recta positione data sit a tymptotus altera . secundo , ut sit aliqua eius parallela. Et tertio demum , ut angulum cum eadem asymptoto constituat. Unde , sicuti ex tribus hisce casibus priores duo sub tertio conti nentur ; ita & formula hyperbolae , relate ad
assymptotos consideratae , omnium maxime composita , ea erit, quae ex tertio illo casa deducitur.
Sit igitur Ε centrum huperbolae; sintque Pio. etiam EM , ΕΚ binae eius asymptoti. Agatur i o a. recta AD , asymptoto ΕΗ parallela ; S per aliquod ejus punctuna A ducatur quoque obliqua AB.sumatur postea in AB punctum quodvis C , & ductis rectis AP, CD, aremptoto alteri EK aequid istantibus, ponaturAC M u , CD m , AD m s , AF ρε
Capiatur nune In hyperbola punctum aliquod M , ex quo demittatur ad asympto tum E H tecta Mo , alteri ΕΚ parallela, couo