Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

251쪽

derator, omnium maxime compositam , commperta aequatio nobis exhibebit. Perspicuum est autem , in huiusmodi formula productum duarum incognitatum

v cum uno tantum earum quadrato conjungi ; nec quidquam obstare , quin quadratum illud ab ipsa formula deficiat nimirum, si suerit m radio. Unde veritas regulae , superius traditor , pro cognoscendis locis ad hyperbolam , relate ad suas asymptotos consideratam, ex ipsa eorum formula generali prono alveo fuit.

VIII. Sed ostendamus modo , quo pacto, ope inet enta formula generalis, construantur loca ad Θperbolam , relate ad ejus asymptotor consideratam. Nimirum, comparationis, opedes niendae sunt primum quantitates , quae locum determinant. Et siquidem omnes tim

252쪽

ELEMENTA. 24'veniuntur positivae , danda est rectis , quas referunt , illa eadem positio , quam in sgurasormula: reperiuntur habere. Sed si earum aliqua prodit negativa I tunc recta , quam exhiAhet, capienda est ad plagam oppositam. Ouantitates porro , quae locum dete minant, sunt m, n, π,-r, s. Verum, instituta comparatione , dumtaxat ipsarum ρρ, ρ ιν valores innotescunt. Et, quantum ad priores duas m , Sc u . non nisi ratio , quam habene inter se, cognita fiet. Hi ne valor unius ex iis sumi poterit ad libitum. Et tunc , per cognitam rationem , quam inter se habent, etiam valor alterius notus evadet. Praestat autem, utcumque assumere valorem ipsius n, quem tamen positivum semper esse oportebit. Determinatis valoribus ipsarum m, & π, etiam quantitatis a valor innotescet. In triana

gulo enim CA D notus est angulus ACD,velut aequalis angulo ANM , qui vel datus est, vel sumitur ad libitum . Quare , ubi duo ejus latera AC , CD, dc signata per quantitates S m, similiter nota sunt 3 cognoscemus quoisque tertium latus AD , quod exhibet quantitas r . Speciatim autem erit 3 tm n , ubi valor ipsus m nullus reperitur; quandoquidem, evanescente CD,cadit AB super AD, 2 puncta duo C , S D coeunt in unum Illud quoque sedulo hic notandum extinstimo, quod ubi valor ipsius π , quae hyper-holae potentiam refert , prodit negativus3 tunc ipsa hyperbola describenda sit ad partem alteram asymptoti ΕΗ . Nec obscura est huius rei ratio. Nam negatio illa, non tam assi

253쪽

aςo SECTIONUM CONICARUM cit hvperbolae potentiam, quam rectangulunt ΕΟM , cui potentia illa est aequalis . Unde, quum ordinata OM capienda sit ad partem contrariam ἔ ornnino necesse est, ut hyperbola describatur ad partem altetism ipsius ΕΗ lx. Oporteat itaque primo , conseruero aquationem v - ax - Θ - sic o , qua locam exhibet ad perbolam , relate ad a mptotos consideratam . Quia in ea deest quadrata tum xx δ utique fractio m : n, per quam illud in formula multiplicatum reperi ur , debet esse n hilo aequalis . Unde , quum sit m αα ος Per ea, quae paulo ante notata sunt, erit quoque utras; adeoque ipsa sormula fiet v f υ

Jam , instituta comparatἰone habebitur.

res ipsarum ρ,&r , ita , substitutis valoribus hisce in tertia aequatione, fiet ab . . pst Σα ε

ac,hoc est παzab f ac: proindeque,designatis valoribus incognitaex per portiones AN rectae AB , A existente AL tecta , cui aequi-

distantes esse debent valores alterius inc gnitae ν . construetur proposta aequatio inoum , qui sequitur a modum .

Abstindatur ex AL portIO AF in a. Tum , ducta FR , ipsi AB parallela , capiatur super ea portio FE b . Ducatur porro per punctum E recta ΕΚ , aequid istans ipsi AL. Denique centro Ε . & asymptotis EH , ΕΚ deseri hatur hyperbola talis, ut eius potentia se ab l ae . Et hyperbola, subinde descripta,

Iocus erit quaesitus.

254쪽

etiam x ax - Θ ac m o , quae est aequatio construenda. X. Oporteat etiam, construere suari

simititer locum exhibet ad Θperbolam, relate ad ejus aBmptotor consideratam . Quia hic μώ- . radest quadratum xx 3 instituta comparatione. habebitur primo mi π αα - a: c. Quare , alia sumpta n m c, fiet m a. Comparatis autem terminis reliquis , habebitur quoque nr: sma, tur: r f qm Θ , & nrq et a nn: s in ac, Hinc in prima harum aequationum, subinrogato valore ipsius u , fiet orrma, sive et lam as: c . Et quoniam ex secunda quatione eruitur q - , mri r; per substitutionein fiet quoque ρ - ε l ao: c . Quumque demum per tertiam habeatur ne rς-acs:n; sim stitutionis ope fiet etiam π - abi:ς' a 3s: cc --as adeo nempe, ut nisi sit,cl ao major, quam ec, valor ipsius v prodibit, vel nullus, vel negativus. Ponamus ergo , he ' aa maiorem esse. quam ce . Et, designatis valoribus incognitae x per portiones AN rectae AB, sit AL Fio. ea , cui aequidistantes esse debent valores alis ro

255쪽

SECTIONUM CONICA Ru uterius incognitapy . Capiatur in AB portld AC it c . Tum, ducta GD , ipsi AL parallea Ia , fiat eadem CD in o , jungaturque Ani Capiatur deinde super A L, ad partem oppositam portio AF - b ' aa: c , perque punctum F agatur recta ΕΗ , parallela ipsi AD . Fiat postea FE in as: c , ct ducatur per punctum Ε tecta ΕΚ aequid istans rectae A L. Denique centro E , ct asymptotis ΕΗ, ΕΚ describatur hyperbola , quae habeat pro

sua potentia quantitatem abs r c ' a 3s : ce

as. Et hyperbola , subinde descripta , locus erit quaesitus . Quod ut palam fiat, ducatur ex puncto aliquo M ad asymptotum ΕΗ recta Mo , alteri ΕΚ parallela , quae occurrat

ipsis AB, AD in punctis N , & R ι positisi

bebit aequationem propositam v - axxt c ε

XI. In allato igitur exemplo , ut valoe ... potentiae v Positivus evadat , necesse est, ut

256쪽

ELEMENTA.ut hc aa major sit, quam cc . sed , si ruerithe ' au minor, quam cc ἔ tunc ejusdem potentiae valor prodibit negativus . In isto autem casu , ut supcrius innuimus , describe n. da est hypeihola ad partem alteram asympi inti ΕΗ , R esse debet as --. alI I c -4 a 31z cc potentia ejus . Nec difficile id erit ostendere, Nam , ducta adhuc ex aliquo hyperbo

eruitur aequatio construenda v - oxx :c l

Fieri etiam potest, ut si t be t aa in re Et tunc, evanescente hyperbolae potentia, cum suis asymptotis hyperbola ipsa confundetur . Id vero ut ostendamus , ponatur inaequatione construenda loco h valor ejus caa: G S erit ara: c 'ex - aax: c f vsic o . Quumque aequatio ista dividi possest per binomium x l a , ct ex divisone oria tur quotienS3 ax: c t ciliquet, eandem componi ex duabus hisce aequationibus primi gradus I ax: c ' c o , ct xla o. Iam primae harum aequationum sit satis Per asymptotum EF . Manentibus enim om

257쪽

x 4 SECTIONUM CONICARUM lubus,ut supra,invenitur semper NR ax: Unde,quum sit AF, sive RO in blaa:c t e, erit No m - axec: proindeque . posita

sve etiam 3 - ox: c c m o . Quod vero se Acundae satis iaciat asymptotus altera in ; id liquet ex eo, quod, producta BA , usque u nee secet EΚ in G , fiat AG m a. III XII. Caeterum, in compositione locorum.. ,.s L. ad hyperbolam , relate od addimptotos consideratam , illa d pariter sedulo notari debet, quod existentibus x , S I duabus construendae aequationis incognitis , fieri quandoque possit, ut desienari debeant per portiones AN rectae

d. . a. AB Valores incognitae' , perque rectas NM ualores alterius incognitae x . Nec sane dissicile erit definire, quando demum id fieri de-

Nim rum id fiat oportet, quotiescum. que in aequatione proposita una cum producto duarum incognitarum reperitur quadratum incognitae F . Sic aequatio v lv b. sic o mutationem illam exposcit, quia quadratum incognitae' illud est , quod in ea conjungitur cum producto ambarum inc gnitarum v. Interim , quum construitur aequatio aliqua , per reductionem ejus ad formulam compositam , eademque natura sua extingit eam variationem , necesse est , ut etiam in formula incognitae varientur . Sic formula , cum qua comparanda est aequatio xν ' Μν- θη- ac in o , haud quidem esse debet ο

258쪽

i qν ' πηροῦ s -- προῦ r 'mo, Ε sse autem omnino necessariam variati nem illam , quum construit Mir locus , per reductionem aequationis ad formulam compositam , id liquet abunde . Sed eadem necessitas non ita liquido apparet,quum constructio fit, per reductionem aequationis ad formulam si misplicissiniam. Quare, ut ea innotescat, fiat in allato exemplo x 's aram n , ita ut sit v v - ρο - νγ . Et erit v ac o , sivextiam v ac aequatio reducta. Designentur jam valores incognitas πper portiones AN rectae AB. Et quoniam in reductione babetur x ' ν--a - πνliquet, non aliter haberi posse valores incognitae u, quam delendo ex eis constantem o , S ad denis

do iisdem variabilem di. Id ergo quum fieri nullo pacto possit; hinc est, ut per portiones AN rectae AB designandi sint valores inc

XIII. Illud quoque nolim BD silentio

pr.eterire , quod quotiescumque in aequatione, una cum producto incognitarum, reperiatur quadratum unius ex iis , tunc locus explicari possit, non modo per hyperbolam, relate ad eius asymptotos consideratam , Verum etiam per hyperbolam, consideratam in ordine ad suas diametros ς quum ad utriunque formulam possit aequatio ipsa revocari. Proponatur , exempli gratia , con

sui,

259쪽

1 ε SECTIONuM CONICARUM substitutione peram . erit ae - xx t aax φ

ct habebitur demum aet=Υ - uuino, sive etiam 2E . uu - ν , quae ad hyperbolam, relate ad diametros consideratam , nos ducit. Id vero mirum censeri non debet. Jam enim vidimus supra , quod ubi in xquatione incognitae duae simul multiplicatae reperiuntur , locus non aliter esse possit ad hyperbolam , consideratam in ordine ad suas diametros , quam quum quadrata earundem incognitarum ita quidem in aequatione contine tur, ut translatis ad eandem Partem, tum te minis quadrata illa continentibus , cum te mino incognitarum productum includente, debeat coefficiens unius quadrati augeti nonnihil, quo termini ii possint simul quadratum perfectum constituere. Profecto autem , quotiescumque n aequatione cum producto incognitarum conis jungitur quadratum unius ex iis I tunc nihil vetat, alterius quoque quadratum in ea considerare I quum satis sit, ei praefigere zer , seu nihilum,uelut coem cientem . Unde , quia coefficiens illius quadrati debet augeri nonnihil, quo idem possit una cum quadrato alio, R producto incognitarum quadratum persectum constituere ς poterit consideratione illa per hyperbolam, relate ad diametros conside ratam , aequatio ipsa explicari.

260쪽

XIV. Superest jam, ut ostendamus , qua ratiose Byperbola in plano describi possit, datis eius Udimptoris , ct potentia . Sint igitur AB, AC asymptoti hyperbolae describendae ; Seexponatur potentia eius per rectangulum, quod fit ex duabus earum portionibus AD, AE . Compleatur parallelogrammum AF . Et quoniam rectangulum ADF adaequat potentiam datam ; erit punctum F in hyperbola quaesita. Otium autem punctum A sit centrum hyperbolae, si extendatur AF ad partem opis Positam, usque donec aequales fiat duae A ς, AG ; fiet tota FG una ex diametris hyperbo. Iae . Et quoniam , constituta AB dupla ipsius

AD , ductaque per punctum F recta BC,

contingit ista hyperbolam describendam in F; designabit eadem BC positionem ordinat eum diametri FG. Unde quaesita hyperbola nullo negotio describetur , si ejusdem diameistri possit etiam parameter definiri. Ad hanc vero definiendam , meminisse Oportet, quod eadem recta BC sit aequalis conjugatae ipsius FG. Hinc enim sequitur, Para metrum diametri FG debere esse tertio ioco proportionalem post duas FG , BC; adeoque eandem haberi. .si fiat, ut FG ad BC, ita BC ad FH . Describatur ergo diametro FG hyperbola, ita ut recta FH exhibeat, tam

Para metrum eius diametri , quam positionem suarum ordinatarum . Et hyperbola, subinde descripta, eam , quam quaerimus, nobis exhi-hebit . obiter autem notetur hoc loco velim,

ν stonii