장음표시 사용
261쪽
xst SECTIO NuM CONICA RuM quod sicuti,datis asymptotis,& potentia, postione datur hyperbola ipsa; se dabitur quoque . si una cum asymptotis datum sit punctum aliquod , per quod hyperbola debeat
transire. Neque enim in expolito problemate alium usum nobis praestitit potentia , expres.sa per rectangulum DAE, quam ut,completo parallelogrammo AF, haberi posset punctum F. per quod transire deberet hyperbola. Un de, si loco potentiae daretur ab initio punctum F . adhuc solutio problematis eadem
Idem problema , de destri henda hyperis hola In plano , datis ejus asymptotis , & p - entia , resolvi quoque potest, inveniendo axem , & socos ipsius hyperbolae. Si enim angulus BAC , sub asymptotis comprehen .sus , secetur hi sariam per rerum AF ue dabit iecta ista AF positionem axis hyperbolae. Etsi porro, constituto AB quadrato quadruplo datae potentiae, demittatur super AF perpendicularis BC ; fiet punctum F vertex ipsius. Ais . Unde demum, sicuti vertex alter habe. ur, capiendo ad partem oppositam AG , ipsi AF aequalem ἔ lta circulus , qui describitur entro A , ct intervallo AB , vel AC , quaesitos in axe foco1 designabit.
262쪽
TRadita compositione locorum geome tricorum , quae conicis sectionibus ter minantur , reliquam jam est , ut easdem conisectiones ad eonstructionem problematum solidorum traducamus. Sed , ut methodus istud obtinendi rectius intelligatur , Praestat, rem paulo altius repetere, & breviter primum explicare, quo quidem artificio problematum geometricorum construmones generaliter fieri debeant.
geometriea generatim exinplicatur.
I. π Iximus praecedenti libro, proin 1. blemata geometrica proprie V cari ea , quae determinata sunt, omnesque interm uata continent conditiones, ad solutiones ipsorum m. νέ. a east. necessarias ἴ nee alia ratIOne illa , quae sunt situ indeterminata,a Geometris considerari, quam ut eorum ope determinatis satistat, quae prae R a ci-Diuitiaco by Cooste
263쪽
rso SECTIONUM CONICARUM cipuum Geometriae objectum constituunt. Videamus itaque modo , quo demum artificio problemata determinata confruantur . adbibitis iis, quae indeterminata sunt , ω per loco
geometrica explicantur. Nimirum primo invenienda sunt duo loca geometrica,quae omnes construendi problematis conditiones seorsim includant. Tum ita oportet loca illa construantur , ut ValΟ- res unitiS incognitae super eadem recta in utroque loco capiantur . Nam , quum valores incognitarum , ubi linearum , composita loca terminantium , si intersectio , conditiones habeant utriusque loci geometrici ς necesse est , ut valores illi problematis soluti ni satisfaciant. Oporteat, exempli gratia , invenire rectangulum, cujus latera datam habeant rationem inter se , S simul sumpta datam quO-que rectam adaequent . Jam in hoc problema. te determinato duae conditiones continentur. Quare, iis a se mutuo sejunctis, duo sent inis determinata problemata; unum, in quo quaeritur rectangulum , cuius latera datam rationem habeant inter se ς alterum , in quo quaeritur rectangulum, cuius latera simul sumpta
Duo i ita problemata inde terminata duo etiam nobis suppetunt loca geometrica . Unde , quum in iis utraque propositi problematis conditio seorsim contineatur , poterunt pro ejusdem problematis constriictione Ioca illa in subsidium advocati . Construantur ergo illiusmodi loca ea quidem lege , ut Vari
264쪽
ELEMENTA. ac Ilores unius , ejusdemque incognitae super eadem recta in utroquε loco capiantur . Et Va. Iores, quos habent incognitae in loco inter sectionis , quaesitum rectangulum contine-
II. Ut autem id liquido constet,revocemus Π- ad calcatam duo illa loca , tum exposita ratio- : z.ιοῦ ne utrumque constraamas. Assumptis ergo incognitis x, ct ' pro lateribus rectanguli inveniendi , si eorum ratio ponatur aequalis ei, quam habet a ad θ 3 erit, ut x ady , ita a ad isν. βέ adeoque erit ν ,hxta aequatio primi loci. Quod si porro summa earundem laterum dica
tur e; fiet x ' di m c , vel 3 - ς - x aequati seeundi loci. Sit jam AB recta linea , per cuju3 por Fis. tiones AN designantur valores incognitae πs totis S AC recta alia, cui aequid istantes esse deis flhent rectae NM , quae valores reserunt alterius incognitae I . Quumque aequatio primi loci sit ν - δx : a , perspicuum est, quod si ex AB abscindatur portIO AD --, & ducta DE ipsi AC parallela , fiat eadem DE m b. terminari debeat locus ille per rectam ΑΕ, quae coniungit puncta duo A , & E. Quia autem aequatio secundi loci est Im c x, construetur alter iste locus . faciendo , tum AB , cum AC mc, ct conjungendo puncta duo B , ct C per rectam BC. Nam , ob triangula aequiangula B AC, BNM, erit, ut AB ad AC . ita BN ad NM . Quare. Propter aequales AB , AC , erunt etiam aequales duae BNςNM; adeoque , quum sit
265쪽
as, SECπIONUM CONICARUM Termini igitur eorum locorum sunt
rectae AE , BC . Quum autem tectae istae sese seccnt in pundio F; habebit pundium istud F utriusq; loci conditiones. Quare,dueta FG, ipsis MN parallela ; erunt rectae AG , FG in
data ratione . ob locum AE, & eaedem simul datam summam constituent , ob locum BC Proindeque latera quaesiti rectanguli erundiectae ipsae AG , FG ...' HI. III. Neque veto dissicile erit , inquirere, num duo loca geometrica omnes alicujur pro hiematis determinati conditiones includant. Si enim ex eorum aequationibus colligi pol - in sit ipsa problematis aequatio , indicio erit ἰ u loeis illis singulas problematis conditione includi . Quod si alitem secus contigerit; nec item in iis locis omnes problematis con- ditiones continebuntur. Ita , si aequatio problematis sit x - ac: sa - b; , nulli dubium esse potest , quin om nes eiusde ni problematis conditiones inci dantur in duobus locis geometricis' M ax; c. S di m bx : c ' a . Nam , quum ex duabus hisce aequation bus eruatur ax: c uex:c ' οἷ reductione instituta , fiet axi- bx ac , si ve etiam x ac : sa -- b), quae est ipsa promblematis aequatio.
Similitet, si aequatio problematis sit xx ' bx --ax f bb α o , dubitari non potest,
quin onanes ejusdcm problematis conditiones contineantur in duobus locis geometricis ut in a ax -- - hb , & ναχ ι. Nam, quum duae istae aequationes dent nobis a ax
266쪽
ELEMEN TR. a 63stituta , fiet axx ' abx - 2ax f abb αα o, sive etiam xx ' δκ ox ' b, mr o , quae est problematis aequatio proposita. Atque ita quoque, si in resolutione ali cujus problematis perventum sit ad aequatiorinem κ3-aaκ -- aab ramo , in dubium veri non potest , quin contineant omnes ejusdem problematis conditiones duo loca geometri ca xx M a' , S εχ - xx - θν . Nam , quum ex duabus hisce aequationibus et uatur ια - xx is x et aa I reductione instituta , fietas aaxx αα κ' , sive etiam x3 ' aax .
aab in o , quae est ipsa problematis aequatio. IV. Sed nec etiam dissidite erit, duo loca IRgeometrica reperire, qua omnes alicujus proa 8 - I olematis determiuari conditiones includasI. Dea ae Inveniatur etenim aequatio, ad quam pro a V positum problema reducitur . Tum , sumpta ad lihi tum aequatione alia indeterminata,complicentur ambae s mul, quoties fieri potest, sive substitutionis , sive additionis , sive deismum subtractionis ope . Atque hac ratione, non duo tantum . sed plura loca geometrica reperientur, quorum bina quaevis singulas problematis conditiones continebunt. Sit, exempli gratia. χ' ' aaxx aduex
v f xx - ιx - ac me o, quae est aequatio altera inde terminata. Et si porto in ista loco κκponatur odi, fiet v lv - δκ--acem O, quae
267쪽
a 4 SECTIONUM CONICA Ru Mest tertia aequatio inde terminata. Tres istae aequationes in determinatae jam tria nobis loca geometrica suppetunt, quo rum singula paria cunctas problematis conditiones complectuntur . Sed possunt, additionis , subtractioni' se ope . tres aliae reperira, quae eundem praestent effectum . Addendo enim priores duas , fiet v l a xx -- Η - δκ-α ac M o , addendo autem duas posteriores, habebitur a V l xx ' ο - alx - 2 ac - οῖ ac denique addendo simul primam , ct tertiam orietur IF ' xx - bx - ac in s , quae tamen a secunda non differt. Eadem ratione , subducendo primam ex secunda, orietur u l υ - hx - ac em o,quae non differt a tertia I Sc ih ducendo secundam ex tertia, habebitur adi - xx - o , sive κα- ay m o, quae est ipsis sma prima . Sed , si prima ex tertia subducatur, set v - fam lx - ac tra o , quae a singulis praece dentibus diversa deprehenditur. V. Id , quum ita sit, liquet, unum, idemque problema Leometricum non una ratione construi pisse. Primo enim pro eodem proble male potest , modo una , modo alia aequatio reperiri: prout hanc , aut illam lineam assumere placet, velut incognitam . Et deinde, etiamsi semper eadem sutura esset problematis aequatio di, adhuc tamen variis, multisque modis problema construere liceret: oh varia locorum geometricorum paria , in quibus singulae problematis conditiones possunt seorsim contineri. Interim , ut non omnes problematis
268쪽
ELEMENTA. a ετ constructiones Geometriae legibus corresponindent; sic inter eas , quas legitimas Geomeis tria fatetur, dantur persaepe quaedam , quae facilitate, ac elegantia merentur reliquis praeferri. Unde , quum problema aliquod geo
metricum construi debet, non modo vitandae
sunt eae constructiones , quae vitio argui pos sunt , sed in id etiam sedulo incumbendum, ut eligantur constructiones illae . quae Ge
metriae solertiam, ac nitorem ostendunt. Hinc duo nobis hoc loco praestanda sunt Primo enim oportet ostendamus,quae quidem problematum constructiones legitimae censendae sint, quaeve per contrarium vitio argui queant. Deinde vero inter ipsas conis structiones , quae Geometriae legibus correspondent, nec ullo vitio laborant, qua utiisque ratione faciliores, simplicioresque dignoisset possint , oportet aperiamuS. Et quantum ad primum , eae quidem constructiones velut legitimae haberi debent,
quae naturae problematum consonae sunt. N que enim omnia problemata per cujuscumque
generis loca geometrica construi possunt; sta unumquodque pro suo gradu determinati generis loca requirit. Unde, ut de rectitudine constructionum tuto iudicium serri possit, constituendi primum sunt gradus problema
VI. Plane Veteres, reserente Pappo, pr Blematum geometricorum tria genera disiu----guebant, ct raram alia quidem plana , alia ρώda , ct alia demum liuearia appellabant. Quae enim per recta1, ct circuli circumserenis
269쪽
,- SECTIO NuM CONICARUM tiam solvi possunt, vocabant plana i ob oristum earum linearum , quum habent in plano.Quae vero solvuntur, assumpta in construinctione aliqua coni sectione, dicebant solida; quia coni sectiones ex solido trahunt origiis nem suam . Et denique , quae construi ne queunt , nisi adhibitis lineis aliis, praeter jam dictas , linearia nuncupabant: velut problemata , quae ut construantur . lineas alias magiS compositas exigunt. Sed hujusmodi problematum geometriineorum distinctio, a Veteribus facta, non uno vitio laborat. Primo enim per eam natura problematis non semper nobis innotescit. Ε si enim tuto concludere liceat, problema es.se planum , quotiescumque cireulo , ct tecta construitur , quod tamen sit solidum , aut lia mare , numquam certo , ac insallibilitet sta tui potest ς quum impossibile fit, ejus cri- erit certiorem fieri, quod duxta Veteres,tum solidum a plano, cum lineare a plano, & solido secernere valet.
Ut enim,ex mente Veterum,solidum dici possit aliquod problema , haud quidem satis est, aliqua coni sectione construi posse; sed necesse est quoque , ut recta , ct circulo nulli mode construi queat. Quare , non aliter eoncludete licebit, solidum esse problema aliquod , quam ubi illiusmodi impossibilitas existra omnem dubitat lonis aleam ponitur: &Propterea, quum id sine alterius criterii ope obtineri non possit, eonsequens est , ut nec item solidum problema distinguere liceat. Similiter , ut juxta Veteres linea re diaci
270쪽
ei possit aliquod problema, haud quidem satis est , linea alia magis composita construi posse ; sed oportet etiam , ut respuat, tum circuli circumferentiam, cum coni sectiones. Quare,tunc demum concludere licebit, lineare esse problema aliquod , quum ostenditur, nec circulo , nec aliqua coni sectione poste constructionem eius obtineri. Unde, quum id evinci nulli mode queat, nisi criterium aliud habeatur ἔ nec item lineare problema a plano,
Si solido poterit secerni. Hinc . posita problematum geometricorum distinctione , a Veteribus sacta, tantum abest, ut reprehensione digni sint ii, qui duplicationem cubi . & anguli tri sectionem
recta , ct circulo tentare conantur quἰn PO- eius,meo judicio. audem omnem merentur,&excitandi eo magis , ut nullum non moveant lapidem, quo videant, num Geometriae planae praesidio constructio eorum problematum posset haheri. Nam etsi eorum eonatus semperlititi solent suturi , exinde tamen eo magis probabile redditur, problemata illa natura
sua esse solida ,& non jam plana . VII. Sed alio quoque Oitio laborat dissι
Hιο problematam geometricorum , quam Uuc' εὐ--A. res condiderunt: nimirum , quod juxta eam nullum non fiat diserimen inter Problematas ιω- a V . quae nec plana sunt, nee solida ; sed omnia in uno eodemque gradu reponantur . Inde
enim colligi posset, quod sicuti ejusdem naturae sunt , tam cuncta problemata Plana, quam omnia problemata solida δ sic quoque singula problemata linearia eandem naturam deberent habere. In-