장음표시 사용
271쪽
168 SECTIO NuM CONICARUM Interim nolim ex hac parte adeo Veteo res increpare. Neque enim problemata linearia ita ii excoluere, quemadmodum plana, ct solida . Unde , tametsi eis innotuerit, da ri problemata quaedam , quae nec Plana , negsolida etant ; multiplices tamen . ac pene infinitas eorum problematum disserentias minime norunt: quippe quae non aliter fiunt cognitae, ae exploratae, quam ubi aliquot ex iis problematibus ad examen revocantur. Notetur autem hoc loco velim , quod sicuti problematum geometricorum tria genera Veteres distinguebant; sic lineas omnes, quibus problematum fiunt constructiones, ad
tres classes pariter revocabant. Prima etenim erat illarum, per quaS plana problemata solvuntur ; eaque nonnisi rectam, ac circuli cireumferentiam continebat. Secunda complerictebatur coni sectiones , quas ad constructionem problematum solidorum oportet ausumere. Et tertia demum omnes alias lineas magis compositas comprehendebat, quae coimst tuetioni problematum linearium inserviunt. Revocabant porro ad tertiam hanc clas.sem . non modo omnes alias lineas geometriis cas , ut cissoidem Di oblis , conchoidem NI- comedis 3 verum etiam lineas mechanicas , ut
quadratricem Dinostrati, spiralem Archimedis . Qua in re nec etiam adeo ii velim a guantur. Nam , sicuti, ob differentias pro-
hiematum linearium, non adhuc eis exploratas , unum eorum genus constituebant a sic omnino necesse erat, ut in una eademque
classe reponerent, tam lineas geometricaS, quae
272쪽
quae circuli circumferentiam , ct coni secti nes excedunt, quam lineas mechanicas , quae cunctis natura sua superiores deprehendun
Hine , quod Cartesius antiquis Geometris vitio vertit, potius refellendo ejus errori apposite nobis inserviet. Ex eo enim , quod sub eodem genere reposuerint Veteres , tamcissoidem , S conchoidem , quam spiralem,S quadratricem ue censuit, eos e Geometria reiecisse omnes alias curvas . quae circuli circumserentia , ct conicis sectionibus magis compositae essent. Sed crediderim , hanc eis sententiam adscripsisse . quia ipse in ea erat opinione , ut spiralis , quadratrix , ct similes e Geometria exules esse deberent: quam tamen Vel ex eo exuere poterat, quod illiusmodi lineas ad eandem classem eum curvis aliis geometricis ipsi Veteres.revocabant.
VIII. Quum igitur distinctio problema.
tum geometricorum,a Veteribus facta,in plana, solida , & linearia, non uno vitio laboret; rectius Recentiores distinguunt genero prο- hiematum ex samero dimensionum , ad quareorum aequationes ascendunt. Et quamquam Cartesius duabus dimensionibus ea a se mutuo distinguenda esse putaverit; communiter tamen unica tantum dimensione a se invicem secernuntur, S unumquodque problema ejus generis esse censetur , quod ipse aequationis gradus ostendit.
Itaque , si aequatio problematis sit primi gradus , sive unius tantum dimensionis;
ipsum quoque problema primi generia esse
273쪽
xνο SECTIONUM CONICARUM dicetur. Sed , si aequatio fuerit secundi gradus , seu duarum dimensionum ς tunc etiam problema dicetur esse generis secundi. Atque ita pariter dicetur esse generis tertii , si ejus sequatio fuerit tertii gradus , sive trium dimensionum ἶ generis quarti, si aequatio sit quarti gradus , sive quatuor dimensionum; generis quinti, si aequatio si quinti gradus. sve quinque dimensonum;atque ita deinceps. Notandum tamen hoc loco est . quod aequatio aliqua tunc proprie dicitur cfle alicujus gradu S,quum ad gradum alium inferio. rem deprimi non potest . Unde, si in resolutione alicujus problematis perventum sit adsequationem aliquam , quae deprimi queat; tunc, ut de genere problematis judicium seris ri possit, necesse est , prius deprimere aequationem illam per regulas , quae in Algebra traduntur; quia sic problema ejus generi S eL se dicetur , quod depressus gradus ostendit. Illud quoque nolo hic reticere , quod etsi, defin endis construct ion ibus , quae natu
rad problematum consonae sunt, consultiussi, unica tantum dimensione eorum genera a
se invicem distinguere ; attamen , si in cuiuiaque constructione circulus vellet adhiberi, tune potius probanda esset distinctio problematum Cartesiana, quae per duas dimensiones Procedit; quum in eo casu lex constructionis intra binas dimensiones eadem semper, ac immutata perseveret.
Interim , vitandae confusonis gratia, etiam quum quaestio erit,de adhibendo circuislo in constructione cujusque problematis,
274쪽
unica tantum dimensione distinguemus a se mutuo genera problematum. Nam duκta hane distinctionem, nullo negotio pro singulis casibus regulae tradi possunt , quum tamen, reiscepta distinctione Cartesiana,non nisi per amis 'hages id , quod quisque casus exigit , poteistit definiri. IX. Problematum generibus constitutis, IX. facile modo erit , conseruesisses definire . quae
eorum naturae consonae funt , ct velut legiti- μ- mae debest haberi. Jam enim vidimus supra, pro cuiusque problematis constructione, adhibenda esse duo loca geometrica, quae singulas problematis conditiones seorsim includant. Itaque , ut constructio legitima sit, &naturae problematis consona , loca illa tali insuper sint oportet, ut multiplicatis per se mutuo numeris suarum dimensionum , oriatur numerus alter , qui vel ipsum problematis genus , vel etiam genus proxime superiuν nobis exhibeat. Hae ratione , si problema sit quarti g neris , legitima erit constructio , quae per lo- ica duo geometrica secundi generis absolviatur: enim vero , multiplicatio simul duobus hinariis . producitur numerusi quaternari US, per quem gradus problematis ostenditur . Et eadem ratione , si problema sit generis sexti,
erit consona ejus naturae constructio , quae
perscitur loco secundi generis , S alio tertii;
quandoquidem ex multiplicatione numeri hinarii per numerum ternarium producitur numerus senarius , per quem problematis genus exhibetur.
275쪽
a a SECTIONUM CONICARUM Quum vero non semper fieri possit, ut
numerus , problematis genus ostendens . ex aliis duobus, per se mutuo multipIicatis, oriatur ; hinc est , ut plerisque in casibus loca
geometrica talia esse debeant, ut eorum ex inponentes, in se invicem ducti, genus proxime superius exhibeant. Sic per loca duo secundi
generis construenda sunt , non modo problemata generis quarti , Verum etiam ea , quae genus tertium constituunt. Atque ita quoque per locum secundi generis , S alium teristit construi debent, tam problemata generiSsexti , quam quae ad quintum genus revocantura
Quemadmodum autem abunde Iiquet, id dumtaxat contingere posse in iis problematum generibus , quae per numeros impares definiuntur; sic liquido etiam patet, non in omnibus hisce generibus tale quidpiam evenire . Si enim , exempli gratia , problema sinoni generis 3 poterit constructio ejus per loca duo generis tertii obtineri. Et eadem
ratione, si problema sit generis decimi quinti; nihil obstat, quin per locum terili generiS, Salium quinti constructio illius peragatur . Contingit id ergo in iis tantummodo gene ribus , quorum exponentes sunt numeri primi; quum notum sit,huiusmodi numeros nullos divisores admittere. X. Ex regula iam tradita , pro definien-d s constructionibus, quae legitimae sunt , &naturae problematum consonae, plura modo licebit inferre . non exiguam rei, de ρυ si iamas, iacem allatura. Primo enim perspicuum
276쪽
ELEMENTA.est , posse unum, idemque problema per multiplicis generis loca legitime construi. Sic problema duodecimi generis construere licet, non modo per locum generis tertii, & alium quarti δ verum etiam per Ioca duo , quorum alter sit secundi generis , alter generis sexti. Deinde liquet etiam , unumquodque problema legitime construi posse per iocum geometricum , qui sit ejusdem generis cum ipso problemate. Nam semper ae locus alter assumitur generis primi, jam duo illa loca talia erunt, ut eorum exponentes , per se mutuo multiplicati , construendi problematis genus ostendent . Et quoniam loca primi generis sunt semper ad rcctam; non aliter, quam rediae . & curvae alicujus intersectione , hujusmodi constructiones erunt peragenda: a Liquet demum , quod si cujusque problematis constructio circulo fieri velit, Omnino necesse. st, ut locus alter geometricussit ejuS generis , cujus exponens duplicatus exhibet, vel ipsum problematis genus , vel genuS Proxime superius. Est enim circulus, locus secundi generis . Quare , ubi una cum ipso alter ille locus adhibetur ἔ jam problema construitur per loca duo , quorum exponen tes , in se mutuo ducti, exhibent nobis . Vel proprium problematis genus , vel quod proxime illud subsequitur. Itaque , si problema decimi generis ci culo foret construendum , oporteret, locum alium quinti generis esse , nec aliter esse de- heret , si problema. cireulo construendum, non decimi, sed noni generis esset. Et eadem
277쪽
1ν4 SECTIO NuΜ CONICA RuM ratione , tam problema genςris undecimi, quam quod ad duodecimum genu. revocatur , non aliter recte circulo construitur.
quam assumpto in constructione loςo alio, qui sit generis sexti. Hinc , quotiescumque problemata circulo construi debent, leη ipsius constructio. nis intra duas dimensiones eadem semper perinseverat. Atque hac de causa disti nemo pro. hiematum Cartesiana , quae per duplicem di. mensionem procedit, probari potiuS , quam
reiici deberet. Nam , juxta eam, locus alter, quem in constructione oporteret assumere, foret semper ejusdem generis cum ipso proin
X l. Caeterum haud dissicile erit, ostendere veritatem regulae , superius traditae , pro δε-niendis constructionibus, quae legitima sunt,
ct natura problematam consona .dam enim l
ca , in constructione problematis adhibenda, iobent singulas ejus conditiones seorsim
continere. Quare, tunc quidem legitima crit constructio , ct naturae problematio consona, quum simpliciora loca adhibentur , quae Omnes illius conditione* seorsim complectuntur. Hinc,ut praefatae regulae veritas constet, duo quidem sunt nobis ostendenda . Primum est , ut omnes alicujus problematis conditiones contineri possint in duobus locis geometriciS , quorum exponentes , in se mutuo ducti, exhibent , vel ipsum problematiS genuS, vel genu β proxime superius . Alterum est, ut loca . quorum e X ponen xes, per se invicem multiplicati, exhibent genu inseriuS , nequeant
278쪽
ELEMENTA. in queant eiusdem illius problematis conditiones omnes seorsim compte hendere. Nescio autem . nunc horum utrumque sua egeat demonstrittione . Ut enim vidimus supra , tunc quidem duo loca geometrica singulas alicujus problematis conditiones seorissim includunt, quum uη eorum aequationi. hus eruere licet aequationem , ex re tolutione problematis ortam . Unde eo res redit, ut ostendamus , aequationem istam his beri qui
dem posse per loca priora , sed non item per
Id vero in ipss Algebrae Elementis ostenditur. Nam . quum quaestio est, de ea terminan da incognita una , per aequationeS duas , quae totidem incognitas complectuntur di, regula traditur in iis,ope cujus liquet abunde,aequa tionem , incognitam alteram continentem, poste quidem aicendere ad cum gradum , qui producitur , multiplicatis per se mutuo gradibus earum aequationum ἔ altius autem at
tolli nulli mode posse. t Atque hinc , alio rursus artificio , inveniri poterunt loca duo , quibus determinati alicujus problematis constructio pera ζ possit. Nimirum , capiendo indefinite loca illa,
tum per eorum aequationes exterminando incognitam unam, & inveniendo aequationem , quae alteram tantum incognitam conistineat. Nam , instituta deinde comparatione
Inter aequationem istam , S eam, ad quam Problema reducitur , facili negotio quaesitalaea definiuntur.
279쪽
ανέ SECTIO NuM CD NICA Ru Mω' η ' quae constructiones . sint legitimae , & natu, rae problematum consonae 3 inquirendum est modo, sua ratione inter eas fac/ώω es , .
a Dios. νος plictoresque dignosci possint. Et quidem ne. gotium istud dijudicandum est ex locis, quia
hus ipsae problematum constructiones peraguntur. Nani, etsi loca omnia , quae aequa. tionibus ciusdem gradus definiuntur,ad idem omnino genus pertineant δ quin tamen interea fieri debeat discrimen aliquod, non est du,
Hujusmodi vero discrimen repeti primo
debet ex ipsis lineis , quibus loca termina tur : in quantum non omnes eadem facilitato in plano describuntur. Sic lineae , loca secum, di generis terminantes, ut superius vidimus. sunt circuli circumferentia , S conicae sectio.
nes. Sed nulli dubium esse potest , quin circumferentia circuli longe facilius describatur in plano , quam quaelibet sectio coni. Idem discrimen repetendum est quoque
ex aequationibus eorundem locorum . Nam, etsi ad eundem locum per varias aequationes
possit perveniri; nequit tamen in dubium rovocari , quin ipse loci compositio eo facilior futura sit, quo minus composita est ejus ae quatio. Sic loca , conicis sectionibus termi nata . eo quidem facilius construuntur , quo magiS aequationes , quibus designantur , ad formulas ipsorum simplicissimas accedunt. Haec autem quum ita stat, liquet, facialitatent, simplicitatemque constructionis geo, intricae aestimandam esse duplici ex capite,
primo nempe ex siciliorς ratione , qua lineaei
280쪽
idea terminautes, describunturi Sc secundo ex simpliciore apparatu , quo opus est , pro determinatione earundem linearum . Unde in haec duo sedulo oportet incumbere , quo et gans,ae valde simplex dati alicujus problematis constructio possit haberi. Qui igitur in eoia struendo problemate aliquo , loco conicae sectionis , circulum subinstituit, non est dubitandum, quin faciliorem, simplicioremque construEtionem exhibeat 3 quandoquidem cireulus in plano facilius lon- .ge describitur,quam quaelibet sectio conica. Et eadem ratione nulli etiam dubium esse potest, quin elegantior futura sit dati alicujus pro-hlematis constructio , quum conica sectio, quae assum:tur in ea, refertur per suam aequa tionem , vel ad ipsam diametrum , vel ad all. quam ejus parallelam.
i. U Tsi in hoc libro propositum no- sne Ea hia sit, dumtaxat de constructio. ra. i.
ne eorum Problematum agere, quae solida a R.rent a Veteribus dicebantur et nihilo tamen minus, quemadmodum, ad pleniorem eius rei intelli. δε ηι π.gentiam , necessarium duximus , generatim Prius explicare , quo pacto Problemata geo metrica construantur 3 sic , ob eandem rati