장음표시 사용
281쪽
nem , praemittenda est quoque constructio problematum , quae iidem Veteres plana vocabant ἔ quum ipsa solida problemata nulli iani ode absque ea construi possint. Plana igitur problemata , ut praecedenti capite dictum est , vocabant Veteres ea, quae recta , & circulo construi possunt. Unde, juxta Reeentiorum distinetionem , non alia problemata tale nomen merentur, quam quae,itim ad primum , cum ad fecundum genus re Cocantur . Istorum enim problematum aequa istiones secundum gradum non excedunt . Quare eadem prob emata per ea semper loca geometrica construere licebit, quae recta , &circuli circumferentia terminantur.
Et illa quidem problemata, quae primi sunt
generis , nec etiam circulo opus habent , sed rectis tantum construi possunt . Assumenda est autem circuli circumferentia , in constructione eorum problematum , quae secundi sunt generis . Nam numerus hi narius, per quem istorum genus ostenditur, non aliis ter potest oriri , quam multiplicando unitatem per eundem numerum binarium ; adeoque omnino necesse est , ut talia problemata construantur per loca duo , quorum alter sit geueris primi , alter generis fecundi. Quamquam vero loca primi generis rerictis semper terminentur , ea tamen , quae secundi sunt generis, non modo circuli circumferentia , sed Omnibus coni sectionibus possunt circumscribi. Hi ne problemata , quae se cundum genus constituunt , tam redita, Se
circulo, quam recta , S qualibet coni sectio
282쪽
Ε L E M E N T A. ne construere liceret. Sed praeserend2 sunt eae constructiones , quae recta , ct circulo fiunt , quia circuli circumferentia facilius longe in plano describitur. II. Jam , ut ea primum pro3lemata coaxis II.
struere doceamur , quae primi sunt generis, mstiendum est, duod si aequatio, ex aliquo ho- ννμι -
hum problematum orta , sit adeo simplex , ut ν Ἀ oνωα habeatur x in a ς tunc nulla arte opus sit, pro
dux constructione ; quum nihil sacilius dari Ga a,ιμι possit, quam ut recta , alteri datae aequalis, 'capiatur . Constructionem ergo istiusmodi problematis velut postulatum in hoc negotio assumemus: eoque magis, quod eadem sit veluti fundamentum omnium constructionum geometricarum. Vehum , si concedenda est nobἰs conis structio hujus aequationis x re: a , ratio exi git , ut concedantur pariter constructiones
istarum x tra a s b, x M o ε , ' c , x m a ' bc ' d , atque ita deinceps . Nam , sicuti su α FI . per recta AB capi potest portio AC aedi a , ita λsuccessive super eadem assumere licebit CD O , , DE - e , & EF me d. Unde, quemadmodum valor incognitae x in aequatione
est AC, sie erit AD in aequatione x in a ' b, AE in aequatione x-a i , t e, & AF in ae,
quatione x in olbie ' d. Eadem autem ratione neque etiam deneganda est nobis constructio illius problema - . tis,ex quo suborta est aequat Io xina b. Jam enim . progrediendo ex A versus B , capi po- Fio. test super AB portio ACM o.Quare ,redeuu- I 9.
283쪽
sECTIONUM CONICA Ru Mproducta si opus, capi portio CDistb. Quum. que hoe pacto fiat AD θ; erit eadem AD valor , quem habet incognita x in aequaa
Atque hinc ulterius nec item alicu: disia ficultati obnoxia esse debet constructio ejus problematis , ex quo nata est aequatio xi a. h c -d . Si enim quaerantur rectae duae,
quae duabus summis alc, & b d sint aequales;
eae , ut vidimus, ultro nobis concedi debent.
Unde . si eaedem dicantur L S x, aequatio fiet κ-- g, cujus quidem conitructio nequit
ni. III. Constructionibus hisce praeiactis, sive potius praesuppositis , facile modo erit, confruere unumquodque aliud problema, quod . . . aliis, prami sit generir . Ut vero ordine progredia-ῖ .itan mur , sit primi m καπ ab: c aequatio , ex te.......ha , . lolutione problematis orta . Jamque , si locus ad rectam simplicissimus 3 - θ capiatur a fiet per substitutionem x - a': c , sive etiam Fratcx zo , quae quidem aequatio similiter ad terietam nos ducit. Hinc problema , contentum in aequati one X vi ab: c , construi poterit duobus hisce Iocis geometricis di in cx: a, Ssera θ; ut quae non modo singulas ejus conditiones seorsim continent, sed ambo etiam lineis tectis termia Pis . nantur. Hunc in finem sit AB recta, per cujus I ro. Portiones AN designantur in utroque loco valores incognitae κ ὴ & AC ea , cul in uir que pariter loco aequid istantes esse debent valores alterius incognitae F.
Quum igitur aequatio primi Ioci sis me
284쪽
ELEMENTA. a xxx:a,construetur ille,si abs eissa ex AB portio ne ADma, ductaq; per punetum D tecta DE, ipsi AG parallela , fiat DE - c, ct iungaturAE.Quumque aequatio secundi loci se ifiet alterius hujus loci constructio.abscindendo ex AC portionem AF ducendo per punctum F rectam FH , alteri AB parallelam. Jam rectae duae AE, FH. omnino necesse est, ut sibi mutuo occurrant. Fiat itaque earum occursus in puncto M . Et . deis nussa exinde super AB tecta MN, ipsi AC parallela ἰ erit ΛN valor , quem habet incognita x in aequatione x i ab . c . Ponatur enim AN x. Et quoniam, ob triangula mutangula ADE, AN M, AD est ad DE, ut AN
ad NM , sive AF r erit , ut a ad c , ita κ ad br& propterea erit x mi ab e c. IV. Exhibita constructione problematis, IRcontenti in aequatione x in ab: e 3 iam , ope ejus , omnia olio, qua primi fuat geueris, conspuere licebit ; quum facile st, ea mediante, in . - νM. aequationes omnes primi gradus ad formam illam revocare. Ita , si aequatio problematis sit x ii Mer de ι capiendo sin ab: d, fiet x mcf e. Et, si aequatio sit x ahed: eis; sumendo, tam m- ab t e, quam n - cd: f, habebi
Fieri autem potest, ut Incognita X PIures huiusmodi quantitates adaequet. Et tunc, eas seorsim reperiendo , adhuc problema conin
285쪽
m - de . BD:a,& habebitur x ibc:m. Plaetera , si in resolutione alicujus probleniatis perventum sit ad aequationem x
strui potest . Pariterque , si aequatio problemat s sit x - ahc - ad , t ses mπὶ , capiatur ι - gh .a - mn:a, ita ut sit at m gh- η ς & habebitur loco eius haec alia aequati x eta be t l- σ: l, quam similiter construe- te licet. Opus est autem solertia Geometrae Inaequationum reductionibus instituendis , ut quae contrahi quandoque possunt . ita, si habeatur aequatio ae saabe ..-. hbec; t tabc a 3j, facillime fiet eius teductio, capiendo. dine hc: a . Nam , quum sit ad ra be , ct aaddii bbem substit titione peracta,habebitur xtra ad . dri: M l a). Unde,ponendo postea,tum n - a - d, cum a m d ' a ; fiet x α2 dm i uaequatio reducta.
V. U. Non igitur dubitari potest, quin om-
ΓηεUMm n;a problemata primi genetis nullo negotio 2 2. construantur ι ubi semel consti uctum est pro-2.- 'Ti-ι blema , quod eXhibet aequatio x xi ab: e . Ee 'inisu Ο.. quon tam problema istud non aliud involuit. quam ut, datis tribus rectis lineis , quarta proportionalis invenἰatur ; liquet . eunna primi teneris problemata, per inventionemquεrtoe alicujus proportionalis , construi posse. Sed notetur hoc loco velim, ejusdem illius problematis , quod continetur in aequa-
286쪽
tione x - ab : c , plures alias constructiones dati posse . Placuit autem eam eligere , quae superius allata est ; tum quia est omnium sima
plicissima; tum etiam, quia affinis est illi, qua usus est Euclides in suis Elementis, pro invenienda quarta proportionali post tres rectas lineas datas. Plane enim , si quemadmodum aequatio construenda est xii ab: e . sive ex in ab , ita capiatur aequatio ad rectam dxt a in F, sive
dx - ο; fiet, addendo eas simul , ex ' dx me ab ' is , quae s militer ad rectam nos ducit .
Unde aequatio ex aedi ab construi quoque poterit, adhibitis duobus hisce Iocis geometriis
Quin etiam , si aequatio assumpta diro subducatur ex ipsa cx ab , habebitur
tertius locus ad rectam cxv dx ab - ρο.
Unde eiusdem illius aequationis constructio fieri paritet poterit, tum ope locorum adi , ct cx ab adi , cum ope istorum ex ' ab ' adi, ct cx . . dx - ab a D . Interim , si fuerit c d , ex prima harum constructionum rursus superior orietur. VI. Ostensa constructione problematum VI. primi generis , videamus modo , qua ratio rees,qua fecundi funt generis, construi debeant. F. Et simplicior quidem aequatio, quae ex aliquo horum problematum potest oriri, est xx ab . Quumque eo res redeat, ut inter duaStaitati, rectas datas media proportionalis inveniatur,
construi poterit illiusmodi problema eo quidem artificio,quo utitur Euclides in hiememtia pro mediae proportionalis inventione.
287쪽
a 34 3ECTIONUM CONICAxuuVerum , ut methodo nostro tale attisi a cIum inquiramus , capiatur locus ad rectam simplicissimus di m e. Et quoniam habeturι tum cum v m cc; fiet additione in f Μ αα ab ' cc . Quemadmodum autem haec aequatio ad circulum nos ducit, quum valores incognitarum reetos angulos continent; ita,ut descriptio hujus circuli problema primi generis fiat, oportebit,quantitatem ab ce quadratum esse persectum: quo radix ejus, quae circuli radium refert, rationalis oriatur Jam quantitas illa talis esse non potest, nisi adaequet e semisse in differentiae ipsarum a , S b . Nam , ponendo a majorem esse , quam is , fiet c - a: a b: a 3 adeoque , quum sit cc α' aar ab : 2 f bb: , erit ab l cc maa: 4 f ab: a ' bb: 4 . Hinc ex duobus locis
geometricis , quibus construendum est pro-hlema,contentum in aequatione xx in abieri e a: 2 . . bt a locus ad rectam ι ct xx 'γν- aar 4' ab: a ' bb: 4 locus ad circulum. Fio. Sit igitur AB recta , super qua sumi de
Ha . hent valores incognitae x. Et quoniam aequa. tio circuli nulla eget reductione , erit cen
. trum illius ipsum punctum A , adeoque , a scissa ex AB portione AD 2α at a ' b: E , fiet AD ejusdem et rculi radius . Erigatur deinde super ΑΒ perpendicularis AC . Jamque, si ex ea auferatur portio ΑΕ - ar a - δ: E , Ω per punctum E ducatur recta GH , ipsi AB Parallela ἔ terminabitur tecta ista GH loeus
LMi- . vIII. Neque vero dissicile erit, osten insistim.. re , quod cinpositione ιorum locorum fiat satis
288쪽
Iam enim recta GH secare debet circulum, qui describitur centro A , intervalloque AD, in duobus punctis M . O . Quare , demissis exinde super AB perpendicularibus MN,OR, feni AN , AR valores duo, quos habet in. cognita x in aequatione xx in abieritque AN valor positivus , S AR valor negativus. Ponatur siquidem ΑΗ - ω. Et quo. niam inter se sunt aequales , tam duae AM, AD , quam duae MN , ΑΕ ; erit AM vi a : ast hi , ct MN - ara hi et . Sed , oh trianis gulum ANM , rectangulum in N, quadratum ex AM est aequale duobus quadratis ΑN,NM smul sumptis. Itaque erit xx aa:4- al: a ' bb: 4 m aa: 4 ' ab; a ' bba 4, unde infertur aequatio problematiS set ab. Ponatur quoque AR m . x . Et quia pariter sunt aequales inter se, tam duae ΛΟ, AD , quam duae OR , ΑΕ ἔ erit ΑΟ - a: h : a, ct OR M a: a be a. Sed, ob trianrigulum ARO , rectangulum in R, quadra. tum ex AO aequale est summae quadratorum AR, O R. Quare erit rursus xx 'stat 4
eruitur aequatio problematis is era ab. Quod autem haec constructio recidat in eam , qua utitur Euclides , Pro mediae proin portionalis inventione, non est dubitandum. Si enim circuli circumserentia , quae describitur centro A , intervalloque AD , secet reis
Etam AC in punctis C,& F;fiet portio CE B,ct portio EFina. Unde,quunt ipsis AN, ARaequales sint duae EM , EO ; omnino liquet,
289쪽
aso SECTIO NuM CONICA Ru MEuclidea constructionem in nostra contineri. VIII. Sed notetur hoc loco velim , quod si aequatio problematis sit xx -- ab , tunc ejus impossibilitatem , non modo ex duobus α- quationis radicibus imaginariis , fed ex ipso etiam confructione cruere licebit. Nam , as sumpto rursus loco ad rectam fmplicissimo γ - ς , set locus ad circulum xx t v ab . Unde oportebit, esse in hoc casu quadratum perfectum, non quidem quantitatumce t ab , sed cc ν- ab. Talis vero haec quantitaS esse non potest, nisi semisummae ipsarum a , S b sit c te qualis . Nam . semper ac habetur c a: a fh: a , fiet cc ira Oa : 4 t ob : a ' hb : 4 ; ademque erit cc - ab aa: 4 - βb: a ' bb : 4. Hinc ex duobus locis geometricis , quibus problema construi debet , erit γ -a: a ' bet aloeus ad rectam , ct xx ' sty aa: 4-ob: af hb : 4 locus ad circulum. Sit itaque rursus AB recta , super qua sumi debent valores incognitae x. Et quoniam aequatio circuli hic pariter nulla eget rectu sitione, erit adhuc punctum A centrum illius. Unde , abscissa ex ΑΒ portione AD - o : a. hi a , fiet AD radius ejusdem . Erigatur deinde super Ad perpendicularis AC, ex qua austratur portio AE αα a: a ' h: a .Quumque locus ad rectam sty a: a ' δ: a , construetur ille , ducendo per punctum E rectam GH, i pli ΑΒ parallelam. Patet autem, rectam istam CH nullo pacto secari posse cum circumferentia circuli, quae describitur centro A, S intervallo AD a
290쪽
quandoquidem ejus a centro distantia maior est ipsa AD . Unde, quemadmodum construis loca nulla habent puncta communia , ita nec etiam dari poterunt valores tales incognitae x,qui utriusque loci conditiones adimia pleant : proindeque problema , quod simul
continet eas conditioneS , omnino contradictionem involvet. IX. Constructo problemate , quod con tinet aequatio xx m. ob ἔ jam , ope ejus, omnia alia, quae secundi funt generis , construere Iicebit , quum sacile sit, aequationes omnes secundi gradus , per constructiones problematum primi generis, ad formam illam revocare. Ita , si aequatio problematis sit xx ab ' cd; capiendo fim δ' cd: o, fiet Um ab cd ; atque adeo erit xx in V. Et,si aequatio sit xx
poterit . Ita , si aequatio problematis sit xx fa axab; iaciendo x ' a - et, erit xx f a an
tra ZE 3 aa . Unde , per substitutionem , erit ΣΕ - aa 'πα ββ , sive etiam ga ab l ao, qu*quidem aequatio iam construi potest. Eadem ratione, si in resolutione alicuis jus problematis perventum si ad aequatio