장음표시 사용
291쪽
, is SECTIONUM CONICARUM --ΣE ; erit, substitutioni S ope , aa ad in hb, sive etiam zz aa. Obi Sed nihil vetat, quin hujusmodi problema quandoque impossibile fiat et nimirum , quum fuerit h major , quam o . Tunc enim poni debet a - filia - ---fῆ adeoque aequatio ultimo reducta crit af, quae construi nequit. Hic quoque in aequationum reductioni hus instituendis Geometrae solertia debet locum suum habere . Ita , si habeatur Ez - aa
sequatio reducta. Pariterque, si fuerit Eet aa, M, fiat, tum a ' b m c, cum a b det ita , ut sit aa - hb - cd ; S habebitur loco ejus haec alia ΣΕ - cd. X. Non itaque in dubium verti potest, quin omnia problemata secundi generis nullo negotio construantur, ubi semel constructum e st problema quod continet Qquatio x x mas . Et quoniam problema Istud non aliud inis volvit, quam ut inter dua. rectas datas media proportionalis inveniatur 3 liquet, cuncta fecundi generis problemata , per inventionem Media alicujus proportionalis, construi posee. Interim , si in resolutione alicujus pro-hlematis occurrat aequatio, in qua quadratum incognitae x adaequet duo alia quadrata cognita ; tunc Ionge facilius , per hypothenusam dati alicujus trianguli ructanguli , poterit ipsius incognitae valor designari. Ut,si h beatur xx aa ' hi, fiat triangulum rectanis gulum, cujus crus unum sit a , ct cru* alte rum bieritque hypothenuia ejusdem trianguli rectanguli valor incoguitae X., Nec
292쪽
ELEMENTA. a pNee item reticebimus , quod si aequatio, ex aliquo problemate orta , ejusmodi sit , ut in ea quadratum incognita: x adaequet disse inrentiam . quae inter duo alia quadrata cognita deprehenditur ἔ tunc dcsignari queat valoripitus incognitar, per crus unum dati alicujus trianguli rectanguli. Ut, si habeatur xx sasiat triangulum rectangulum , cujusa sit hypothenusa , & b crus unum 3 eritque crus alterum valor incognitae x . Et ad constituendum quidem trianguinium recta lagulum, cujus data sint crura; satis est , crura illa coniungere ad rectoS angulos,
tum eorum extrema per rectam aliam connectere. Sed, ut construatur triangulum rectangulum , in quo data sit hypothenusia cum crure uno3Oportet primo super hypothenusa, uelut diametto, semicirculum describere; tum In eo aptare crus datum,quod portionem ejus semicirculi subtendat; ac denique chordam ducere reliquae portioniS. XI. Caeterum in consuctione problemaram se udi generis reducendae fant eorum
aequationes ad formam illam simplicissimam, quo confractio ipsa uno circulo peragi possit.
Ut enim ostensum est , reductiones hic fiunt, Per constructiones problematum primi generis , quae rectis tantum absolvuntur . Quare, reductione peracta , non alium circulum inconstructione problematis oportebit assume-τst, quam qui pro mediae proporticinalis inventione omnino requiritur. Interim , si hanc nobis legem imponere nollemus , etiam absque reductione unum
293쪽
aso SECTIONUM CONICARUM quodque problema secundi generis construi
poterit. Sit enim xx - aax M aδ aequatio, ex tesolutione problematis orta . Capiatur
Ioeus ad rectam simplicissimus in c. Quumque fiat s - cc, habebitur additione locus ad circulum v lxx - aox Σα ab ' ω : qui tamen non aliter potest describi, quam adhibito circulo alio ἔ quum sit taa ' ob f ec , hoc est media proportionalis inter a , S a ' bcct a radius ipsius. Sit etiam xx - 2ax ' ab em o Rquatio , ex resolutione alicujus problematis nata. mispiatur quoque locus ad rectam simplicissimus I c. Quumque habe turn ; cc , sive v
-ου - o; adhuc additione fiet locus ad circulum v f xx - 2 ax 'ab - cc in o . Sed radius circuli hujus est saa - ab f μ), hoc est media proportionalis inter a , S a - θst ec: a ; nec proinde describi potest , nisi circulus alter adhibeatur. Juvat autem hoc loco notare , quod quemadmodum radices duae aequationis XX.
aax ' ab α o fiunt imaginariae, quum ab major est , quam Oa ; ita ipse etiam circulus ina possibilis evadat , quotiescumque in eadem hypothesi ob - aa major est , quam cc. Sed etsi , ob quantitatem c ad libitum sumptam,
eludere liceat circuli impossibilitatem di, conis tradictionem tamen ex problemate nunquam delere licebiti enim vero , cujuscumque Va- loris capiatur quantitas c , semper ea major erit . quam oa - ab ' μ).C XU. X u. Illud etiam nolo hic silentio prete-ν,.ιι-as, rire , quod hoc ortiscio licebit isterdum, prοιὰ
294쪽
ELEMENTA. 29 Ibismo fe sdi generis dato etiam circulo comstruere . Jam enim , assumpto loco ad rectam simplicissimo' - e , reperire licet , additionis ope, locum alium, qui ad circulum nos ducat. Quare non aliud superest , quam uis com Pa ratione instituta , inveniatur, quinam esse debeat valor assumptae quantitatiS c , qu
compertus circulus possit datum illum nobis
exhibere. Sit ergo xx 4 aax m ab aequatio , ex resolutione alicujus problematis orta . Et o. Porteat, eam construere mediante circulo,
cujus radius sit f. Capiatur locus ad rectam simplicissinius di in c. Quumque fiat o se cc; erit additione II f xx- aax se ab l cc locus ad circulum . Jam radius hujus circuli est
aa s ab ' ec) . Quare, ut idem possit nobis
circulum datum exhibere , oportebit , esse
fiet additione v aax s sa locus ad circulum , cujus radium esse s , liqueeabunde . Sed perspicuum est, constructionem istam non semper possibilem esse. Nam, si fuerit sminor , quam a ' ab) ; quantitas us - aa , ab) fiet imaginaria , adeoque locus ad rectam nulli hi reperietur. Eadem ratione, si aequatio problematis
295쪽
xyx SECTI NUM C NICARUM sit xx --2ax ' ab M o , ct in ejus constructione adhiberi velit circulus , cuius radiussit at fiet y ab locus ad rectam. Nam, quum habeatur II m ah, sive 'ν ab in o erit additione B l xx -- aaκ o locuS ad circulum ; cuius radium esse a, nemo non vi. det. Hic autem locus ad rectam semper realis deprehenditur.Sed non ideo constructio problematis semper possibilis erit. Nam , si me. rit ab maior quam aa , sive etiam , major quam a ς nulla erunt utriusque loci puncta Communia I adeoque problema contradictionem involvet.
XIII. Denique , ne aliquid hic missum faciamuS , quod scitu sit dignum , subjunge. sibia, mur constructiones Cartesianas problematum fecundi gexeris. Itaque, si problematis aequatio induat sormam , vel hujus xx ' ax-- ιθ
ς constructio, formando prius angulum rectum μ' ABC, in quo si AB α β, & CB αα a: a; tum δ δῖ' describendo cireulum ex puncto C, tamquam centro, & intervallo CB. Nam, si deinde jun, gatur AC , quae circuIo occurrat in punctis D , S Ε ; erunt rector AD, AF vglorea duo
Et in prima quidem aequatione xx ' ση. - bbino, erit AD valor positivus,& AEualor negativus: enim vero, sue ponaturAD Em x, sive AE ----x, ope trianguli re elanguli ABC, semper aequatio illa nobis sub orietur. Vicissim autem in secunda aequatione xx. ax, Bb o, erit AE valor pos-tivus, S AD V dor negativus ὀ quum, bene scio
296쪽
x L E M E N T A. ayiselo eiusdem trianguli rectanguli, restituatur nobis illiusmodi aequatio . ponendo ΑΕ
Quod si autem aequatio problematis se. vel hujus sol mae xx - ax t hue o, vel etiam Istius xx f ax f bb o I construetue prois hiema , si iisdem ut supra peractis , ducatur recta ADE, parallela ipsi BC. Et hie quoia Fio. que fient AD , A E valores incognitae x : qui tamen erunt positivi, quum habetur xx-ax l bb - ο , ct vicissim negativi, quum proin hiematis aequatio est xx l ax ' δι - o. In secundo hoc casu nihil obstat, quin recta A DE eirculo non occurrat i nimirum si fuerit AB major , quam CB, hoc est ι major, quam at a . Sed , quum id contingit, ut nutata sunt puncta occursus , sic problema impossibile erit. Fieri etiam potest , ut eadem recta ADE circulum tangat: scilicet, si fu rit.b a: E . Et tunc , coeuntibus in unum punctis D , & Ε , aequales fient inter se valois
XIV. Sed quod judicium de hisce Cart/- xiv.
sanis confractionibus ferendum sit, nec etiam 'fubjicere gravabimur . Quin eluceat in eis ι a. simplicitas , ae elegantia 3 non est dubitan
dum . Ea tamen ex formulis potius aequaticiis πιιωι. oe - .
num tota proficiscit utiquae profecto non am Plius apparebit, ubi non formulae , sed ipta problematum aequationes , quae ut plurimum compositae esse solent, ad illas constructiones
Iam enim pro iis construction bus dua- pr. i I a. bus rediis opus est , scilicet tangente AB , ct Ia .
297쪽
x ,4 SE Tio NUM CONIO ARuM radio circuli CB . Ex his autem posterioe CB, quum semissem adaequet coesticientis secundi termini , semper per problema primi generis potest des niti. Sed ,quantum ad priorem AB . raro quidem evenit, ut per probi
ma secundi generis determinari non debeat, quum eius quadratum ultimo aequationis teris mino sit aequale. Hi ne Carte sanae constructiones problematum secundi generis ponendae sunt inter cas, quas lubet admittere , etsi non uno circulo fiant. Qua autem ratione eas detex
rit Auctor , id quidem minime nobis explica re dignatus est. Sed probabile e st, in eas incidisse , considerando expressiones valor via , quos in singulis iis formulis habet incognita,
quum non aliter earum veritatem ostendat,
quam quia rectae illae AD , AE eodem modo
Illud etiam nolo hic reticere , construis ctionibus suis Cartesium exhibuisse tantum valores postivos,& non item negati vos. Istud autem vitio ei verti non debet. Nam, etsi, beneficio earundem constructionum, habeantur quoque valores negativi;eos tamen negligendos esse putavit 3 quia non adhuc ostenderat, posse aequationes utriusque generis valores admittere. Et inde pariter factum,ut construinctio quartae formulae omnino apud ipsum omissa videatur,
298쪽
Methodus eon uendi problemata Molida generatimosenditur
1, C Olida problemata vocabant Vetea I. O res ea . quae construi non posis sunt , nisi adhibita aliqua coni sectione. --,iox Talia autem , iuxta Reeentiorum distin εtionem , fuat problemata illa, quae sipe ad uem, υν tertium , sive od quartum genus revocantur. 'Debent siquidem hujusmodi problemata perloea duo secundi generis construi . Quare omnino necesse est , in eorum constructione aliquam coni seetionem assumere. Neque enim esse potest ad circulum uterque locus. Nam, etsi circulus sit locus secundi generis , S per aequationem secundi
gradus definiatur; ex duabus tamen aequatioianibus ad circulum, in quibus incognitae eundem angulum continent, numquam licebit, aequationem determinatam eruere, quae ad tertium , quartumve gradum ascendat i nee proinde unquam poterit constructio problematis tertii, vel quarti gener Is intersectione duorum circulorum obtineri. Ponamus etenim primo, incognitas duas In utroque ad circulum loco rectum angulum continere. Et quoniam in isto casu nequit in eorum aequationibus reperiri productum ip-
299쪽
sarum incognitarum , necesse est , ut eae ae
M o. Quare,exterminando unam incognitatum, nunquam poterit incognita alia ad tres, aut qira tuor dimensiones ascendere. Ponamus secundo, incognitas duas obliquum angulum continere , ita ut in aequati
nibus , loca ad circulum designantibus, reperiatur productum ipsarum incognitarum . Et quoniam obliquus ille angulus debet essa, idem in utroque loco , induunt eorum aequa tiones in hoc casu, vel formas istarum mu : n f mmxx et 1s . . ax . . O .. cc m o , &D ' mva n ' mmo: rr . . dx . . D .. gg - ΟΙ vel harum , quae sequuntur , v - mut O f
' mmxx : ss . . dx . . O . . ra o . Unde . eliminata incognita una , nec etiam incognita
alia ad tres , aut quatuor dimensioneS poterit attolli. ar. II. Non itaque in dubium verti potest, quin , juxta Recentior uin distinctionem , ea
ννιιIoahairum quidem problemata sint solida , quae tum ad tertium , cum ad quartum genuS revoca se tur. Hujusmodi autem problemata constru
licebit , tam duabus coni sectionibus, quam circulo , & una coni sectibiae. Sed praeserendae sunt scmper cie constructiones , quas circulus ingreditur ; quandoquidem circulus in plano longe facilius describitur,quam quae libet sectio coni. Potest vero cum circulo coniungi qu cumque se duo conica ; quia ex aequationibus
300쪽
ELEMENTA. 13ν problematum solidorum omnes secundi generis locorum species erui possunt. Et quoniam , comparatis locis geometricis , natura problematum consonis , construetiones ipsas nullo negotio peraguntur ue ostendemuS P
tissimtim hoc capite , qua ratione ex solidi alia cujus problematis aequatione silvulae spec/es locorum fecundi generis colligi queant.
Etsi autem aequationes problematum lidorum possint, tum ad tertium , cum ad quartum gradum attolli , nihilo tamen minus , quae hic a nobis in exemplum afferentur,ad quatuor semper dimensiones ascenis dent . Id vero multum abest, ut difficultatem facere debeat. Nam, quum sequatio quarti gradus deprimatur ad tertium, ubi ultimus ejus terminus Zero aequalis supponitur , conis siderari poterit aequatio tertii gradus velut . alia quarti, postremo termino carenS.
Potius discrimen fieri debet inter aequa. tiones , secundo termino praeditas , ct eas , in quibus idem ille terminus deest . Nam longe aliter eruenda sunt loca secundi generis,quurnaequatio problematis solidi secundo terminoearet, quam quum eodem illo termino est reia serta . Et quamquam facillimum sit, delere
secundum terminum ex quacumque aequati ne , Construere tamen praeparatione ista problemata solida , non semper subinde facile de
prehenditur. III. Primo Igitur ostendemus , quo pacto G om. o.
erui debeant species omnes locorum fecundigeneris ex aquatiose problematis solidi, quae δε- - cundo termino caret. Hunc in finem st