장음표시 사용
141쪽
ZIMAR SE UNDO. - Ir queunt producere nisi solida eiusdem generis , ac proindonlindri apsis cincumscripti, retinubunt ad ipsas eaciem rationes Ergo & permutando, ut
cylindrus NC ad cylindrum LG, sic iconoides ABC , bd conoides E B G . At ratios cylindri
NC, ad cylindrum LG, componitur ex ratione quadrati' A D, ad quadratum E F, & ex ratione A N, seu D B, ad E L, seu ad B F, ut facile elicietur exi ix. elem. & ut inferius a nobis probabitur in proposit. 9. huius, nempe ex ratione potestatis A D, eiusdem gradus cum conoide, ad similem potestatem E F. Ergo & ratio ABC, ad EB G, componetur ex rationibus quadrati A D, ad quadratum E F, N potestatis A D, eiusdem graduS cum co-noide, adsimilem potestatem EF. At ex istis duabus ration ibpscoalescit ratio potestatis A D, duplici gradu altioris potςstate comidis, ad similem p testatem E F Quaret patet propositum . Quod
Non solum autem erunt in praedicta ratione talium potestatum AD, EF, solida praedicta, sede iam solidum ex trilineo N BA, circa Bν, alseli dum ex trilineo ad verticem LB E, circa BF. Item solidum ex figura N L E F D A, circa B D, ad Dlidum ex segmento A E F D, circa F D. Item ductis B E, B Α, solidum ex portione contenta sub r P cta,
142쪽
tione contenta sin recta, & curua E B, circa B D. Primum patet, quia cum sit ut totus cylindrus ex Nin ad totum cylindrum LG, sic ablatum conoides ABC, ad ablatum conoides EB G. Ergo relia quum, nempe solidum ex trili neo N BA, circa BD, erit ad reliquum, nempe ad solidum ex trilineo adverticem L BF, circa BD, ut totum ad totum. Eodem modo patet seeundum. Quia cum sit ut
totus cylindrus N C, ad totam comides ABC, sic ablatus cylindrvs LG, ad ablatum Lonoides EBG; ergo & reliquum, nempe solidum eae N LEE DA, circa B D, ierit ad reliquum, nempe ad frustum c noidale A EG C, ut totum ad totum. FRcile etiam patebit tertium. Quia tum ist ri
143쪽
tolum conoides ABC, ad totum conoides EB sic ablatus conus eg triangulo AB D, circa B D, ad
quut erit ad reliquum ut totima ad totum s nempe solidum ex figura comenta a recta,&curua AB, circa BD, ad solidum contentum a recta,& curua EB, circa BD.
S quilibet ex infinitis omisis circa Hametrum seceturpiana basi parastelo . Erit totus conicus ad conicum ad verticem, mi potestas diametri conui, cuius numerus fit duplus initate auctus mera conici , ad simulem potestitem diametri conici adverticem.
Evo Conicus ABC, ortus ex rotatione trilinei
AB D, circa diametrum BD, sectus plano EG, AC, paralIelo Dico conicum ABC, csse ad conicum EBG,ut potestas DB,cuius numerus sit duplas unutate auctus numeri conici, ad similem potestatem B F. V. g. in primo conico, ut cubus ad cubum. Infecu ndo, ut quadratocubus ad quadratocubu m. inrertio , ut quadratoquadratocubuS, ad quadrat quadratocitum; & sic in infinitum. Conicis eircumscribantur cylindri H C, L G. Fodem modo, quo factum est in proposit. ant. prc-babimus, esse cylindrum H C, ad cylindrum LG,
144쪽
Vt conicus ABC, ad conicum EB G. Sed ratio cylindri H C, ad cylindrum LG, componitur ex ratione quadrati AD, seu HB, ad quadratum EF, seu LB, &ex ratione AH, ad EL. Eigo& ratio conici A B C, ad conicum E B G, componetur ex ijsdem rationibus. Uerum cum sit , ex genes parabolae, ut HB, ad B L, sic potestas. H A , eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatem L L. Ergo D ut quadratum HB, ad quadratum L B , sic potestas AH, cuius num russit dii iis potestatis parabolae, seu conici, ad Gmilem potestatem L E . Ergo ratio conici ad c
nicum componetur ex ijsdem rationibus. At ex illis rationibus, componitur etiam ratio potestatis H A, seu BD , cujus numerus sit duplus unitate' auctus
145쪽
. 1 IBAR SEcVNDVS. II auctus numeri conici, ad si lem potestatem L Ε, seu B F. Ergo &c. Quod &c.
Etiam in praesenti propositione, non solum erit , in eadem ratione praedictaepotestatis D 8, ad illam potestatem BF, conicus ABC, ad conicum EBG; sed etiam annulus strictus ex semiparabola HRA, circa BD, ad annulum strictum ex semiparabola LB E, circa BF. Item solidum ortum ex figurata, HLEFDA, circa DB , ad frustum AE GC. Pariter, ductis EB, AB, solidum ex figura contenta a re ita , & curua AB, circa BD, ad solidum ex figura contenta a recta , & curua EB, circa BF. Quae etiam eodem modo patebunt sicuti ibidem.
Ex dictis ergoedia duabus superioribus propositionibus , & in propositione tertia primi libri, possumus considerare pulcherrimas series , & ordinata incrementa proporcionum , quae reperiuntur inter infinitas parabolas, infinita trilinea , infinita co noidea parabolica , & infinitos conicos . Nam si infinitae parabolae, seu semiparabolae v. g. HBA,sccentur LE, basi HA, parallela semiparabolsHBA, ad semiparabolas L B B, retinent talem p
146쪽
a 8 i DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
rennem proportionem, ut in prima parabola sit in duplicata ratione HA, ad LE. In secunda in triplicata. In tertia in quadruplicata, &sic in infinitum. Idem intelligendum est si trilineam ABD, secetur EF, respectu proportionis diametri DB, ad
diametrum B F. in conoide autem genito cx semi- parabola FIBA, circa diametrum ΗΒ,§o ut dictum est. Conoides primum ex HBA, ad co-noides ex L B E, est in triplicata ratione HA, ad L E . Secundum ad secundum in quadruplicata . Tertium ad tertium in quintuplicata, S sic in infinitum . At in conicis ex infinitis trilineis circa di
metrum, non seruatur incrementum exponentium
per unitatem , ut in praecedentibus , sed per bin Ilum , adeo ut in primo conico sit, conicus ABC, ad conicum E B G, in triplicata ratione D B, ad BF. In secundo in quintuplicata. in tertio in septuplic ta. Et sic in infinitum.
Verum antequam discedamus ab hac propositi ne, notetur etiam si placet , quod si qua libet ex infinitis parabolis, vel quodlibet ex infinitis trilineis,. item q aodlibet ex infinitis conoidibus parabolicis, seu quilibet ex infinitis conicis circa diametrum, se- centur, ut dictum est supra; nec parabola, & trilineum ad Veiticem , nec conoides, & conicus adverticem, erunt magnitudines similes suis magnitudinibus,
147쪽
L1BER SEcVNDVS. M sdinibus, nisi tantum in primo gradu parabolarum,
trilineorum, conoedeorum, de conicorum. Ratio est ; quia cum nobilis Geometra Bonaventura Ca- ualerius lib. a. Geomet. Indiuis proposit. ι 17.
uniuersarissime ostendet id, quod in aliquibus casibus , & in magnitudinibus particularibus ab alijs
ostenditur: nimirum, omnia similia plana, esse in duplicata proportione homologorum laterum; Om niaque similia solida esse in triplieata tali ratione: ex dictis apparet , solam primam semiparabolam AB H, & solum primum trilineum ABD. nempe triangula , esse ad triangula LBE, EB F, ut quadratum H A, seu DB, ad quadratum LE, seu B F. Reliquas vero semiparabolas, scuti reliqua trilinea, in triplicata , in .quadruplicata &c. item ex dictis apparet, solum primum conoides ex HB, & primum conicum ex fΑBD,
circa BD, nempe conos, esse ad conoides ex L B E,& ad conicum EB G, ut cubus ειδ, seu DB, adcubum. L E, seu BF. Reliqua vero conoidea, in quadruplicata, in quintuplicata M. Item reliquos conicos , in quintupIicata, in septuplicata dic. Quare patet propositum. PR
148쪽
r io DE INFINITIS PARABOLIs Erc.
9maidea parabsica eius generis, es ' conici eiusdem generis, in circa diametrum, quorum eadem basis,sunt in ratione suarum Hametrorum.
Sint duo conoidea parabolica eiusdem generis Ad C, ADC, quorum eadem basis A E C. Dico conoides ABC, esse ad conoides ADC, ut BA, ad ED. Ipsis intestiganus circumscriptos cylindros FC, GC. Facile patebit ex dictis, esse conoides ABC, ad conoides ADC, ut cylindrus FC, ad cylindrum GC. At cylindrus FC,
149쪽
Sed upponamus ABC, ADC, esse eonicos eiusdem generis, quorum diametri BE, ED. Eodem modo patebit, conicum ABC, esse ad conicum ADC, ut BE , ad ED. Unde patebit et
Si eonoides parabolicum quodcumque secetur ptiGo basiparastelo ι . super eadem basior diametrum frusticono is ,sit aliud conoides eiusdemgeheris. Erit frustum , ad conoid 3 quod includit tot continue proportionaleAn proportiole semissium, etri maioris basis fruati , a semidiametrum basis minoris, incipiendo a prima
inclusiue, quotus ea numerus conoidis au rus binario , ad ea emproportionales, iis is aenasus monorisus emceptis .
EFxo coηoides parabolicum quodcumque ABC, , quod sit sectum plano HDΚi basi parallelo;
& intelligatur aliud conoides ADC; ratio autem A F, gd .H D, cuntinuetur in tot terminos, ut numerus eorum exceclax numerum conoidis ternario; itaque m ultimus, minimus ternunus, L, vero sit - erminus superam numerum conoidis unitate. Dico frustum ΑΗΚ esse ad conoides Α D C, ut A E, V D, & caeterae tot proportionales,quotus est
150쪽
ae umerus conoidis binario auehis nempe, ut omnes pwportionales,vltima M, excepta,ad easdem,d-hu ultimis minimis exceptis . U. g in primo cinnoide, ut A E, Η cum tertia proportionali, ad AB. In quadratico, ut R E, H D, cum duabus
Quoniam aenun ex proposit. m. huius, conoides ABC, est coli des ΗΒΚ, Ut potestas A ridupt,ea gradu altior potestate Midia, aὲfimilem podestatem Hos nempe ut AE , ad Mir ergo Nper conuersionem rationis, & eonuertendo, erig