장음표시 사용
151쪽
nium cono ses. ABC, est adeonolles A n C, ut BE, ad ED; & quoniam arguendo per tonuersionem rationis, est ut B E, ad Eia, lic potestasA E, eiusdem gyadus cum conolle , ad exces . m ipsus si pra similam potestatem H nempe sic Α Ε, ad ex es ipsius supra L. Ergo ex aequali 3 erit frustum KR Κ C, ad c ordo A DC, Ili excessus A E supra Ll, ad Acesium R E, I rae L. Uerum suoniam ex scholio. proposit. 7..erk excessusA E,urpta M, sequatur omnibus excessita cimnium oro Dorrionalium; excetas Utem N atra H,
aequati r omnisus ex illius, cluoris vltimis exceptis; & cum omnes propestionales excedAnt numerum conoidis tem io, omiles excessus niperabunt eundem numerum binaris; & cum proportionales usque ad L, inclutae, excedant numer conoidis mitate, excessus Az, supra L, aequabitur tot eraeessibus quotus est numerus conoidis Ergo AH C, erit ad ADC, ut tot excessus proportionalium quotus est numerus conoidis binario auctus, ad tot
excessus, quotus est numerus conoidis. Uerum ex proposit p. primi, cum excessus magnitudinum continue proportionalium, sint proportionales, &in eadem proportione cum totis magnitudinibus; unde est ut tot excessiis, ad tot excessus, sic tot proportionales homologae antecedentibus excessibus,
ad tot proportionales homologas consequentibus excessibus. Ergo frustum A H Κ C, erit ad conoia dex
152쪽
x- DE INFINITIS PARABOLIS ETC. des A D C, ut A E, H D, & caeterie tot proportio
nates quarum numeruS excedat numerum conos.
dis binario , ad illas eastem proportionales, dum bus vltimis exceptis ; nem p. ad tot proportion Ies , quarum numerus aequetur uumero conoidis. Quod, &G
Ergo diuidendo, erit excessus frusti supra conoides, ad ipsum, viduae ultimae minores proportionales, ad alias s nempe ad A E, & caeteras tot nu. mero, quotus est numerus conoidis' SCHO-
153쪽
Inserius suo loco etiam assignabitur ratio susti, ad cylindrum GC, sibrcircumscriptum.
Ex dictis remanet probara propositio, quam habent Lucas valerius lib. I. de centro grau. proposita I o. & Ricardus Albim in suo hemisphaerio disse prop. i 6. & forsitan alij, quorum non meminimus is Nimirum , frustum eonidi, A HEC, esse ad conum ADC, ut AE, H D, cum tertia proportionali L, ad A L. Pariter ex hac probari potest ea, quam habet idem Lucas Valerius lib. proposit. t O.
Nimirum frustum conicum, esse ad conum , vrr ctangulum AE, H D, cum tertIa parte quadrati
A O ssi A O, sit excessus A E, supra H D, ad ter tiam partem quadrati Α E. Cum enim probatum sit, frustum conicum , esis ad conum, ut A E, H D, di tertia proportionalis L, ad A Eue ergo & ducendo omnia in A E, erit frustum ad conum, ut quadratum A F, rectangulum A E, H D, & rectangulum AL nempe quadratum H D ad quadratum A Ei Nempe quadrata A E, E O, &rectangulum A EO,
ad quadratum A E. Ergo&frustum,erit ad conum, ut tertia pars antecedentis,ad tertiam partem cons quentis. Sed tertia parsquadratorum AR EO,& re- . ctanguli
154쪽
ctahgtili Allo, est rectangulum AEO,& tertia pars quadrati A. o: snam cum quadrarum A Ε, sit aequale re elangulis A E O, A O E, & quadrato A O; S cum rectangulum AOE, cum quadrato OE, fas 'ciat rectangulam A E O. Ergo quadrata A E, EO, S rectangulum A E O,. aequabuntur tribus recta gulis AEO, & qt adrato A O: quorum tertia parserit rectangulum A EO,&tertia pars quadrati A O JE go si ivlum, erit ad conum, ut rectangusum aEO,scu A E, H D, cum tertia parte quadrati Ao, ad tertiam partem quodsati A E .
Si quilibet ex infinitis conicis ei diametrum, secetur plano basiparatulo, super eadem basi cum Ese, si r eirca di
metrum fructi intelgatur abus conicus em emgeneras. Eritfutiam adcomcum , quem incia ιι , me tot propo novales continue in ratione Hametra comes, ad diam trum conisi ad morticem , quarum maxima Fidiameter ωnisi me earum numerus excedat duplum n. erumc---tasse, σά diametram eonici iaSEd in si hemate propositionis aurecedentis in telligamus ABC,. ADC, esse conteos circae diametros RE,. ED. Dico frustum A HEC, esse ad conicum ΛD C, ve EB, BD, de taeterae tot
Continue proportionales, o earum numerus excedat duplumrumerum coniciunitate, ad Ei V kin pris
155쪽
in primo conico, erit ud EB, BD, cum tertia proportionali, Od BB. D secundo, ut s. Moporti h U1 RREIRπrtio, Vt 7 proportionales, ad EB ; Asicin infinitum. Ratio E B, ag B D, co
dupIum numerum conici binaris 3 sitque vicimus minimus terminus M, Quomam enim ex proposita a. huitas, Π,cus 'BC, eltiaconicam HBh, ut potestas E B, cuius numerus excedat duplum numerum ma vallato, ad simit potestatem B D εnempe ut DL, ad M. Bygo p r conuersionem Tationis,& conuertendo, erit frustum AH Κ ad conicuα Λ BC, ut excessus B d, supra M, ad BE. Sed conicus ABC, est ad conicum ADCE D. Ergo re misi, eris
. Rd β D . At excessus EB, supra in ex laepe dictis, aequatur omnibus excessibus omnium p Onalium; qua, cum numerus proportionalb xc datmiR cru in duplu meointainirio,exeedem plum nuinorma conici unitates BD, vero est excessus primae EB,supra secundam B & cana ex v. pri. sit ut tot excessus, ad primum excessiim, sic E B pr portionales, quarum numerus ex 'cedat duplum numerum conici unitate, ad EB. Em go fustum H h C, erit ad conicum Α D C, ut
156쪽
ta 8. DE INFINITIS PARABaLII ETQ
Ergo diuidendo, erit excessus frusti supra conbcum, ad ipsum, Ut caeterae proportionales absque prima, ad primam.
Etiam frusti ad cylindrum GC, sibi circumscriptum, inferius suo locoassignabitur ratio.
Pariter etiam ex dictis in hac propositione, remanent probatae propositiones Lucet valeris,& Albij,de quibus loquuti sumus scholio x. proposit. ant. Nam ex dictis,cum frustum conicum,sit ad conum ADC, Vt EB, BD, cum tertia proportionali , ad EB; S cum in cono , sit ut EB, ad BD, sic ΑΕ, ad H D. Ergo istustum erit ad conum, ut AE, H D, cum harum temtia proportionali, ad A E. . t - '
orculus ad quodlibet trianguiam rectangulum, babet rati/nem mmoambexratis semidiametri,ad num latrarum circa re rure ex ratione circumferentia, ad aliud latui circa rectum.
157쪽
E sto circulas, euius semidiameter AB, & trianis
gulum rectangulum, cuius angulus rectus, qui ad C. Dico circulum, ad triangulum,habere rationem compositam ex ratione A B, ad alteram ipsarum DC, CE , puta CE, & ex ratione circum ferentiae, ad D C.
Si non, vel circulus ad triangulum est in maiori, vel in minori ratione quam sit ea composita. Sit primo in maiori . Ergo aliquid circulo minus, erit ad triangulum in aequali ratione ei compositae. Sit hoc spatium F, & in circulo inseribatur figura aequalium laterum , minu s deficiens a circulo quam ab ip-- se deficiat spatium F. Quomodo autem hoc fiat,geothei tis. est nimis iamiliare . Sit ergo haec figura insem a meientia multiplicemus, ipsum quadra, reum lGH Κ sic: A B, semidiameter diuidat G H, bifariam . .& ad angulos rectos in M. Quoniam R quadrae
158쪽
13o DE INFINITIS PARABOLIS ATQ
uadratum H L, maius est F, ergo ad triangulum DEC, erit in maiori ratione quam F, aut ritriangulum; nempe, ex hypothesi, in maiori rati ne quam sit composita ex BA, ad EC, Δρ ex circumferentia , ad D C. sed ratio quadrati, ad trian-z gulum & sic cuiuscumque figura inscriptae cui dea
ter in circulo) componitur ex ratione M Α, ad C E,& ex ratione perimetri quadrati, ad DC, ut facile patet. Ergo ratio composita ex MA, ad CE,&.ex perimetro quadrati, ad D C, erit maior composita ex BA, ad CE, & ex circumfercntia ad DC. At latio MA, ad CE, minor est ratione BA, ad eandem CE. Ergo ratio perimetri quadrati, ad DC, erit mulio maior ratione circumferentiae circuli, ad DC. Quod nimis implicat. Non ergo circulus, est ad triangulum in maiori ratione quam sit ea composita. Sed nec in minori. Quia sic aliquid circulo maius, esset ad triangulum in eadem ratione Cum ea composita . Sit rursum hoc spatium F. Et circulo circumscribatur, more solito, figura ex aequalibus - lateribus constans numero parthus , minori spatio excedens circulum quam ipsum excedat P. Sit haec quadratum No. Ergo NO, erit ad triangulum in minori adhuc ratione, quam sit ea composita. Ergo ratio composita ex GA, ad CE, & ex perimetro quadrati NO, ad DC, minor erit composita ex ΑG, ad CE, & ex circumserentia, ad
D C s nempe ratio perimari quadrati di O, ad D
159쪽
minor erit ratione circumserentiae circuli, ad eandem DC. Quod etiam implicat. Cum ergo non aliquid maius , nec aliquid minus circulo , sit ad triangulum in ea ratione composita. Ergo circulus est ad triangulum , ut est ea ratio composita. Quod &c.
Sub hac propositione uniuersali continetur tam quam particularissima, illa, quam ostendit Archi medes lib. de limen circul. proposit. I. Nimirum circulum aequari triangulo rectangulo, cuius unum laterum circa rectum, sit aequale radio, aliud circumferentiae circuli. Sed insuper sub hac continentur duae hac uniuersaliores. Prima est . Quod si unum latus sit aequale radio circuli: circulus erit ad R x erian-
160쪽
triangulum, ut circumferentia ad aliud latus circa rectum. Secunda est. Quod si circum serentia sit 'aequalis uni laterum circa rectum, circulus erit ad triangulum, vi radius ad aliud latus. Notetu retiam quod quamuis comparatus sit circulus cum triangulo rectangulo, licebat etiam illum comparare cum . triangulo quocumque, adhibendo vice laterum circa rectum, basim, & altitudinem trianguli, ut consideranti patebit. insuper notetur,quidquid dictum est de toto circulo respectit trianguli, polle etiam eo dem modo probari de quolibet eius sectore, respectu ieiusdem trianguli.
Memilla circularis, ad traperium oriuinarium rectangulum, catus duo on sita latera sint parallela, habet rationem compositam ex ratιone cireumferentia maioris, mel mis ris,arm ite, ad latus maius, mel minus parallelorum traperta' , ex ratione latitudinis anmilae , ad altitudinem traperias . Dummodo latitudo armilla , cdr altitudo tra- per ij sint partes proportionales , illa semissi metri t rius circis , haec mero altria mis trianguli, curus est
EMO Armilla circularis, cuius latitudo AB, S
taim inna rectangulum D HG, a quo intelligatur indatum trapeticina DF, cuius latera