De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

161쪽

LIBAR SEcVNDVS. I 33 iquam H G, ad G F. Dieo rationem armillae, ad trapezium, componi ex ratione vel circumferentiae A L O, ad D G, vel circumserentiae B P, ad E F, & ex ratione AB, ad GF. Quoniam enim, ex hypothesi, est G H, ad H F, ut AC, ad C B ι & ut G H, ad H F, sic D G, ad E F; N pariter ut A ad CB, sic circumferentia ALO, ad circumserentiam ΒΚΡ; ergo facile concludemus permutando, esse ut AC, ad GH, sic tam BC, ad H F, quam AB, ad GF, quam circumferentia ALO, ad DC, & quam circumserentia BΚP, ad EF.

Cum ergo rationes tam circuli, cuius semidiameter AC, ad triangulum D HG, quam circuli, cuius se nidiameter BC, ad triangulum EHF, componantur ex ijsdenu rationibus, nempe circumseren

162쪽

vel BC, ad GH, vel H F. Ergo etiam ratio a millae ad trapezium, componetur ex ijsdem rationibus nempe ex ratione alterutrius circumferentiar, ad alteram ipsarum DG , EF , nempe homes gae ad homologam , & ex ratione AB, ad GF. Quod &c. ' ' .

Etiam ergo sub hac proposi tio ne uniuersali conistinetur ceu particularissima haec. Nimnum, quod si circumferentia ALO, aequetur D G, & AB, aequetur G F, etiam armillam aequari trapezio. Sed eriam aliae duae hac uniuersaliores continentur. Pruma est, quod si A B, GF, sint aequales, armilla erit ad trapezium, ut circumferentia ALO, ad DG ; si vero circumferentia ALO , sit aequaliSD G, armilla erit ad trapezium ut A B, ad G F.

Facile etiam ex dictis patebit , quod si ductis NM, CPO, & N G, MF, sint proportionales circumferentiis AO, B P, sectorum ACO, BCP, ratio portionis armillae ABPO, ad trapeLium N F, componetur ex proportione Circumferentiarum A O , si it BP, ad homologam ipsarum N G, MF, re ex ratione AB, ad FG. imo deducentur ea omnia, quae supra deducta sunt. Nimirum

163쪽

nem armillae ABPO, aequari NF ,. Sc. Deducetur etiam faciIiter, eandem esse rationem vel

armillae, vel totius circuli, ad portionem Α Β P Ο Κ armillae, cum ratione vel trapezii DF, ver trian. guli D H G, ad trapezium N F, & sic de aliis partibus homologis circuli, & trianguli. Haec enim omnia sunt nimis obuia, ut circa ipsa tempuS conteramus , quamuis necessaria pro imposterum di-

. SCHOLIVM ΙΙΙ

Ex dictis etiam facile patebit, quod si supponamus AC, duplam CB, & aequaIem HG; & DG,

aequalem esse circumferentiae Bh P; rectangulum duplum trianguli DHG, aequale erit circulo, cuius semidiameter A C . Nam cum triangulum D HG, sit duplum circuli BC, quia H G, aequalis diametro circuli, & DG, eius circumferentia it.& cum circulus AC, sit quadruplus circuli BC; ergo taliscirculus AC, erit duplus trianguli DHC;&consequenter aequale rectangulo duplo trianguli DHG. Rectangulum ergo, cuius unum latus .equatur diametro, & aliud circumferentiae circuli, sequatur circulo, cuius semidiameter aequetur diametro prioris circuli. PRO

164쪽

r Is DE INFIMTIS PARABOLIS ETC.

e re remsuperskies, exceptis basibus, ad

rem Nub- uodeumque, habet rationem composi- eam ex ratione titeris cylindri, ad et sm latus rectantun, ω ex ratiohe circumferentiae basis cylindri,ad abud latus.

Esto cylindrus rectus , cuius rectangulum per axim A D, datumque sit aliud rectangulum quodcumque E H. Dico superficiem cylindri AD,

basibus exceptis, ad rectangulum EH, habere rationem cornpositam ex ratione lateris AC, ad PB, & ex ratione circumferentiae, cuius diameter ad B H. Inter AC, CD, sit media proportionalia k, S exponatur rectangulum E F, cuius latus BF, aequetur circumferentiae circuli, cuius diameter EB. Ex Archime. lib a.desphari. 8c'Πlin. proposis, i 3. superficies cylindri A D, est aequalis circulo, cuius radius K. At taliscirculus, .est ad circulum, cuius radius EB, ut quadratum k, ad quadratum E B. Ergo etiam superficies cylindri A Di, est ad circulum , cuius radius EB, ut quadratum k, seu vi rectangulum A D, ei aequale, ad quadratum E B. At ratio rectang ili AD, ad quadratum EB, componitur ex rationibus AC,& CD, ad EB; &vt C D, ad EB, ficcircum- serentia , cuius diameter CD, ad circumferen

tiam s

165쪽

tiam, cuius diameter E B. rugo etiam ratio superficiei cylindri A D, ad circulum, cuius radius E B, componetur ex rationibus AC, ad EB, & ci cum serentiae circuli, cuius diameter CD, ad circumferentiam circuli, cuius diameter E B. Verum s circ

166쪽

ias DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

circulo, cuius radius EB, ex scholio 3. proposita ant. est aequale rectangulum E F. Ergo ratio supe sciet cylindri AD, ad rectangulum EF, componetur ex rationibus AC, ad EB, & circums rentiae, cuius diameter CD, ad circumferentiam circuli, cuius diameter E B, nempe ex ratione circumferentiae, cuius diameter CD, ad BF, quia ex constructione BF, supponitur aequalis circumis ferentiae, cuius diameter EB. Rursum rectangulum EF, est ad rectangulum EH, ut FB, ad B H. Quare cum ratio su perficiei cylindri A D, ad rectangulum E H, de seris sumpto rectangulo EF, componatur ex ratione ipsius, ad rectangulum EF,& huius ad rectangulum E H; componetur quoque ex rationibus AC, ad SB; circumferentiae, cuius diameter CD, ad BF; & huius ad ΒΗ; nempe ex solis duabus rationibus AC, ad EB; εἰ circum- serentiae , cuius diameter CD, ad B H. Quare&c. Quod &c.

Fx dictis nullo negotio deducitur, quod si A C, sit aequalis EB, superficies cylindri AD, basibus

exceptis,erit ad rectangulum E H, ut cireumferen.

tia, cuius diameter C D, ad B H. Si vero praedicta circumferentia sit aequalis ΒΗ, etiam superficies praedicta, erit ad ΕΗ, ut latus AC, ad EB. At si latus AC, sit aequale EB, & circumferentia

167쪽

LIBER SEcVNDVS. 13s praedicta sit aequalis ΒΗ, etiam superficies cylindr,ca aequabitur rectangulo EH. Vnde deducitur quod superficies cuiuscumque cylindri recti, basibus exceptis,est riualiS rectangulo, cuius unum latus squatur lateri cylindri,aliud circumferentiae basis ipsitus. S a SCH

168쪽

SCHOLIUM IL

Posset etianti ex praedictis facile deduci, superiaciem cuiuscumque cylindri recti, exceptis basibus, esse ad circulum suae basis, ut latus cylindri, ad quartam partem diametri basis. Ex quibus postea deduceretur quod si latus cylindri, & diameter basis aequarentur , superficiem cylindricam esse quadruplam suae basis; & consequenter superficiem cylindricam quadruplam esse circuli maximi sphaerae sibi inscriptae. Sed quia haec non pertinent ad rem, ideo ex industria reliquuntur.

PROPOSITIO IX.

ylinaerici quicumque babent inter se rationem compositam ex ratione basium, oe altitudinum, seu laterum aequalite uper basibus inclinasorum. Glindricum vocamus cum Causerio lib. I. Geome. lndi uis def. 3. omne corpuS columnare, quaecumque figurae sint eius oppositae bases. Quod si opposit e bases sint circuli, vocabimus illum, consueto modo, cylindrum. Sint quilibet cylindrici ABC, PF, quorum bases BC, DEFG, altitudines, seu latera etequaliter inclinata, AB, O F. Dico rationem cylindrici ABC, ad cylindricum PF, componi ex ratione AB,

169쪽

AB, ad O F, R extarione basis BC, ad basim DEFG. DEFG , hones fi aequalis basi bC,

Concipiamus illum augeri, minuive ut fiat aequalis BC, &sit haec HEF; &super illa concipiamus Iindricum eiusdem inclinationis cum ΡF, qui sit N F, euius latus M P, aequetur AB. 'Cylindrici AC, N F, sunt squales; cum enim bases,& altitudines ipsorum sint squales, nequeunt producere nisi solida iuualia, ut bene ait P. Tacquet Iib. i. Cyliad. N a'nul. parte r. proposit. s. & probari potest ex I a. Eletnen. Unde cylindrici A C, N F, ad cylindri cum P F, habebunt eandem rationem. Uerum ratio cylindrici N F, ad cylindricum PF, componiatur ex rationibus cylindrici N F, ad cylindricum

170쪽

t a DE INFINITIS PARABOLIS Erc. .

L F; & huius ad cylindricum P F. Ergo & ratio lindrici A C, ad cylindricum PF, componetur ex ijsdem rationibus. At cylindricus N F, est ad

lindricum L F, ut basis Η E F; sed ei tqualis BC, ad basim DEFG; &cylindricus L F, est ad cyli dricum PF, ut MF, seu AB, ad F quae omnia facile patent, & deduci possunt ex I 2. Element. Ergo ratio cylindrici A C, ad cylindricum PF. . Componetur ex rationibus AB, ad O F, &BC, ad D E F G. Quod erat ostendendum.

PROPOSITIO X

si e indricus rectus eximus super qualibet figura, circa axim,secetur diagonaliter plano transeunte per puncta extrema opposita axium planorum oppositorum, ario erat communes sectiones plans secautis, ω oppositarum ba- flum*tperpendiculares oppositis axibus. Gilibet trum cus bolus vlundrici rit ad solidum rotundum ortum ex eius basi rotata circa communemsectionemriurae,in pia ni secantis, ut latus Ilindrici, ad circumferentiam ei cub, euiussemidiameter axis figura .FIgura circa axim, vel habet basim, ut ABC, in prima figura, cuius axis BD, basis A C. Vel non habet bassim, ut AFB, in secunda, cuius axis AB. Vel tandem habet duas bases oppositas, & p, rallelas, ut A B C D, in tertra, cuius axis ET, bases vero BC, A D. Primi generis possunt esse , vel