장음표시 사용
171쪽
. LIBER SECUNDVS. quodlibet ex infini- π r ν ritis trilineis duplica. tum s vel quodlibet his smile ; vel quaelubet figura, cuiuS pe Timeter claudatur a linea recta AC,&a Curva ABC; seu a
curvis AB, BC; cuius possunt esse species innumerae. Secundi generis possunt esse vel figurae, quae clauduntur a linea Curva, ut sentcirculi, & ellipses; vel a duabus lineis Curvis, ut sunt duae similes , & aequales portiones circulo rum, ellipsium ; duae Parabolae , Hype bolae, cycloides, harum portiones, &c. Quarum communis basis ΑΒ, consideratur ut axis. Tandem tertis generis
possunt esis re gulum; quodlibet ex infinitis du
172쪽
numerabilia segmenta clausa a duabus lineis rectas,& a duabus cuiuis &c. in omnibus His propemodum infinitis figuris propositio proposita kerificatur eadem demon stratione,& eadem restructione, vel parum diuersa, ut consideranti patebit, adeo ut propo- suo si uniuersalissima . Quamuis nos confusionis euitandae gratia simus adhibituri figuram basim unicam habentem.
Esto ergo figura ABC, cuius axis BD, basis AC; lsuper qua intelligatur cylindricus rectus, cuiuS plana opposita ABC, FEG, qui lectus plano transeun te per AC, & per punctum E, diuidetur in duo segmen- ta , seu in duos truncos,
inccps facilitatis gratia appellabitur truncus dexter j
vocabitur truncus siniste i). Dico truncum sinistrum ABC' E, esse ad solidum '
tione figurς ABC, circa AC, ut E B, latus cylindrici, ad cireumferentiam cliculi, cuius radius B D. Paritertruncum dexterum
173쪽
tum A E C G F, esse ad solidum rotundum Ortum ex rotatione figuret FGE, seu ABC, rotatς circa ductam per E, vel per B, G F, vel A C, parallelam,
ut EB, ad eandem circumserentiam. Ad euitandam confusionem , ostendemus hoc in trunco sinistro, & insolido rotundo ex figura ABC, circa AC. Nam eadem erit demonstratio in alio trunco, ut consideranti patebit. Meliusque erit si hoc ostendatur in dimidio trunco ABDE, existente super dimidia figura ABD, comparando illum cum s blido orto ex rotatione ABD, circa A D. in denim de dimidiis dicetur veri scabitur etiam de duplis j Exponatur ergo pridictus truncus solitarie sumptus,&sir ABD E; ductaque DE, erit triangulum EBD, erectum ad planum ABD, &erit sectio maxima totius trunci sinistri, & imposte
rum vocabitur triangulum maximum omnium sibi parallelorum in trunco ducibilium . Sumatur in
BD, ubi libet punctum G, & agantur GF, parallela AD, & FH, parallela BD; &a puncto F, erigatur FK, pars lateris cylindrici. Pariter per punctum G , ducatur in triangulo maximo GL, paralleIa EB. Patet duas FH, FK, es parallelas duabus GD, G L ; FH, G D, ex constructiones FΚ, GL, vero, quia ambς parallelae Es; FK, quia latus cylindrici; G L, vero ex constructione. Ergo & plana transeuntia per H F, F k, Sper D G, GL, erunt parallela. Uerum cum haec secentur aplano A E Di S communes sectiones sine
174쪽
t g DE INFINITIS PARABOLIS ETC. HK, DL . Ergo etiam hae erunt parallelae. Quare cum tres HE, H F, Fh, sint parallelae tribus DG, DL, GL. Ergo & trian. sula H Fh, DG L, erunt fimilia. At latus homologum FH, est aequale lateri homologo GD, quia excoC stluctione F D, est parallelogrammum . Ergo
Fk, erit aequalis GL Ve brum cum sit ut BE , ad GL, sic B D, ad DG; & ut BD,
ad D G, sic circumferentia circuli, cuius radius BD, ad circumferentiam circuli, cuius radius DG. Er
circumferentia circuli, cuiu; radius B D, ad circumferentiam circuli, cuius radius DG. Quare & permutando, ut EB, ad circumferentiam circuli, cuius radius B D, sic LG, seu ci aequalis FE , ad circumferendam circuli,cuius radius GD, scit FH Sed ut kF, ad circumferentiam circuli cuius radius FH, sic ducta KL, pa allela FG, utpote iungentes aequales, & parallelas Fk, GL ὶ palallelogrammum FL, ad superstitem cylindricam descriptam a parallelogrammo FD, reuoluto circa AD, ex scholio primo,
175쪽
LIBER SECUNDVS. 14 proposit. 8. huius ;&puncta G, F, sumpta sunt arbutrarie. Ergo & ut unum ad unum, ita omnia ad omnia. Ergo & ut EB, ad circumfercntiam descriptam a radio BD, sic omnia parallelogramma trunci ABDE, ad omncs superficies cylindricas plani ABD, circa AD, rotati; nempe sic truncus ABDE, ad solidum rotundum ex eadem figura sic rotata, genitum. Quod Sc.
Ut supra innuimus, eadem demonstratio currit in omnibus figuris, sed constructio est in quibusdam parum diuersa ab assignata. Quando enim figura prima in schemate initio propositionis posito, rotatur circa EBG; & in secunda circa EAG, vel EBG, tunc FH, debet produci usque ad lineam circa quam fit rotatio. Idem dicendum esset si figura ABC, esset talis conditionis, ut AC, vel non esset maxima , vel non aequaliS maximae parallelarum sibi ducibilium intra figuram interceptarum, nam tunc FH, esset producenda usque ad AC, hinc inde productam.
Ostendimus autem praesentem propositionem γ' viam regqlem indivisibiliam, tumo uia propositio elegantior euadit , cum unica propositione.
176쪽
i 2 DE INFINITIS PARABOLIS ET .
unicaque demonstratione comprehendantur sere infinitae figurae, casusque innumeri s tum quia P. Tacquet opere supra citato lib. I. & x. demonstrat eam in quibusdam casibus,demonstrationibus peculiaribus modo Archimedeo; & in casibus, in quibus eam non ostendit, ipse non dubitabit, nec aliquis alius pote st rationabiliter dubitare, posse ostendi modem modo, quo ipse ibidem ostendit adhibitis tamen congruenti praeparatione,& argumentatione; Vnde qui plura desiderat, addeat ipsum Tacquet. Verum ut omnibus aliqualiter satis faciamus, trademus & nos unicam demonstrationem modo Archia me deo;quae cum comprehendat omnes figuras prae dictas in alteram partem deficientes,& parum ei d erit ut sit uniuersalissima , & poterit lectori pro exemplo inseruire . Demonstratio autem conuo. piens cum ipsis Tacquet, sit sequens.
BD, diameter diuidatur in quotcumque partes B F, F G, G C, C D, S per puncta F, G,
. &c. ducantur FH, GK, CI, &c. AD, parallelaedi a punctis H, h, I, erigantur H M, EL, IZ, latera cylindrici; & per puncta F, G, C, ducantur in triangulo maximo KDB, F O, GN, CR, parali lae L B. Eodem modo, quo patuit supra, patebit F O, M H; G N, k L; C R, i Z, aequales esse, ac parallelas; ac proinde, si ducamur MO, LN, ZR, patebit
177쪽
LIBER SED UNDVS. 14stebit M L LG, ZC, esse parallelogramma. Paritera punctis H, h, I, ducantur H PS, hQ1IΥ, parallelae D B; ac in plano L G, ducatur P U, paraIIeIaGN, vel Lh; & pariter in plano Zin ducatur TX,
parallela C R. Ergo in trunco habemus inscripta prismetia Z D, L MG; quorum ZD, habet plana opposita triangula ZM, DR C; resiqua vero habent planaopposita, quae sunt trapezia , ut patet in schemate. Quod vero deistis dicitur,inteIligendum veniret etiam de alijs, quae inscriberentur, si B D, diuisa suisset in plura, pluraque puncta, & per, puncta
178쪽
iueoi DE INFINITIS PARABOLIS ETC. puncta diuisionum constructa essent prismata ut factum est in praedictis: semper cnim prismatis Z D,
essent plana opposita triangula ; reliquorum vero trapeZia. Intelligamus figuram ABD, cum sibi inscriptis parallelogrammis HG, EC, & ID, rotari circa A D. Aparallelogrammo et go ID, cos. stituetur cylindrussa parallelogrammis vero h C, HG, tubi cylindrici,quorum crassities erunt KLPH Ι acile probabitur, ut factum est supra, esse ut EB, ad circumferentiam circuli,cuius radius BD, sc FO, seu M H, ad circumferentiam, cuius radius F D, seu HS: &pariter sic GN, seu Lk, ad circum- serentiam, cuius radius GD, seu hQ: necnon sic CR,. seu lZ, ad circumferentiam, cuius radius CD, scin 1Y. Tunc . Quoniam habemus duos cylindricos, nempe prisma Z D, & cylindrum ex ID, circa AD, quorum est eadem altitudo J C. Ergo prisma, erit ad cylindrum , ut basis ad
basim, ex propos t. s. huius 3 nempe ut triangulum R CD, ad circulum, cuius radius DC. At trian
gulum, est ad circulum, ex scholio proposit. 6. huius, Ut RQ ad circumferentiam, cuius radius DC; nempe sic EB, adaeircumferentiam, cuius radius BD. Quare & prisma, erit ad cylindrum ; ut EB, ad circumserentiam, cuius radius BD. Pariter quoniam habemus duos cylindricos, nempe prisma LC, S tubus ex EC, circa AD, quorum eadem alti ludo G h. - Ergo, ex dictis, prisma erit ad tu bum, ut basis ad basim ι nempe ut trapegium C RN G, ad armillavi
179쪽
armillam ex GC, reuoluta circa AD; nempe e scholio i. proposit. 7. huius, ut N G, ad circumferentiam, cuius radius GD; hoc est, ut FR, ad ci cum ferentiam, cuius radius DB. Idem ostendetur de prismate M G, & de tubo ex HG, circa A D. Quare ut E B; ad circumferentiam circuli, cuius radius B D, sic omnia prismata inscripta in trunco D ABE, ad cylindrum cum reliquis tubis cylindri cis inscriptis in solido rotundo ex figura A B D, circa A D.
Quod vero probatum est de prismatibus inscriptis LIBAR SEcVNDVS. Is I
180쪽
i' DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
ptis in trunco, & de cylindro, & tubis inscriptis ita solido rotundo , probaretur etiam de prismatibus, de de cylindro, & tubis circumscri piis trunco, & solido rotuhdo. Hoc est sit prisma ZD, inteli geretur produci, ut eius altitudo esset A D; tunc prismaestuircumscriptum trunco ; & pariter si cylindrus ex PD, intelligeretur produci, ut eius altitudo esset eadem DA, cylindrus esset tunc circumscriptus solidbrotundo. Eodemq e modo , quo suprafacturn est, probaremus, prilina esse ad cylindrum, ut E ad circumferentiam circuli, cuius radius B D. Idem pro retur si prisma L C, cum tubo ex k intelliger tur produci , oeorum commu nis altitudo esset CI, & idini de alijse unde eodem modo ostenderetur omnia prismata trunco circumscripta, esse ad cylindrum,& ad tubos circumscriptos solido rotundo, ut EB, ad circumferentiam, cuius radius B D. ' Sed insuper dico, quod erit ut EB, ad saepe dictam circumferentiam, sic truncus, ad illud solidum rotundum. Nam si non est, vel truncus erit in maiori , vel in minori ratione ad illud solidum rotundum, quam E B, ad illam circumferentiam. Si dicatur esse in maiori. Ergo aliquid trunco minus, erit ad solidum rotundum in eadem ratione cum E B, ad illam circumferentiam. Sit excessus , quo truncus hoc excedit, penes Φ, magnitudinem
facilitatis gratia, exposita basi ABD, seorsim, ipsi cir mscribatur ND, parallelograminum, & O,