장음표시 사용
201쪽
hldE R I1 cVNDVS. . - 1 circa F C. Ergo & ut solidum, ad solidum, sie figura ad figuram. Quod erat ostendendum.
Universa Iitas huiusyrqpositio et quod propositionis ex ipsa veluti corolIatria M'icantur, unusquisque potucognoscer voeunt harum aliquas& noi subito geritus. γ ergo l
lx R ppostamus AF su parallelogram naum, HA ψ C esidi quamlibe=,x infinitis parabolis; dabitur tario cylindri, ad infinitos annulos stri
quos stringit, Haec sit, dabitur sui ordine, ut in
prima parabo si vi 2. aa I. In secun a, ut 3. ad L. In tertia, ut 4 ad 3. & sicun infiditunt. Item per conuersionem rauoris, dabitur rario eiusdem cylindri, ad solidum ex excessuS rallelogrammi supra parabolam. Et ha --ὲ ordine, nam prima parab Ia st ut L. ad i. In secunda vi V. ad i. In tertia vi q. ad i.&sic in infinitum. RationeSpetantur exprima proposit. lib. primi.
Insertur se undo - Quod si BA N, sit figurata
202쪽
id , DE INFINITIS PARABOLIS ET
constans ex duabus quibuscumque semiparabolis eiusdem gradus,&a qiralibus sic dispositis, ut basis AD, fit axis ambarum simul sumptarum. Dabitur ratio cylindri ex parallelogrammo F N, ipsis circumstripto reuoluto circa O N, ad solidum ortum ex fi-
203쪽
ex figura BAN, circa eandem O N. Haec autem dabitur tali ordine, ut in prima parabola sit via. ad x. In secunda ut 3 ad 1. &c. imo per conuersionem rationis, dabitur etiam ratio pra dicti cylindri, ad lidum ex excessu parallelogrammi supra figuram, constantem ex semiparabolis sic dispositis, & ordine, ut in antecedenti scholio. Ratio est, quia parallelogrammum EN, ad figuram BAN, retinet eandem rationem, quam habet parallelogrammum AF, ad AB C. Tam enim parallelogramma EN, A F, quam figurae ABC, B AN, sunt aequales in
Infertur tertio; quod in praecedenti casu, quam rationem habet cylindrus ex EC, circa FC, ad solidum ex ABC, circa FC, eandem habeat cylindrus ex EN, circa ON, ad solidum ex BAN, circa ON: & quam habet cylindrus ex EC, circa FC, ad solidum ex AEBF C, ctica FC, eandem habeat cylindrus ex EN, circa ON, ads lidum ex figura BE AON, circa ON. Ratio est, quia vitaque ratio horum cylindrorum ad pra dicta solida, est eadem cum utraque ratione parallelogrammorum ad figuras; quae rationes, propter a qualitatem parallelogrammorum , & figurarum, a quales sunt. Ex quib s postea consequenter deducitur, quod solidum ex parabola ABC, circa Crierit
204쪽
a 66. DE INFINITII PARABOLIS ETC. erit ad solidum ex BAN, circa ON, ut AD ad si P. Et pariter ratio solidi ex figura A EB FC, circa s C, ad solidum ex figura BE AON, circa ON, erit ut AD, ad DB. Ratio est, quia cum
sit ut cylindrus ex EC, circa FC, ad solidum ex ABC, circa F C, sic cylindrus ex E N, circa ON, ad solidum ex BAN, circa ON; erit etiam permutando, ut cylindrus ad cylindrum, sic solidum ad solidum. Sed cylindrus ad cylindrum, est ut Ain. ad DB Nam ratio cylindri ad cylindrum,componitur ex ratione basis ad basim s nempe ex ratione quadrati AC, ad quadratum BN ; nempe eX ratione quadrati AD, ad quadratum DB; nempe ex duplici ratione AD, ad DB, & ex ratione alisti tu dimam; nempe ex ratione DB, ad DA: at duae rationes AD, ad DB, cum ratione DB, ad DR, faciunt sidam rationem AD, ad D B. Quare, &vt AD, ad DB, sic solidum ex ABC, ad solidum ex BAN. Fodem modo argumentabi lux insolidis ex figuris AEBF C, BE AON, reuolam iis ut dictum est.
Insertur quarto; quod si ABC, sit cylois primaria, cylindrus ex L C, circa FC, erit ad solidum ex ABC, circa FC, in ratione sesquitertia. Ratio est,quia ex Torricellio de dimensione cycloidis,& ex Tacquet indeffertatione de circulorum volu
205쪽
LIBER SE UNDVS. a 67tationibus, proposit. ao. pulcheri ima quidem demon strationeo parullelogratamu est sesquitertitancycloidis. Per quod patet id, qubd habet Torricellius lib a. de motu grauium descendenti una in calce schol. proposit. i 8. Nempe. forissimus mir Mnt nius Nardius offendit , quod si clo circa tangentem ais paraDIam conuertatur , flidum ad se m c lindrum erit subri uitertium. Discurendo autem ut factum est in
parabola, & s p ponendo figuram SA N, constare
ex duabus sem cycloidibus, concludemus etiam cylindrum ex EN, circa ON, esse ad solidum ex B A N, circa O N, in ratione sesquitertia: & etiam solidum ex ABC, circa CF, esse ad solidum ex BAN, circa ON, ut AD, ad D B; nempe in ratione semiperipheriae circuli genitoris ad suum diamet tu Iac proinde in ratione non data, sed proxime in ratione i I. ad 7. Quare si daretur ratio horum solidorum, daretur etiam circuli quadratura. Imo ex doctrinis Torricelth, & s acquet locis sepia citatis, possumus infere, quod si ABC, non solum sit cyclois primaria, sed qua libet ex infinitis cycloidibus, cylindrum ex parallelogrammo EC, circa CF. ad solidum ex cycloide A B C, circa Fui vel cylindrum ex parallelogrammo EN, circa ON, ad solidum ex figura BAN, circa O N, esse ut quadrupla AC, ad duplam A C, cum peripheria circuli genitoris. Sed pro is inferendis, de alij, videantur supradicti auctores locis citatis.
206쪽
Insertur quinto. Quod si quodlibet ex infinitis trilineis BCF, duplicetur ut fiat CA &ei sit circumscriptum parallelogrammum CP. Dabitur ratio cylindri ex parallelogrammo C P, circa DC, ad solidum ex duplici trilineo, hoc est ex trilineo CBQ,
207쪽
ZIZAR SgζVNDVS. IcyCBQ, circa eandem DC. Haecque dabitur tali ordine, ut in primo trilineo sit ut a. ad i. In secundo, ut 3. ad I. In tertio ut 4. ad i.& sic in infinitum. Ex quibus sequitur, quod per conuersionem rati nis , dabitur ratio eiusdem cylindri ad solidum ortum ex reuolutione figurae QPBCD, circa DC;& tali ordine; ut in primo trilineo sit vi 2. ad a. In secundo ut 3. ad a. in tertio ut ad 3. de sic in infinitum . Quare sequitur, quod cum parallelogramma EN, PC, sint aequalia, & pariter cylindri ex ipsis circa . O N, D C, sint aequales, quod etiam solida ex BAN, circa ON, & ex QPBD CB, circa DC, sint aequalia. Rationes petantur ex quadraturis trilineorum,& parabolarum.
Insertur sexto; quod si quodlibet ex infinitis tril neis duplicetur in BCR, ut in schemate, & ei sit
circumscriptum parallelogrammum BG ; cylindrus ex eo circa RG, ad solidum ex BCR, circa RG, erit in ratione data tali ordine, ut in primo trilineo sit ut a. ad I. In secundo, ut 3. ad i. In tertio, ut . ad I. &sic in infinitum. Ex quibus sequitur, quod per conuersionem rationis, idem cylindrus ad solidum ortum ex figura B D C R G, circa'R G, in primo trilineo erit ut a. ad i. In secundo ut 3. ad a. in tertio ut 4. ad 3. & sic in infinitum. Ex quibus
208쪽
C, & ex s DC GR, eirea RG, sint aequalia Δ' Nam eriam cylindri ex parallelogrammis aequat,bus, nempe BC, circa CF, & BG, circa RG, sunt aequales. Rationes dependent ex proposit. I. primi libri. Cois
209쪽
Insertur septimo. Quod quaecumque dicta sunt in duobus superioribus corollarijs de trilineis infinitarum parabolarum, verificantur etiam de trilineis cycloidis primariae, & aliarum. Nempe si cyclois ABC, disponatur quatuor modis, ut in schemate sunt dispositae parabolae. Sed rationes cylindrorum ad solida ex trilineis in primaria,erunt vi q. ad i. Ad solida vero ex figuris, ut 4. ad s. nempe in eadem ratione sicuti ad parabesam cubicam. In alijs vero cyctoidibus, ad solida ex trilineis, ut quadrupla AC, ad excessiim ipsius supra duplam A C, & supra circumserentiam circuli genitoris. Ad solida vero ex figuris, ut quadrupla AC, ad duplam AC, cum circumferentia circuli genitoris.
Insertur octauo idi quod si ABC, non sit parabola , sed figura quaedam constans ex duabus portioni-hus minoribus , & aequalibus eiusdem parabolae, rein sectis lineis BD, diametro parallelis, & sic dispositis, ut B D, coeant , & sint axis totius figurae; d bitur ratio cylindri ex EC, circa CF, ad annulum strictum ex illis portionibus circa CF. Haec autem dabitur tali ordine, ut in prima parabola sit ut dupla basis semiparabolae, cuius Α Β D, D B C, sunt por-Y a tiones,
210쪽
a 1 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. tiones, ad eandem basim . In secunda, ut tripla basis semiparabolae, cum tripla disserentia inter C & basim praedictam, ad duplam basim, cum unica dicta d sserentia . In tertia, ut quadrupla basis, cum quadrupla pr dicta disserentia, & cum quadrupla harum tertia minori proportionali continue, ad truplam basim semiparabolae, duplam dictam disserentiam, & unicam tertiam proportionalem. Et sic in infinitum. Ex quibus per conuersionem rationis, facile patebunt proportiones cylindri ad soli da ex figuris AEBF C, circa CF. Rationes petantur ex proposit. i 3. primi lib. Imo, quaecumque dicta sunt in corollariss superioribus, patet faciliter posse applicari suo modo cylindris , &solidis exportione A B O, quatuor modis disposita ut dictum est.
infertur nono. Quod si ABC, sit figura constans' ex duabus portionibus ABD, CBD, maioribus, & a qualibus eiusdem parabolae resect e lineis B D, diametro parallelis, cui sit circumscriptum parallelogrammum EC; dabitur ratio cylindri ex EC, circa CF , ad solidum ex figura ABC, circa CF. Imo, etiam per conuersionem rationis, dabitur proportio quae re peritur inter pra dictum cylindrum, S solidum ex figura AEl BZFRcirca FC. Ordo aciem proportionum , & asserti ratio, petantur ex proposit. ι3 . primi lib. imo qua