장음표시 사용
231쪽
sub duplo numero parabolae aucto unitate, aequatur rectangulo sub numero parabolae aucto unitate, &sub eodem numero parabolae aucto dimidia unitate. Quare patet secundum. Tettium sic pmbatur. Quoniam enim in antec. propos& in schol. i .ei annesio probatum est, fusum ex B A F, circa AF, ad annulum strictum ex eadem circa D B, esse ut numeruS parabolae, adnu. merum parabolis auctum unitate: & Vt numerus parapolae ad numerum parabolae auctum unitate, sic quadratum numeri parabolae ad rectangulum sub numero parabolae unitate aucto , & sub numero parabolae. Ergo & susus ad annulum , erit Ut quadratum numeri parabolae, ad rectangulum sub numero parabolla unitate aucto, & sub numero parabolae . Sed in secunda parte propositionis probatum est, cylindrum ex DF, circa AF, esse ad susum v restangulum sub numero parabolae unitate aucto, d sub eodem numero parabolae aucto dimidia unitate. Ergo ex aequali,cylindrus ex DF, circa
AF, seu DBs quia idem cylindrus oritur, erit ad
annulum strictum ex A B F, circa D B, ut rectangulum si is numero parabolae aucto unitate, &sub numero parabolae aucto dimidia unitatς, ad rectaningulum sub numero parabolae, & subi numerbi par bolae aucto unitate a nempe propter commune latus numstrum parabolae auctum vnittae. y ut numerus parabolae auctus dimidia unitate ,iad muDein . Bb para-
232쪽
rs DE INFINITIT PARABOLIS Erc. paxabolae . Quare Patet tertium , M. Quod
. Sed expedie in numerisxem exemplificaro, ut eliciamus ex dictis , pulchram seriem , tuae reperitur in proportione cylindri ad praedictos annulos strictos . In prima ergo parabola, numerus parabolaeest I. qui auctus cunitate facit cuius di midium est ri
duplus autem nume τu1 parabolae unitate auctus Tacit 34qurductus in I. facit 3; quadratum vero numeri
parabolae est I. Ergo cylindrus erit ad primum susum si qui est Rhombus conicus, & primus semicylindrus ad primum semifusum, qui est conus, ut ad 1ι Ex quibus patet etiam nunc cylindrum triplum esseconi . . In secunda dimidium tumen Parabolae aucti unitate est a. cum dimidio a duplus
233쪽
num erus parabolae auctus unitate est 3 .rectangulum sub his in 7. cum dimidio: quadratum numeri pa. rabolae est 4. Ergo cylindrus erit ad secundum fusum, ut T. cum dimidio ad η; nempe vir s. ad 8. In tertia dimidium est 1; duplus 7. rectanyluna rq quadratum s. Ergo cylindrus erit ad tertium susum ut i , ad s. Et sic poterimus in infinitum proce.
dere. Eadem rectangula antecedentia colligemus si iiuxta secundam partem propositionis, multipli Cabimus numerum parabolae auctum unitate, innumerum parabolae auctum dimidia unitate, vi ci
Ex dictis licetcolliger quod in proporrisnec Iindri ad suismaton habemus aliquam pulchram se,
riem,quam tame haberem in proportione cylindri ad annulum. Haec autem: talis est ; quod series halivm proportionum est ut series; omnium numero, maximpartu in incipientium ab unitat exclusiue, ad omnes numeros parra incipientes 1 binario inclus ue; adeo, ut consequens proportionis deficiat Esuo, anteeedenti unitate. Ita ut cylindrus ad annulum primum sit ut 3 . ad a. Ad secundum vi , . ad 4. Ad tertiu- ας. ad G Ad quartum vi p. ad 8. N Gin infinitum . Quod facile conspicietur ex tertia parte praesentis propositi Cum enim probatum fit cylin. drumeta ad annulum ut numerus parabolae auctus
234쪽
iss DL INFINITIS PARAB IIS ETC. dimidia unitate , ad ipsum numerum parabolaeis Enisgo & ut duplum ad duplum. Nempe cylindrus erit
ad annullam, ut duplus numerusci arabolae auctus Unitate , ad duplum numerum parabolae. Verum cum progressio parabolarum sid ut series numer Tum naturalium incipientium ab unitate inclusiue I. a. 3. q.&c. Patet seriem dupli numeri parabolae esse a. q. 6. 8. &c. Et seriem dupli numeri parab lae aucti unitate esse s- -7. s. &c. Quare patet pr positum.
Ex dictis in antevi sthol faciliter possumus deducere , & inuenire rationem cylindri circumstripti assomnes conicos ortos ex reuolutione infinitorum trutineorum ABD, circa diametrum BD . Cum . enim probatum sit, cylindrum ex parallelogrammo DF, circa DB , esse ad annulos ex figura ABF, Circa DB, ut omnos numeri impares incipientes ab unitate exclusiue, ad omnes numeros parra inci pientes a binario inclusiue . Etiam per conuersi nem rationis, cylindrus ad conicos infinitorum tri lineorum ABD, circa BD, erit ut omneS praedicti numeri imparesad unitatem. Ergo cylindruSerit ad primum conicum , qui est conus Vt 3. ad I. Ad secundum ut 1. ad i. Ad tertium ut T. ad a. &sic in infinitum . nempe ut duplus numerus conici Vnti
tate auctus, ad unitatem. i . . ia
235쪽
Ex doctrina tradita in scholio aialec. possumus supplere eo, in quo deficit proposit. 3 . huius ue nenispe possumus assignare rationem, quam habet quodlibet ex praedictis segmentis conicis , ad cylindrum
sibi circumscriptum. Ratio autem, quae reperitur inter praedicta solida est, quod segmentum ad cylindrum sibi circumscriptum sit ut tot continue proportionales in ratione diametri totius conici , euius est segmentum, ad diametrum conici ad vertirem , incipiendo a diametro totius conici, ut earum numerus sit duplus unitate auctus numeri conici,ad toto diame-
236쪽
aM DA INFIMNI MIRABITπ ETC. diametros totius conici , quot sunt ipsae is U. g. In schema proposit. D la primo conico , segmentum ΑΗkC, erit ad cylindrum GC, ut EB, BD,
Cum L, ad tres EB. In secundo ut EB, BD, cum tribus. alijs harum continueproportionalibus ad EB. In tertio;vt E B, BD, cum alijs F. pr portionalibus ad 7. EB, & sic in infinitum. Ratio - est, quia ex praecitata proposit. frustum ad conicum ADC, est ut numerus illarum proportionalium ad EB. Ex conuerso autem scholij antecedentis ,. conicus ADC, est ad cylindrum GC,. sibi ci
cumscriptam,vtvnitas ad omnes, numeros. impares successiue , nempe 3. I. T. &c. nempe adi duplum numerum conici.vnitate auctum;nempe ut BE , ad 3. 3.. T. BE ,. &c. Ergo ex arguati patet propositum. O L
llarius circumfraptus cmbibeGomidi paratoseo, en adit numerus parabola aussitas binario, adnam rumparaboti . hisbaeum mero ortum ex reuolutisne semiparaboia cirra paria iam ipsius axi ductam per em remum punctum basis ,. erit Mut numerus rectanguli contenti Iub numero parabola aucto sertate , ω subnu mero parabolae aucto binario, adnumerum minoremse bia
237쪽
cuius axis AF basis BF cui sit circuiriseriptum parallelogrammum DF. Dico cylindrum ex paratilelogrammo circa A F, ad conoidem parabolicam ex semiparabola ABF, circa A F, esse Ut nume. rus parabolae auctus binario, ad numerum parabo. lae. Nempe in prima parabola ut 3 ad i. In seeum da ut 4. ad a. In tertia vi s. ad 3. & scin infinitum. Ad solidum vero ortum ex rotatione BFA, circa D B, nempe ad annulum strictum ex se parabola acceptum iuxta rectitudinem diametri Messe ut rectangulum contentum sub numero parabolae unitate aucto, & sub numero parabolaeaucto binario, adnumerum minorem se binario. E. g. in prima parabola, numerus parabolae unitate auctus est a. auctus vero binario est 3. Quorum rectangulum est 6. Ergo cylindrus erit ad tale solidum ut 6. ad 4. In
secunda parabola Vt a L. ad Io. In tertia vi 2 o.
ad i8. In quarta ut 3 o. ad 28. & sic infiniatum g quas proportiones patet posse reduci ad dumidium ue nempe s. ad a. 6. ad 3. t O. ad s. II ad
Tam super parallelogrammo, quam super sim parabola concipiantur Olindrici aequealti secti di gonaliter plano transeunte per AF, axim parabolae, & per Κ O. Istud planum secabit tres cylindriacos s nempe illum super parallelogrammo in duo prismata aequalia. Illum luper trilineo B D Α, in
sinistrvin ADEO B, de dexterum hoBA. Illum
238쪽
ia oo DE INFINITIS PARABOLIS Erc. sero super semiparabola in sinistrum ABFo, fledextemm O CE F A. Prisma vero, seu truncus sinister cylindrici super parallelogrammo, est aequalis duobus truncis sinistris simul ; nempe cylindrieorum super trilineo , & super semiparabola ; sicuti
etiam prisma dexterum aequatur duobus truncis dexteris praedictorum cylindricorum , ut clare patet.
Quoniam autem cylindricus super parallelogrammo, cst ad cylindricum super trilineo, ut basis ad basim ; nempe ut parallelogrammum ad trilineum;
nempe ut numerus parabolae auctus unitate ad unitatem, ergo & prisma, quod est dimidium cylindri .ci super parallelogrammo, erit ad cylindricum s
per trilineo, ut dimidium numeri parabolae aucti uniat te, ad unitatem Pariter cyIindricus super trilineo, est ad eius truncum sinistrii ut numerus parabolae bunario auctus, ad numerum parabolae auctum unita te; ut elicitur ex proposit. I 2. huius, & eius scho lio i quia truncus sinister huius casus, est truncus dexter illius, ut consideranti patet. Quare cum rati' prismatis ad truncum sinistrum cylindrici super trilineo componatur ex ratione prismatis ad cyli'dricum super tribneo, S huius ad suum eruncum sinistrum, componetur quoque ex ratione dimidii numeri parabolae aucti unitate ad unitatem, S ex ratione numeri parabolae aucti binario, ad num rum parabolae auctum unitate ; nempe prisma erit ad talem truncum, ut rectangulum sub dimidio numeri parabolae aucti unitate, & sub numero parabolae:
239쪽
LIBAR Sssic VNDVS. aor aucto binario choc est ut rectangulum contentum. 'numero parabolae auino unitate, & sub dimidio numeri parabolae aucti binario ad rectangulum sub unitate, & sub numero parabolae aucto unitar νSed talia rectangula propter aequale latus Onumerum parabolae
ad inuicem ut dimi vdium numeri parabo. Iar aucti binario, ad unitatem 3 nempe Vt numerus paraboli auctus binario ad binarium. Ergo&prisaea erit ad truncum ML strum cylindrici super trilineo , Ut num e usparabolae auctus binario , ad ipsum hin rium . mare α per
nis , prisma idem ad truncum sinistrum cylindrici super semiparabola
erit ut numerus parabolae auctus binario, ad ipsum numerum parabolae. Sed ex schol. 3. Proposit. nutus, ut tale prima ad talem truncum sinistrum, silc lindriiso DF, circa A F, ad conoideSpa
240쪽
Iindrus erit ad conoidem ut numerus parabolet auctus binario, ad numerum parabolae. Quod primo prin
Secunda pars probatur retenta eadem cos structione. Prisma dexter uad truncum dexterum cylindrici super trilineo, habet rationem compositam eae ratione ipsius ad cylindricum super trilineo N huius ad suum truncum dexterum. Prisma ad cylindricum super trilineo, probatum est esse ut dimidium numeri parabolae aucti unitate ad unitatem ρ cylindricus vero super trilineo est ad suum truncum dexterum, ex dictis in proposit. 1 a. & in ichol. eiusdem quia truncus dextetr huius casus est sinister illius propositionis j Vt nuri erus parabolae auctus hi hario, ad unitatem. Ergo ratro prismatis ad illum truncum dexterim componetur etiam ex praedictis rationibus. Sed ex dictis rationibus componi- tui etiam ratio recta figili contenti subdimidio numeri paxabolae aucti unitatei, & sub numero parabolae auctR binario neriise rectanguli sub numero parabolae austo unitatet, M sub dimidio numeri para lae binario aucti ad φοqrata' unitatis; nempe ad unitatem. Quare illus insitia eis id funcam dexterum cyl Irutrici sus trilineo ut tectangu
lum sub numero parabolae aucto unitate, , sub di- mdmNumeri parabolae aucti binario , ad unitatem nempe Vt, rectanguluk3 contentuit sub numero parabolae aucto unitat , & Lb eodem bumero avcl.