장음표시 사용
211쪽
IIBER SECUNDVS. a 73 cumque dicta sunt in eorollariis saperioribus de se guris illis quatuor modis dispositis , patet posse etiam accomodari figurae ABD.
Insertur decimo s quod si quaelibet parab Ia secetur duabus lineis HM L, SBD, dia me tro I h parallelis, adeo ut intercipiant segmentum parabolae L MI B D, & segmento si circumscriptum
212쪽
ptum parallelogram num H D, quod cum segmento inreli gatur duplicatum quatuor modis saepe dictis. Dabitur ra tio cylindri ad solida. V. g. ex parallelogrammo HU, circa TU, ad solidum ex segmento circa TU. Ratio, Scordo dependendi a proposit. Iq. primi libri,
Insertur undecimo;quod si ABCD, sitq iod libet ex infinitis segmentis parabolae resectae BC, basi Ao. parallela, cui sigcircumscriptum paraulelograminum uG,qruod cum rimento vertetur circa H Dr non solum dabitur ratio cylindri ex o D, ad annulum ex figura ABCD, sci rha H D, sed etiam per conuersionem rationis , reliqua de A B E F, quatuor modis disposita eoncludentur, ut prius. Ratio autem, & ordo proportionis ἐylindrorum ad praedicta solida petantur ex secunda parte proposit 3. primi lib. si
Infertur duodecimo ; quod si in eodem schemate supponamus ABCD, esse quodlibet ex infinitis duplicatis trapeZijs, resectum BC, basi AD, parallelasi 8ζ supponantur reliqua ut in schemate. Dabitur ratio cylindri ex GD, circa H D, ad soli dum ex trapetio circa H D. Patet etiam, quod de
213쪽
solidis trapezii AB EF, quatuor modis dispositi Poterimus ratiocinari ad modum superiorum. O UO Vero , & ratio petantur ex proposit. primi
Insertur tertiodecimo; quod si AB EF, sit seg. mentum semiparabota resectram linea BE, diame- para a, quod segmentum intelligatur dispolitum quatuor modis ut iape dictum est, & Vt id lchemate. Dabuntur rationes cylindrorum ad solida
214쪽
i 6 DE IM S PARASOLIS ET .lida orta ex rotationibus illarum figurarum ad modum superiorum. Et ratio, ordoque proportionum continentur in propos. I o. primi lib.
Insertur quartodecimo;quod si A F, non sit diameter semiparaboIae, sed utraque BE, AF, sint diametro parallelae, adeo ut AB EF, sit segmentum semiparabolae intermedium, & reliqua disponantur ad modum superiorum. Nihilominus dabitur ratio cylindri ex GD, circa H D, ad annulum strictum ex figura ABCD, circa H D. R tio vero, ordoque deducentur ex proposit: rL. primi libri. In omnibus ergo figuris,& magnitudinibus superiorum corollariorum patuit verum eme, rationem quatuor cylindrorum ad solida ex 'is figuris eandem esse s nempe eam, quam habent quatuor Parallelogramma, quae sunt aequalia, ad figuras quatuor modis dispositas , quae sic dispositae semper sunt aequaleS. Patuit ergo ex sit pradictis lacunditas antecedentis propositionis, & quot solidorum ex ea habeamus mensuram. Sed etiam eius lacunditas ex infra dicendis magis, magi sque parebit. PROM
215쪽
super qualibet figura circa axim in alteram partem deficientem , qua resecta per lineas basiparassetis,semper pa
rasielogramma circumsiripta figuris ad merticem retianeant ad eas eandem rationem, concipiatur cylindricuF
rectus quicumque sectus diu on aliter per merticem Hor , ω per bin figurae oppositae. Erit truncus de viter inferior, ad trunεum fimarum superiorem, mi parasielogrammum circumscriptum figurae ad ipsam si-
Vt quaesbet figura C AB, cuius vertex A, a is I AB, adeo ut figura C AB, nobis representetmidiam figuram custod enim dicetur de dimidiatelligendum patebit de tota super qua intelliamus cylindricum cium GC, cuius plana Oppota ABC, GIL, qui sectus diagonaliter plano AL, . transeunte per I L, & per A , dirimatur in los truncos. Dico truncum dexterum AIL CB, lie ad truncam siniitium GIL AS ut parallelo- ammuna DB, circumscriptum figurae ABC,
i ipsam figuram. Axis A B, secetur bifariam in F, &rursum par- s bifariam in S, & Κ,& sic usque libuerit, per quMucantur KN , FE , S Z, parallelae BC, pςruas in trunco dextero, & inferiori transeant plana Q, FO, ST, parallela plano B L. Pariter per
216쪽
lyn MO, PQ, communes sectiones horum planorum, S plani IAL, diagonaliter ducti,ducantur plana st T X, M H O, P R R, parallela plano ABC, seu Gl L. Facile patebit RT, ME. PN, esse parallelogramma similia parallelogrammo IC; pariter sguras X T, HMO, R PQ, esse gura a s DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
217쪽
ABC ; de probatur a Caualerio lib. I. Geometri Iactu. proposit, a s. ubi ostendit. Si conteus γυcilinque plano secetur basi aequidistante,concepta in eo figura erit similis basi, & limiliter posita. Quare etiam PS, MF, PE, erunt paraIlelae I B; & pariter X , HM, R Ρ, erum paralleloe GI; M O, PQ, erunt parallelae lL- Ergo cum in trianis
gulo AIB, si ut AB, ad BS, sic AI, ad ly ;& in ii iangulo AI G, ut AI, ad I , sic AG, ad G X. Erit & ut AB, ad BS , sic AG, ad GX. Et permutando ut AB, ad AG, M BS, ad
GK. Eodem modo ostenderetur ut AB, ad A
se esse BF, ad GH, Bh, ad GR; & consoquenter faciliter ostendetur G X, X H, H R, R A, aequales esse, sicuti B S, S F, Fh, k A, aequales fur
Quoniam autem parallelogrammam IC, ad parallelogrammum P Z, habet rationem compositam ex ratione I B, ad ' S; nempe ex ratione i R , ad Αθι hoc est ex ratione I G, ad XJM N ex ratione IL, ad ' T; duae vero rationes lG, ad XR,&IL, ad R T, componunt rationem parallelogrammicircumscripti figurae G i L, seu ABC, hoc est parallelog aaemi U B, ad parallelogrammum circumscriptum fgu ae X F T, seu A ST; dc per suppositicnem , ve parallelogrammum DB, ad figuram ABC, lic parallelogrammum circumscriptum figurae Ab Z, ad ipsam ue unde & permutando, ut Z a paral-
218쪽
18o DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
parallelogrammum ad parallelogrammum,sic figura ad figuram. Ergo & ut parallelogrammum IC, ad parallelogrammum ST, sic figura ABC, seu GIL, ad fguram AS Z, seu X NE . Quare &Permutando, parallelogrammum I C, erit ad figuram G l L, . ut parallelogrammum ST, ad fguram XR FP Eodem modo ostendetur ut parallelogrammum i C, ad figuram GIL, sc FO, adHMO, & PN, 'ad RP Q; idemquoostenderetur de alijs si adessent. Quod pari ter notetur. Tunc si super parallelogrammis ST, FO, KQ, concipiantur parallelepipeda, quorum altitudines
KF, FS, SB, &quorum tantum unum B T, ad euitandam confusonem,delinea uimus; erit in trunco dextero inferiori inscriptum quodam solidum ex
parallelepipedis sibi super impositis constans. Pariter si super XRT, HMO, R PQ, intelliga tur cylindrici, quorum altitudines G X, XH, HR,S quorum tantum T G. delineauimus; erit in trunco superiori sinistro inscriptum quodam solidum ex talibus prismatibus sibi superimpositis con
i. Quoniam autem parallelepipedum B L ad prioma T G, habet, ex propos s. huius,rationem compositam ex ratione parallelogrammi ST, ad fg ram X RT , i qu e supra probata est esse eadem cum ratione IC, ad G i L & ex ratione SB, ad G X; nempe ex supra dictis , ex ratione AB, ad AG. Eigo tale parallelepipedum ad tale pris ta. r habebit
219쪽
habebit rationem compositam ex ratione IC, ad GIL, & ex ratione AB, ad G A. Eodem modo ostendetur ex iisdem rationibus componi rationem parallelepipedi . cuius basis ME, altitudo Fs, ad prisma, cuius basis HMO, altitudo XII; pariter parallelepipedi, cuius basis P N, altitudo h F, ad .i Prisma,
220쪽
181 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. prisma, cuius basis RPQ, altitudo HR.Quare,&coia
ligendo ut unum ad unum, ita omnia ad omnia. Ergo etiam ratio omnium paralleIepipedorum inscript Tum in trunco dextero, ad omnes cylindricos inscriptos in trunco sinistro componetur ex ijsdem rationibus parallelogrammi IC, ad figuram GI L, &R B, ad G A. Sed ut omnia parallelepipeda praedicta, ad omnes praedictos cylindricos, sic truncus dexter ad truncum sinistrum, ut statim ostendetur. Quare ratio trunci dexteri ad truncum sinistrum componetur ex ijsdem rationibus. Sed ex ijsdem rationibus componitur ratio parallelepipedi, cuius
basis paralleIc grammum IC, altitudo AB, quod idein cst cum parallelepipedo, cuius basis BD, altitudo lB, ad cylindricum, cuius basis GIL, se ii ABC, altitudo G A, sed I B; & propter eandem altitudinem l B, parallelepipedum est ad cylindricum, ut basis DB, ad basim AB C. Ergo truncus dexter erit ad truncum sinistrum ut DB, ad Ad C. Quod erat ostendendum.
Quod vero ut omnia parallelepipeda inscripta intriin eo dextero ad omnes cylindricos inscriptosin trunco sinistro ita sit truncus dexter, ad truncum si-mstium, sire patebit. Si non est, vel truncus adtrum cum est in maiori ratione , veI in rninori. Sit primo in maiori. Frgo aliquid trunco dextero minu S, erit ad trunci m sinistrum in eadem ratione. Sit excessus penes V. t Licet sculptor non expresserit in sch mate. I Diuidamus AB, bifariam , S rursum