장음표시 사용
221쪽
LIBER SECUNDUS. A a83 partCx bifariam, & hoc semper fiat donec tandem - iacritamus ad partem S B, adeo ut parallelepipectum , cuius basis i C, altitudo B S, sit minus V, &Pex puncta diuisionum fiat constructio , quae prius Hieta Est. Pariter se per planis I ST, FO, PN, in altitudinibus Ah, EF, F S , S B, mente conci
Piamus parallelepipeda trunco dextero circumscriis Pta . Horum excessus supra parallelepipeda in trun- Co in scripta, erit aequalis parallelepipedo, cuius busis I S, altitudo B S, ut alente consideranti pate-bices; hoc enim schemate rapresentare pareret nimiam confusionem. Patebit autem, quia scut parallelepipedum, cuius basis IC, altitudo BS, superat parallelepipedum B T, quantitate duorum parallelepipedoruna, quorum unius est basis 1 T, seu BZ, altitudo I a , alterius;vero est basis Z altitudo I B, sic aliud parallelepipedum circumis scriptum, cuius basis TS, altitudo FS, superaret parallelepipedum inscriptum, cuius basis M E, altitudo FS, duobus solidissi initibus prioribus qui ex celsus trastatus ad parallelepipedum B T, relinque-iet nobis de ipso parallelepipedum aequale parallelepipedo, cuius basis ME, altitudo FS. Hoc autem semper continuando, tandem de parallelepipedo BT, nobis relinqueretur vltimum parallelepipedum circumscriptum,nempe cuius basis PN, altitud0 A k; quod tandem traflatum ad parallelepipedum ΒΓ, ipsum expleret. Redeamus ergo ad or
diae: demonstrationis. Ergo, ex dia patet solida
222쪽
circumscripta trunco dextero superare parallelepipeda ipso inscripta minori quantitate quam sit U. Ergo truncus dexter superabit ipla solida inscripta multo minori quantitate quam iit V. Ergo parallel pipeda in trunco dextero inscripta erunt ad truncum sinistrum adhuc in maiori ratione DB, ad AB C. Sed ut DB, ad ABC, sic probata sunt parallelepip da in trunco dextero inscripta, ad cylindricos inscriptos in trunco sinistro. Ergo parallelepipeda inscrupta in trunco dextero, ad truncum simi strum erunt in maiori ratione quam au cylindricos in ipso inseriptos. Quod implicat. Non ergo truncus ad truncum erit in maiori ratione. Sed nec in minori. Nam tunRergo conuertendo truncus sinister erit ad truncum dex rerum in maiori
ratione quam ABC, ad DB. Ergo aliquid ipso
minus erit ad truncum dexterum in eadem ratione. Sit rursum excessus penes V: &constructio, quae facta fuit in trunco dextero fiat in trunco sinistro, ad cout cylindricus,cuius basis GIL, altitudo G X, minus iit V. Ergo truncus sinister minus hoc cylindrico , erit ad truncum dex erum adhuc in maiori ratione ABC, ad DB. At cylindrici in trunco sinistro inscripti minus desciunt ab ipso, cylindrico cuius basis G IL, altitudo CX. Frgo cylindrici in trunco sinistro inscripti ad truncum dexterum sunt in multo maiori ratione , quam sit ea , quam habet ABC, ad DB1 nempe quam sit eorumdem , ad parallelepipeda in trunco dextero inscripta. Quod rursum
223쪽
atriit truncum dexterum , esse ad truncum sini-hxiam ut DB, ad AB C. Quod erat ostenden-
Ex dictis ergo in praesenti propositione,& in pro sit. I. lib. primi, ac in schol. eiusdem, infertur quod si su per qualibet infinitarum parabolarum, vel super
quolibet infinitorum trilineorum concipiatur cylin- oricus rectus sectus diagonaliter, ut dictum est, insertur inquam truncum dexterum, esse ad truncum sinistrum, ut parallelogrammum parabolae, seu trilianeo circumscriptum, ad ipsam parabolam, seu trilianeum . Hoc autem ostenditur etiam a Caualerio eXerc. I. proposit. 16. Sed peregregiam indivisibilium viam, & in quodam cylindrico particulari, in quo latus, seu altitudo ipsus aequetur diametro parabolae, seu trilinei . Quae proposit ex schol. 3. proposit, IO. huius, potest ad uniuersalitatem reduci; quia cylindricorum rectorum super eadem basi existentium, cuiuscumque sint altitudinis, eodem modo diagonal iter resectorum, omnes trunci sunt ad inuicem in eadem ratione. Ex dictis ergo, & ex pro p0sit. I. lib. i. habemus rationem horum truncorum ad inuicem. Truncus enim dexter cylindrici super parab0la, ad truncum sinistrum , est in prima vi et ad i. In secunda, ut s. ad a. In tertia vi q. ad ,sic A a in in-
224쪽
18s DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
in in finitum: nempe ut numerus parabola unitate auctus, ad numerum parabolae . Ex quibus potest confudi, quod componendo, totus cylindricus erit ad truncum sinistrum, ut duplus numerus para Leunitate auctus, ad numerum parabolae. Nempe in I. vi I. ad i. In secunda ut 3. ad a. In tertia ut T. ad s.&sic in infinitum. Pariter truncus dexter cylindrici super trilineo, erit ad truncum sinistrum,ut numerus trilinei unita te auctus, ad unitatem. Ncmpe in primo, ut A. ad a. In secundo ut 3. ad i. In tertio ut 4. ad I.Unde comis ponendo, totus cylindricus erit ad truncum tati strum, Ut numerus trilinei binario auctus ad ipsam unitatem, &c. Vt clare patet.
ra qualibet exsiguris antecedentis proposit. rotetur m et ea circalasim ba circa basi paradelam duoram per Mis iacem. Sildum D ndum Ona tangontem in mertice, adsolidum rotundum eiscas merat Crat parallelogram , minm circumsiriptumsigurae,adi Mnsiguram.
Rinetur ergo figura ABC, circa basim BC,
& circa AD, tangentem invertice A. Diaco solidum ex rotatione circa A D, esse ad solidum ex rotatione circa BC, ut DB, ad AB C. Nam super figura concepto cylindrico secto ut prius. E M truncus dexter,erit ad truncum snistrum ut D B, ad
225쪽
ad AB C. Sed ut truncus dexter ad truncum sinistrum, sic ex schol. 3. proposit. i O. huius, solidum ex figura ABC, circa AD, ad solidum ex eadem Circa BC.' Nam truncus dexter talis sectionis , est qualis inruco dexteroesusdem cylindrici secti pi
226쪽
1 88 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. no transeunte per BC, & per G, & truncus. nister , est arquaIis trunco sinistro. Ergo&ut DB, ad ABC, sic solidum ex A BC, circa AD, ad solidum ex eadem circa B C. Quod &c.
Cum ergo, ut supra dictum est, tam infinitae para-holae , quam infinita trilinea circa diametrum, sint figurae conditionis supra expositae, sequitur ex supra dictis, S ex quadratura infinitarum parabolarum,&infinitorum trilineorum a Caualerio tradita, in parabolis annulum strictum parabolae acceptum secum dum rectitudinem balis, esse ad sesum parabolicuin, ut numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae: nimirum ita parabola lineari, ella ut a. ad I. In quadratica ut a. ad a. In cubica vi q. ad 3. ω sic la infinitum . Pariter in trilineis, solidum circa ΑD, ad solidum circa BC, erit ut numerus par holae uni ate auctus, ad ipsam vilitatem. Nempe in trilineo lineari ut a. ad i. In quadratico ut 3 ad I . In cubico ut m ad i. de se ininfinitum
Cnm ex scholio anteeedenti habeamus modum compendiosum oshendendi cylindrum triplum esse coni super eadem basi , & circa eandem diametrum
227쪽
L PER SEcVNDVS. a 3scum ipso, ideo placet hunc modum in presenti sub
Esto ergo rectangulum, cuius diameter AC, &triangulum ADC, rotetur circa DC, ut fiat conus ACiE; rectangulumque ΑC , rotetur circa AB, ut fiat cylindrus F . Conus G AC, ortus ex rotatione trianguli BAC, circa AB, est aequa lis cono ACE; quia ambo coni oriuntur ex rota tione simili triangulorum aequalium, &similium, . Sed solidum rotundum excavatum CDA FG, ex schol. ant. est duplum coni ACE. Ergo erit d plum coni GA C. Ergo componendo cylindrus
228쪽
AEndrus eircumscriptus fuse parabulco, es adipsum , t
Naa utim contentum sub H dio numeri parabolae initate aucti, stes sub dubvumera parabola mnuate avao, ad quadratum numeri parabolae . Velit rerin gulam eontentum sub n mero parabola initate aucto , in sub numeroparaboia aucto dimidia initate, ad idem quadratum numeri parabsiae. sed annulum mero initactum eiu empoabolae deceptum sicundum rectitodinem basis, it numerus parabola auaua dimissia initate, adnumerum para lae
D F, & esse cucumscriptum parallelogra nunn DF, quod cur a ipsa in ligatur, rotari circa AF. Dico cylindrina arx DF, esse ad semifusum B AF, in rationibus praedictis,& ut exemplificabia . tur in sequentibus, Et paritersie esse ad solidum ex eadem semiparabola circa DB. mod enim hic dicetur de semisolidis, verificabitur etiam de inis gris solidis iuxta iuulum propo sitionis. Tam super parallelogrammo, quam super semi- parabola intelliganturcylindrici h F, B A F E O qui intelligantur secti plano diagonaIiter transeunte per A R&per EO. Ergo uterque cylindricus diuidetur in duos truncos, quorum illi cylindrici super parallelogrammo erunt prismata aequalia. Quoniam
229쪽
LIBER SE OVNDVS. Is Iliam Prisma AFBDEO, nempe truncus snister zyli incirici: super parallelogrammo , adestruncum AHUO, sinistrum cylindrici super semiparabola, Laticit rationem compositam ex ratione prismatis totum cylindricum super semiparabola, & huius ad suum truncum sinistrum , & ut prisma ad talem cγlindricum, sic dimidium numeri parab lae aucti unitate ad numerum parabol e quia Cum totus cylindricus
EF, sit ad talem cylindricum ut basis DF, 'ad basim ABF; nempe ut numerus parabolae unitate mustus, ad numeruna parrabo laex; erit etiam dimidium cylindrici h F,
nempe prisma pnedictum, ad cylindricum super ABF, ut dimidium numeri parabolae aucti unitate, ad numerum parabolae. Pa
riter cylindricus super ABF, IMMIM
sinistrum, est ex schos. proposit. Ir. huius, ut du plus numerus parabolae auctus unitate, ad ipsum Resum parabolae . Ergo ratio prismatis ad truncum sini-
230쪽
is 1 DE INFGITIS PARABOLIS ETC. sinistrum cylindrici super ABF, componetur ex ijsdem rationibus; nempe ex ratione dimidij n umeri parabolae aucti unitate, ad numerum parabolae; &ex ratione dupli numeri parabolae aucti unitate, ad ipsum numerum parabolae . At ex ijsdem rationibus
iam rectanguli contenti sub dimidio numeri parabolae unitate aucti , & sub duplo numero parabolae aucto unitate, ad quadratum numeri parabolae. Er
truncum sinistrum, erit ut rectangulum pr
ius , etiam prisma est ad illum truncum sinistrum, ut cylindrus ex DF, circi AF, ad solidum rotundum ex ABF, circa AF. Frgo & cylindrusci cum scriptus fuso parabolico, erit ad ipsum ut praedictum rectangulum ad quadratum numeri parabolae. Patet ergo primum. Secundum faciliter probatur: Quia rectangulum