장음표시 사용
241쪽
binarium . Ergo&per conuersionem rationis , prisma erit ad truncum dexterum cylindrici super par, bola , ut numerus rectanguli contenti subnu .ero parabolae aucto Vnitate , & sub numero parabolae au-c o. binario , ad numerum minorem se binario . At rursum ex schol. 3. proposit. ι O. huius , ut prisma ad truncum dexterum cylindrici super semi- parabola,sic cylindrus ex DF, ad solidum ex B AF, reuoluti, ambabus figuris circa DB. Ergo patet etiam secundum.
Ex prima parte propositionis praesentis remanent probatae duae conclusiones, quae ab Archymede, Nab alijs authoribus particulariter probantur: nimiarum cylindrum triplum esse coni, & duplum conci dis parabolici quadratisi , quorum cadein basiis, - . CC a idem-
242쪽
α- DE INFINITIS PARABOLIS ET .
idemque axis cum cylindro, ut clare patet. lmosylindrum triplumasse coni, probatur etiam ex nda parte propc Honis.
Pariter etiam in praesenti proposit. habemus in dum , quo satisfaciamus eo, in quo deficit proposit-4. huius. Nimirum habemus modum assignandi rationem, quae repetatur inter quodlibet segme tum cuiuscumque onoidis parabolici comprehensum duobus planis hasi parastellis , Si inter cylindrum ei circumscriptiam. Cum enim ibidem probatum sit frustum quodcunique tale, ad illud conoides eiusdem generis, quod includit, esse ut tot c-tinue proportionales in prpportioue semidiametii maioris basis frusti ad semidiametrum minoris b,
sis, incipiendo a prima, quotus est numeruS comidis auctus binario, ad tot talium proportionalium incipiendo itidem a prima, quotuS est numeruS c noidis duabus vltimis minoribus exceptis; hoc est ad tot proportionales quotus est numerus conoidis r& cum in pranenti proposit. probatum sit conoides parabolicum esse ad cylindrum sibi circumscriptum, ut numerus parabolae, ad numerum parabolae auctum binarios nempe ut sunt praedictae proportiona-Ies ad talem magnitudinem, quae ad ipsas sit ut numerus parabolae binario auctus ad ipsum numerum parabolae. Sequiturex aequali egmentum, seu frustum
243쪽
stimesse ad Olindrum fibicircumst mim, ut tesvmportionales in opinior e praedictu,ni tus est Mumerus conoidis binario auctus , ad magnitium Nem, quae sit ad easdem proportionales; duinus Q.
timis minoribus exceptis, ut Numerus parabolae M-nario auctus ad numerumparabola. U. g. conαe
tendo, in primo conoide, Mistum A MKC, HRad cylindrum GC, ut AE , MD , cum tertia proportionali , ad tres A E insecundo, ut A E, H D, cum duabus alijs harum continue piommortalibus, ad duas A s, cum duabus Hod Inter e A E , H D eum tribus proportionalibus ad magnitudinem,quae s. ad AE, Ho, eum initia Troportional rvt 3 . ad s. 'ti sic in infinitum.
Perea ergo, quae vique modo ostensa sunt, patet in parte ampliari posse doctrinam Andreae Tacque nobilis, & aeutissimi Geometrae, raditam in suo opete supra citato. Cum enim lib. i. pard a pro- post. 3 i. patefaciat, portionem cylindrici parabo- Iicr per axem baseos, dc punctum in latere abscisi
ir, pyramidis sibi inseriptae smnia rei amelle; acyroinde tradat elibationem ratis portionis ; haud postea nobis manifestat proportionem portionis cylindrici per basim parabolae, & pinctum in Iat re , bd pyramidem sibi inseriptam. Et hoc sertassis, quia nequaquam habebat proportionem efindit
244쪽
aos DE INFINITIS PARABOLIS ETC. ad susum parabolicum quadraticum ; quam propo tionem subtilissi inus Keplerus geometris proposuit inuestigandam in sua steriometria doliorum , Mquam primus omnium adinvenit Caualerius, quamque nos docuit in exercit. q. proposit. 26; qua: proportio forsitam erat Tacquet negessaria scitu pro cubanda tali pol tisne cilindrici . Ues ergo Ta quet haud vidit exercitptione. Cassalerii impraessas
an0o i 647 siiςuti nec nos vidimus opus Tacquet im- Pr isum anno i 61i, nisi anno t6s8: Uel se ubdit, attamen Caualerianam doctrinam non approbauit, utpote per indivisibilia procedentem. Cum ergo sortassis ςargret modo ipsam ostendendi more antiquorum viseriaeci it,quia non omnes possunt omnia ad intac ni re ut factis comprobaret, quae, erbis exprςssit de indivisibilibus in schol. proposit. a 2. primae partis lib. i. es alibi , eam libenter omisit. Si ergo Tacquet recepisset doctrinam Cauater ij per indivisibilia procedentem, potu i stet 'on modo cubare portionem cylindrici parabolici super quacuaeque infinitarum parabolarum pcr balim par holae, & punctum in latere; sed etiam ex iis, qui in eadem exςrcit. q. Caualeri tradunt ipset, & Beu- grand, potui siet cubare segmenta portionis cuiuscumque cylindrici parabolici resecta planis sectioni
maximae parallelis. Imo ex doctrina tradita a Ca- ualerio potuisset etiam cubare, & portionem cylindrici super hyperbola per basim hyperbolet, & punicum in latere; & segmenta huius portionis resectς planis
245쪽
men hyteibol liuadeaturam, ut facit'Caualeritis; de quibus fortassis 3e nos aliquando, dum assignabimus centrum grauitatis hyperbols, & in qualinea Sametib fiarallela 'sit c britrum graia i tatis iam hyperbol supposita hyperbol quadratura, de quibus
nullus geometra, quod telamus, 'vique modo locu tus est ; quibus in cbbationibus videtur deficere opus Tacquet; nam in suo opere de propositionibus, & cubationibus pr dictis verba non habet . Sed etiam , per a nobis ostensa L partim potest suppleri Imo multis etiam satisfiet, quibus non licet satisfacere ex traditis a Caualerio, ut patebit inferius. Ex dictis autem a nobis, & ex dicendis magis habet Tacquet unde sibi satisfaciat,quam ex traditis a Ca- ualerio. Nam in parabola quadratica non est opus per indivisibilia procedere. Cum enim ea Omnia,qus circa illa solida a nobis ostensa sunt dependeanta quadratura infinitarum parabolarum; & omnia, praeter parabolarum quadraturam, ostensa sint a n
bis more antiquorum , dc parabolae quadraticae habeamus pqnes innumeras quadraturas ab authoribus more antiquorum assignatas. Ergo ea omnia, quae a nobis ostensa sunt, in parabola quadratica tr dita fuere more antiquorum; nec de ipsis potest Tac.
quet haesitare. Cum ergo veterum more teneamus
rationem cylindri ad susum parabolicum quadraticum, di ad segmentum conoidis parabolici quadratici,
246쪽
Lo3 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. tici, more etiam veterum habebimus cubatione portionis cylindrici parabolici per bas m parabo punctum in latere abscissae.. item cubationem ponionis cylindrici super Tegmento parabolae con
tento inter dua lineta hasi parallelas abscissae pepvim segmenti, .&punctum in laxere. Sed lim, alia proprijs patabuax locis .
247쪽
Aualerius in saepe citatis exercitationibus geometriciS, exerc. I. explicando naturas, passionesque infinitarum parabolarum , Ulterius procedit, variaque de attinentibus ad earum centra grauitatis pro
nuntiat et ex quibus plurima colligit pro sua doctrina de uniformiter difformiter grauibus,&c. Sed ante Omnia , praemittit insignem quandam propositi nem, & a se per indivisibilia , & ab eximio Torri cellio sine indivisibilibus, ostensam. Propositio Ca- ualerii est uniuersalior; sed ut ipsemet bene aduertit, etiam propositio Torricellii ad eandem uniuersalitatem potest reduci. Propositio ergo ista, quam habet Caualerius exercit. s. proposim IT, quam S nos probabimus , demonstrationem Torricel-
248쪽
at o DE INFINITIS PARABOLIS EIQlij repetendo, eamque Uniuersalissime proponendo , sequens est.
Si super qualibet figura circa diametrum intePlatur c lindricus rectus , sectus diagonaliter mori sepe supra
explicato. Truncus dexter, erit ad truncum sini mreciproce Ut partes diametri Rurae res a centro grauitatis.
diametrum FN, siue sit in alram partem deficiens , siue in ambas , siue in nullam, sit cylindricus rectus ABCGO F, Ω- s diagonali- ter plano transeunte per AC, & per F, & sint E, P, centra grauitatis figurarum oppositarum , Dico truncum dexterum, esse ad truncum sinistrum
249쪽
2I Inon I k, secans EP, in L. Erunt itaque BF, EP, DN, inter se parallelae, quia iungunt aequales, S parallelas. Ob eandem rationem, erunt parallelae BD, IK; IK, FN; Di, kF. 'Qu niam vero DI, bifariam secat AF, & ideo hictariam quoque secabit omnes in triangulo DBE, ipsi BF, aequi distantest, quae sunt diametri parallelogrammorum insolido ABCF, plano AG, parallelorum , ut clare patet. Ergo ID, transiibit per centrum grauitatis uniuscuiusque illorum ; ac proinde in eadem ID, erit centrum grauitatis trunci sinistri A B C F. Hoc supponatur esse M. Eodem modo ostendemus in F Κ, esse centrum grauitatis trunci dexteri. Cum ergo L, medium punctum E P, sit centrum grauitatis, totius cylindrici ; ergo si ab M , per L, producatur M L H, vsque ad Fh, cui incidac in H, erit H centrum grauitatis trunci dexteri, ut elicitur ex Archi. p. sequi p. proposit. 8. Quia ergo triangula Mi L,LHh, sunt similia, propter parallelas DI, EF, ideo ut M L, ad L H, ita IL, ad LE. Sed ut
M L, ad L H, dic reciproce truncus dexter , ad truncum sinistrum, ex eodem Archi. ibidem propc- sit. 6. Se T. Ergo & ut FP, ad PN, sic recipio-ce truncus dexter , ad truncum sinistrum.. Quod
250쪽
α in DE INFINITIS PARAB IS ETC.
Vt diximus supra, haec propositio est uniuersalissima, adeo ut comprehendat omnes figuras circa diametrum. Quamuis aurem supposuerimus planum transire per AC, & per F, nihilominus idem concludetur etiam si planum secans transeat per OG, &per B; truncus enim dexter, erit ad trun- eum sinistrum reciproce ut FP, ad PN. Cyli dricus enim sectus siue uno, siue altero modo, sempe r secatur in truncos , quorum dexteri, sicuti & sinistri, sunt inter se aequales. Notetur autem, non modo hanc propositionem veram esse , sed etiam eius conuersam, ut ait Caualerius ibidem in corollario is nimirum , quod centrum grauitatis figurae circa diametrum sic diametrum secat , ut partes ipsius , sint in ratione reciproce cum trunciS cylindrici
sentrum grauitatis HurAE proposit. I x. secundi librι, βδMIdit eius axis, mi pars ad GDerticem, sit ad rellia quam it parat logrammum circumsriptum figurae a
ipsam figuram. SIt quaelibet talis figura ABD, cuius diameter B E , centrum grauitatis o . Dico esse ut BO