장음표시 사용
251쪽
Parallelogrammum FD , ad figuranA B D .lHoc facile patet ; quia ex praedicta proposit. Parallelogrammum GJ D , est ad figu.
Tam , Ut truncus dexter ad truncum
proposit. anteced. Vt truncus dexter
ad truncum sinistriam , sic BO, ad O E. E go ut BO, ad OE, sic FD, ad ABD. Quod &c. Cum ergo ex dictis in primo, & seenndo libro, tam infinitae parabolae, quam infinita trilinea, sint figura:
252쪽
figurae praedictae conditionis ; ergo centra grauitatis, seu aequilibrij ipsarum, secabunt earum axes in p dicta ratione. Hanc propositionem probat etiam Caualerius , loco supra citato, particulariter in parabulis ,&trilineis ; ex quibus, &ex quadratura infinitarum parabolarum , & infinitorum triline rum , deducit in primo corollario id, quod etiam nos possumus deducere. Nimirum in primo trili-n , centium grauitatis eius duplicati ad partes di metri, seu centrum aequilibrij eiusdem, sic secare eius diametrum , ve pars ad verticem , sit ad reli- qilam, ut a. ad i. In secund , ut 3. ad i. In tertiove 4. ad I. &sic deinceps in iij finitum a tacto antecta dente unitate,& retenta unitate pro consequente. 1 prima verb parabola sic diuidit diametrum, ut pals ad verticem, sit ad reliquam ut 1. ad i. in secunua, Vti. δd a. In tertia ut . ad 3 . & sic in infini tum g auctiS semper tam ah tecedente, quam consequesti, unitate. Vnde ire trilineo, est pars diametri ad voti cem terminata, ad reliquam, ut numerus trilinei unitate auctus, ad viaitatem. Et componendo , tota dumeter est ad eius partem ad basim terminatam , ut nutrierus parabolae binario auctus, ad viaitatem . In parpbola autem , est pars diametri terminata ad verticem, ad reliquam, ut numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae. Et componendo, tota diameter est ad partem ad basim te minatam, ut duplus numerus Parabolae unitate au
253쪽
LIBAR TERTIVS. His probatis ulterius pergit Caualerius, osten-nS in proposit. 2 o. in qua linea si centrum graui '' sui usu et semiparabolae . Inquit ergo , quod iit centrum grauitatis duplicati trilinei FAD,
254쪽
xi ; DE INFINITIS PARABOLIS ETC. seu aequilibrijsolius trilinei A DE quod enim est centrum grauitatis duplicati, est centrum aequilibrijsimpli in & DC, sic diuidatur in Κ, ut sit sicut AE , cum E H, ad AH, sic DE, ad kC, quod E, erit centrum aequilibri j semiparabolae; Se consequenter , quod in linea ducta per k, AC,
parallela , erit centrum grauitatis semiparabolae . Ex quibus potest concludi, quod in prima parabola , erit DR , ad ΚC, vi q. ad x. In secundavi s. ad 3. In tertia ut 6. ad 4. & sic deinceps in
infinitum, mictis utrisque terminis unitate; unde antecedens talis proportionis, erit numerus parabolae auctus ternario, consequens vero erit numerus parabolae auctus unitate . Ex quibus patet, quod iunctis simul ambabus partibus balis DC, ipsa erit ad
Ck, ut duplus numerus parabolae quaternario auctus , ad numerum parabol e auctilin unitate. Unde in unaquaqtie semiparabola, eius semibasis talium partium, in qua diuiditur a centro atqui libri j semi- parabolae, apte explicatur per duplum numerum parabolae quaternario auctum, S eius dimidia per nu. merum parabolae binario auctum. In prima enim parabola q. & a. faciunt si, nempe duplum numerum parabolae cum quaternario. In secunda s. ει 3. faciunt 8. In tertia 6, & 4, faciunt i o. qui numeri continent numerum parabolae duabus vici
255쪽
IPSi Hrea eundem axim sint duae figura , quae rarentur Aemi radius figurae sit axis rotatio is ι' Ratio nitisse Iissi reti ex tali rotatione , ad solidum aliud ex eadem genιtum, componetur ex ratione figurae ad figuram, Sex ratione interιeptae inter centra rotatιonis , ω gran talis inius figurae , ad similem interceptam alterius Agura.
SInt quaelibet figurae ABD, FCDA, circa
axem BE, quarum centra grauitatis P, O; P, quidem ipsius FD; O, vero ipsius ABD. Dico rationem solidi ex FD, circa DA, ads lidum ex figura ABD, circa D Α, componi ex ratione F D, ad ABD, & ex ratione EP, ad EO . Et pariter rationem solidi ex FD , circa FC, ad solidum ex ABD, circa FC, compinni ex ratione figurae ad figuram, & ex ratione B P, ad ΒΟ. Super figuris intelligantur cylindrici re cti aequealti secti diagonaliter plano transeunte per Α D, & per G k, more solito. Hoc planum secabit duos cylindricos in truncos dexteros, & sinistros ut patet. Tunc, quoniam ratio trunci AFCDΚG, ad tiuncum ABDH, componitur ex ratione ipsius ad cylindricum super F D; huius ad cylindricum super A B D; & huius ad pKdictum suum tru 3- cum sinistrum & cum sit ut praedictus truncus sini. E e ster
256쪽
a AE DE Mp- IS PARAB EIS ETC. ster AF CDEG, ad truncum sinistrum ABDH. sic ex scholio s. proposit. I o. secundi huius, solidum ex figura FD, circa A D , adis.lidum ex ABD,
circa eandem. E go,&rationes hinrum solidorum rotundorum componentur ex is Hem rationibus. Verum quoniam ex propositi I. hui .com- ponendo, & conuertendo, truncus
sinister cylindrici super pD, est ad
totum cylindricum super FD, ut P E,
ad BE ι & cyli dricus super FD, est ad cylindricum super A BD, FD, ad ABD;
N pariter cylindricus super ABD, est ad suum truncum sinistrum ex praecitata propositi t. componendo , ut BE , ad EO. Ergo solidum ex
figura FD, ad solidum ex figura ABD, a libus
257쪽
LIBER TERTIUS. e a1s reuolutis circa AD, habebit rationem compostam ex rationibus PE, ad EB; huius ad Eo nempe ex ratione sola PE, ad Eo & ex ratione F D, ad Α Β D. Eodem modo probaretur solidum ex F D, circa FC, ad solidum ex figura ABD, circa FC, componi ex supra dictis rationibus. Quare paxet propositum.
patet ergo ex dictis, quod si FD, sit parallegram- imum: cylindrus ex ipso erit ad solidum ex altera fi gura in ratione composta ex ratione parallelogrammi ad figuram, & ex ratione dimidij axis parallel grammi ad praedictam interceptam; quia centrum grauitatis parallelogrammi est in medio aris. Vel aliter, ratio cylindri ad solidum componetur ex fi lione dimidij paraIlelogrammi, ad alteram figuram,
S ex ratione totius axis , ad illam intercepta . Nam priores rationes sunt eaedem cum posterio, bus, ut clare patet.
Fx dictis ergo in praesenti propositione licet nobis animaduertere, tres esse proportiones , duabus quarum datis, statim altera elicitur . Hae autem sunt; latio cylindri cx FD, circa AD , vel FC, adsteium solidorum rotundorum e* figura ABD, uno, Ee a vel
258쪽
adio DE INFIMIIS PARABOLIs ETC. Vel altero modo reuoluta; ratio parallelogrammi ad figuram; & ratio I B, ad Eo, vel BO; vel ratio dimidiae B Ε, ad EO, vel BO. Datis enim rationibus parallelogrammi ad figuram, & dimidiae B E, ad alteram ipsarum EO, BO, statim
datur ratio cylindri ex FD, ad alterutrum selidorum rotundorum ex figura. Pariter datis rationibus cylindri ad solidum Otun dum ex figura , ¶llelogrammi ad figuram, s haresubtrahatur a ratione cylindri ad , sol idu in rotundu m; relinquotur ratio
dimidiae EB, ad B O vel O E ;consequenter dρ-bitur centrum gra uitatis figurae. Si
nes cylindri ad Q- Tlidum , & dimidiae EB, ad B O, vel L Ο, quae subtrahatur a ratione cylin-
259쪽
' LIBAR TARTIVS. lindri ad solidum 3 relinquetur ratio parallel grammi ad figuram , & consequenter figurae quadratura. Imo ex dictis aduertatur etiam , quod si dentur proportiones parallelogrammi F D, ad figuram ABD, & dimidiae BEs ad OB, vel o E; dabuntur etiam cubationes truncorum cylindrici super figura. Nam cum, datis explicatis, detur etiam ratio cylindri ad solidum rotundum ex figura ; α cum haec ratio sit eadem ex schol. s . proposit. ID. huius, cum ratione prismatis, nempe dimidij cyli drici super parallelogrammo, ad alterutrum truncorum cylindrici super figura: patet dari talium trum
- Α 'supradicta ergo doctrina, & ex dictis in scholijs antecedentis proposito patet quomodo possimus habete rationem cylindrorum circumscriptorum omnibus fuss parabolicis: omnibus annullis strictis infinitarum parabolarum acceptis iuxta rectitudianem basis r omnibus conoidibus parabolicis et omnibus annullis strictis ortis ex rotatione semiparabolari in circa ductam per miremitatem basis di metropa allelam: omnibus solidis ex rotatione infinitarum trilineoruni eirca basim: omnibus solidis ex iisdem reuolutis circa parallelam basi ductam perverticem: omnibus conicis: & omnibus solidis ex
ijsdem circa basim semiparabolae,ad ipsa solida. Sed
260쪽
- DA --S PARABntu ETC. quia hae rationes insuperiori libro patefactae sunt,& ex dictis in praesenti eadem colligerentur, ideo scienter hoc relinquimus industriae te ctoris.
Solida retunda genita ex duplisi reuolumne cuiusli et sigm
ra plana circa axim taliter reuoluta, Crat In Utraque reuolutione axis figura sit radus rotationu,'axis extruemitates centra . Sunt ad uicem in ratiane paratum axis .
figura secti a corro grauitatisfigurae, ω ιeν natarum ν
adcentra reuolatiouum. . t . I
axim B E,cuius centrum grauitatis o. Dico solidum rotundum ex figura ABD, circa AD, nempe cuius radius rotationis BE, centrum E, ad solidum rotundum ex eadem figura circa FG nempe cuius radius rotationis BE centrum B, esse ut B O, ad O B. Fεgurae intel Iigatur circumscriptum parallelogrammum FD. Quoniam enim ratios lidi rotundi ex figura ABD, circa AD, ad λ-lidum ex eadem figura circa FC, componitur eX ratione ipsius ad cylindFum ex Fia, siue circa AD, siue circa FC, quia oritur idem cylindruss & h ius ad solidum ex figura circa F C: & ex schol. ris proposit. antcced. ratio soIidi ex figura ABD, circa AD, ad cylindrι m componitur ex ratione si. gurae ad parallelogrammum, & ex ratione Eo, ad dimi-