장음표시 사용
261쪽
LIBAR TSRTIUS. a 3 dimidiam EB; & pariter ex eodem scholio, ratio cylindri ex parallelogrammo, ad solidum ex figura cima FC, componitur ex ratione parallelogrammi ad figuram, &ex ratione dimidiae BE, ad Bo. Ergo fle ratio solidi ex figura ABD, circa AD, ad solidum ex figura ABD, cima FC, componetur ex ratione figurae adparallelogrammum , ¶llelogrammi ad figuram γε proportio ex his composita, est aequalitatis in & ex proportionibus E O, ad dimidiam BE, & huius dimidiae ad BO, nempe ex ratione EO, ad OBP. Ergo solidum ex figura cim AD, ad solidum ex figuracirca FG, eritvt Eo, ad G R Quod erat ostendendum.
per figura ABD, concipiatur cylindricus
rectus sectus diago liter planotranseunte per AD, &per H. Quoniam ex proposit. a . secvndi, tam truncus dexter est ad solidum ex A B D, circa FC, quam truncus sinister ad solidum ex eadem figura circa AD, ut Hi B, ad circumferentiam circuli, cuius radias BE . Ergo & truncus dexter erit ad solidum circa FC, ut truncus snister ad solidum circa A D. Quare & permutando, ut truncus dexter ad truncum sinistrum s nempe ex proposit. i. huius.ut reciproce BO, ad OE, sic solidum ex figura cirea FC, ad solidum ex eadem
262쪽
1- DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
Quam vero tacundae sint superiores propositiones, & quam copiosi sint fructus, quos ex ipsis colligere lice in sequentibus patebit. Interea sit.
Quod si A B D, sit quaelibet ex infinitis par bolis: solidum ex ipsa circa F C, nempe annulus strictus secundum rectitudinem basis,erit ad solidum ex eadem figuracirca A D, nempe ad susum parabolicum, ut numerus parabolsauctus unitate ad numerum parabolae. Nempe in prima parabola vi 2. ad x. In secunda ut 3. ad a.&c.
3 Si vero BCD, quodlibet infinitorum triline rum rotetur primo' circa BE, deinde circa CD: solidum ex trilineocirca BE, ad solidum ex triliis neo circa CD etit ut numerus trilinei unitate auin
Verum si semiparabola B D E, rotetur prius cim ca CD, postea circa BE, ut fiat conoides para, bohcum:
263쪽
erit ut numerus parabolae ternario auctus ad num rum parabolae Unitate auctium. Nempe in prima parabola vi q. ad a. in secunda vi s. ad 3. in tertia ut 6. ad 4. Si sic in infinitum. Rationes supradictorum corollariorum dependent ex scholijs primat huius.
cuiuscumque semiparaboia centrum grauitatis
cuius vertex B, &oporteat eiuS centrum grauitatis re perire. Diameter
BA, sic secetur In D, ut BD, sit ad
D Α, ut numerus parabolae unitate auctus ad nume. yum parabolae. Eris i . Mex scholio r. proposit. a. huius, D, est centrum grauitatis parabolae, &consequenter centrum aequi-
ibrij semiparabolae ABC, appensae secundum BA. Brgo si ducatur DF, A C, parallela in ea erit cen- Num grauitatis semiparabolae . Pariter C Α, sic λF f cetur
264쪽
116 DR INFINITIS PARABOLIS ETC.
beetur in E , ut CF, sit ad ΕΑ, ut numerus parabolae ternario auctus, ad numerum parabolis unutate auctum. Ergo ex scholio a. eiusdem proposit. erit centrum aequilibrij semiparabolae acceptae s sundum rectitudinem A C. Ergo si ducatur EL, BA, parallela, in ipsa erit, centrum grauitatis somi parabolae. Sed & in D F. Ergo erit punctum H. inuentum est ergo centrum grauitatis semiparabolae. Quod&c.
Si per centrum grauitatis cuiuscumquesemiparabola, oepermerticem ducatur lineasecans basim. Haec eam latitersecabit it pars ad Ha metrum ,sit ad reliquam ut duplus numerus parabola unitate auctus ad ternarιum.
SIot eadem, quae in antecedenti proposit. & sit ducta B H Κ. Dico Α Κ, esse ad K C, ut
duplus numerus parabolae auctuS unitate, ad ternarium. U. g. in prima parabola vi s. ad 3. In secundavi s. ad 3. In tertia ut T. ad 3. In quarta vis. ad 3.&sic in infinitum. Semiparabolae circumscribatur parallelogrammum AM, & EG, producatur viaque ad L. Quoniam enim triangulum B HL, adserticem simile est triangulo E H k; ergo ut L H, ad HE, sic BL, seu A E, ad Eh. Sed L H, est ad . H E, ut numerus parabola: unitate auctus
265쪽
LIBAR TERTIVs. Q ad numerum parabolae. Ergo& A E, erit ad Eli, 'ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae. Sed A E, ex dictis, erat ad totam E C, ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae auctum ternario. Ergo A E, erit ad reliquam EC, ut numerus parabole unitate auctus ad ternarium;& Eh, erit ad eandem KC, ut numerus parabolis ad ternarium. Ergo componendo ambas simul A E, Eh, erit ΑΕ, ad kC, ut duplus numerus parabolae unitate auctus ad ternarium. Quod erat ostendendum.
Residui cuiuscumq e semipardoti, dempto ab ea triangulo inscripto, centrum grauitatis assignare.
- uimus & insuperiori propositione, & in praesenti, & in aliquibus ex sequentibus procedere per D modum proble
malis , Ob euitandam tituIorum
Iongitudinem, & Iprolixitatem, quae
266쪽
11 8 DE INFINITIS PARABOLIS ET . est in eoetabilis si tales propositiones proponantur
per modum Theorematis. Sit ergo quaecumque semiparabola,prima excepta, A DC, in qua si inscriptum triangulum ADC. Oportet reliquae figurae
contentae sub recta,&curua AC, centrum grauitatis assignare .
Diuidatur C D, in punctis F, & F; in F, ut CF, sit dupla FD; in F, vero, ut CE, sit ad
E D, ut numerus parabolae ternario auctus, ad numerum parabolae auctum unitate. Fiat deinde vinumerus parabolae Unitate minutus,ad numerum parabolae unitate auctum sic FE, ad EG; & per G, ducatur G H k, parallela diametro A D, secans rectam AC, in A, curvamin k, & AR, Iatus parallelogrammicircumscripti in T. Pariter AD, secetur in L, ut A L, sit dupla LD; & in M, ut AM, sit ad M D, ut numerus parabolae auctus unitate,adnumerum parabolae; & fiat ut F E, ad E G, sic LM, ad M N; &per N, ducatur N QP, parallela DC, seeans GT, in puncto Dico Q, esse centrum grauitatis figurae praedictae. Quoniam enim CF, est dupla FD. Ergo ex schol. i. proposit. M huius, F, erit centrum aequilibrii trianguli A D C, iuxta rectam DC, appensi. Pariter quoniam CE, est ad
ED, ut numerus parabolae auctuS ternario, ad numerum parabolae auctum unitate; ergo ex schoL ei irae. propos. erit E, centrum aequilibri, totius semiparabolae a eptae secundum rectitudinem DC.
Cum ergo factum sit F E, ad E G, ut nu-us para-
267쪽
bolae unitate minutus ad numerum parabolae unλtate auctum; & cum sit ut numerus p rosae unitari minutus, ad numerum parabolae vn itate auctum, sic,
ex conuerso scholij primi propositi a. primi libri, m
gura contenta a recta, di eurua A C, ad mangultiri AC R, sed DA C. Ergo ut F E, bd pG, sic reciproce figura AP CA, ad triangulum ADC. Ergo ex Archimede in prima quipiand. qtiem necesse est lectorem adsequentium intelligentiam petroptime callere erit G, centrum aequilibrij figurae AP acceptae secundum DC. Ergo in Gh, erit centrum grauitatis praedictae figurat. Eodem modo ostendetur L, esse centrum ivili ij trianguli ADC, secundum rectitudinem AD; & M, esse centrum aequi-' librilysemiparabolae secundum eandem rectitudinem; & N, esse centrum aequilibrijsguiae ApC,
268쪽
a o DE INFIMTIS PARABOLIS ETC.
iuxta eandem rectitudinem si ac proinde in N P, esse centrum grauitatis figurae Α P C. Sed & in G Κ. Ergo in Q. Repertum est ergo,&c. Quod &c.
Sed ex dictis possumus dedueere, excessiim semi- parabolae supra triangulum sibi inscriptum, in nulla, parabola es e parabolam eiusdem rationis cum tota, nisi in sola parabola quadratica Quod enim sit usIa parabola in quadratica, probatur ab Appollonio primo Conic. prop. 46. Quod vero in nulla alia sit, patet. Nam si talis esset, eius centrum grauitatis esset in linea secante AC, bifariam, qui esset eius diameter. Sed ΚΗ, in qua est eius centrum grauitatis, in nulla alia parabola a quadratica secat A C. bifariam. Erho non erit vera parabola. Quod vero kH, non secet AC, bifariam, quilibet poterite peliri methodo , qua nos deinceps experiemur iuparabola cubica. Experietur enim, quod quo magis progredimur versus parabolas altiorum potesta tum eo magis linea Gli, accedit ad CR, sed talite ut semper CG, sit maior dimidia D G; quia solum in triangulo ARC, . CG, est dimidia GD-Centra ergo quilibrij infinitarum figurarum APC, continentur omnia in linea, qui sit sexta pars DC, ordi quana a D. Modiis autem patefaciendi G T, In nulla par
bolo quadratica secare A C, bifariam, & expe
269쪽
riendi, quςdlata sunt, sequens est in parabola cubi-ca. Quoniam ex schol. 2. proposit a. huius,qualium C E, est 6, talium D E, est 4. Ergo qualium CE, est s, talium DE, erit 6. Tota CD, I s. & DF, quq erat tertia pars DC, 33 FE, r; & FC, Io. Cum autem parallelograminum DR, sit sesquite tium semiparabolet; ipsa erit sesquialtera trianguli. Unde diuidendo, figura AP C, erit dimidia trian. guli ADC Et consequenter ex supradictiS, qu rum FE, est is talium EG, erit x. Sed talium DF, erat 1, & tota DC, 33. Ergo talium D G, erit 8,& GC, 7. Eodem modo procedemus in alijs para bolis , in quibus semper inueniemus GT, magis accedere ad RC, ut dictum est. Sed cum talis methodus inueniendi tale centrum aequilibrii non contineat aliquam determinatam progressio
270쪽
as x DE INFINITIS PARABOLIS ETC. nem, ideo de tali methodo amplius verba non sa-
Si quis vero scire cupigi in qua proportione sec tur EH, at centro Mati statis figurs AP C, id ei licebit inuenare operando congruenter ut nos statini faciemus in parabola cubica, in qua Quoniam ducta Sh, parallula DC, est DA, ad AS, ut cu-hus DC, ad cubum Sh: cubus autem DC, quia DC, est Lue, est 337, , & cubus. D G, seu SE, quia D G, est 8, ut dictum est, est 3 ιχ. Ergo DA, ad 6S, erit ut 3373. ad 3 ia. Ergo per conue siqnem rationis, erit AD, ad D S, seu ad Gh, ut 3 37s. ad 2863. Verum in triangulo ADC, ut DC, ad CG, nempe ut r3. ad T. sic AD, ad HG. krgo qualium AD, est is talium H G, erit T. ηrgoqu*ium AD, est 3373, talium GH, erit Ins. Sed talium erat tota Gh, 8sis. Ergo ealium erit ΚΗ, I 238. Pariter quoniam qualium AM, est Α, talium M Q, est 3. . Ergo qualium ΑM, est x x. talium MD,ςrit s. & tota AD, 2 t. Sed thlium & Di, est T. Ergo DL, erit 7. LM, 3. Μ Α, i ip: eadem mensura. Quoniam autem parallelogrammum est sesquitertium semiparabolae,& semipara bola sesquialtera trianguli, & APC, subduplaitri nguli,si N, sit centrum squilibrij APC, quarum M. ehit λ, talium MN, erit A. Ergo reliqua