De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

271쪽

liqua N A, erit 3, qualium tota D A, est ai. Ergo qualium D A, est 337s, talium Α N, erit Ia8s, cum quindecim vigesimisprimis. Sed talium A S, erat s ra. Ergo talium reliqua S N, seu Κ Q, erit 773, cum II. Vigesimisprimis. Talium autem erat tota kH, I a18. Ergo talium erit Q H, si 8, cum 6. vigesimisprimis. Eodem modo licet discurere in reliquis. Sed cum non contineant aliquam seriem,

ideo omittuntur.

272쪽

DA, B INDIS PARABOLIS Erc.

Oiuslibet in tor in trilineorum centrum graVatis reperire

teat cilntrumpraui ratis reperies. Sit ei circumscriptum parallelogra in mum AM, & BM, sic diuidatur in N, ut BN, sit ad NM, ut numerus parabolae unitate anchus ad unitatem. Ergo N, erit cen

schol. I. pr osit. a. huius. Diitatur tro P, parallela B A. Ergo in ipsa erit centrum grauitatis trilinei BM C. Diameter B A, semiparabolae diuidatur bifariam in Q, & in D, ut B D, sit ad D A, ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae. Deinde fiat ut unitas ad numerum parabolae, sic D Q, ad QR, &per R, ducatur RGT, parallela AC, secans N P, in G. Dico G, esse centrum grauitatis trilinei BM C. Quoniam enim inest centrum aequilibrij parallelogrammi AM, accepti secundum AB, & D, est centrum aequilibrijsemiparabolae ABC, ex schol. a. secundae huius,&D 3d QR, facta est ut unitas ad numerum parabo lae; nempe reciproce ut trilineum B M C, ad semuparabolam AB C. Ergo R, erit centrum aequili-brij trilinei BM C. Ergo in RT, erit centrum grauitatis talis trilinei. Sed&in NP. Ergo inpuncto

273쪽

MBARcto G. Repertum est ergo centrum grauit iis prae dicti trilinei. Quod erat si qndum, i h

Εκ dictis facile

possumus deduce

re , Centrum m

quilibrij trilinci B M C, accepti secundum A B, seu C M, sic secare v. g. CM, in T, ut CT, sit ad T M,

ut triplus numerus parabolae unitate auctus, ad nume-

rum parabolae nitate auctum. Quoniam enim BD, est ad DA, ut numerus parabolae unitat e auctus adnumerum parabolae; nempe ut duplus niamerus p rabolae binario auctus, ad duplum numerum para holae. Ergo qualium BA, est quadruplul, numerus parabolae binario auctus, & talium Α D, duplus numerus parabolae, & B in sed Ad duplus; numerus unitate auctus, D erit unitas. Sed cumqualium D Q est unitas talium QR, si numerus parabolae. Ergo talium reliqua BR, erit numerus parabolς unitate auctus, & A R, triplus numerus parabols unitate auctus. A R , ergo erit ad R B, seu

274쪽

1,6 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. C T, ad T M, ut triplus numerus parabols unitate auctus, ad numerum parabest untiate auctum . Ex quibus potest esse corollarium quartum ad proposit. q. huius,quod si trilineum B MC, roretur prius circa AC, postea circa BM: solidum ex trilineo circa AC. erit ad solidum ex trilineo BM C, circa B M,

ut triplus nume*us parabols unitate auctus, ad numerpm parabolς Unitate auctum. V. g. in primo trilineo vi q. ad a. In secundo ut . ad 3. In tertio ut ro. ad a. & sicin infinitum. -

PROPOSITIO IX.

Si per cet rum grauitatis cu:us e tringerS ω per mertiaco ipsius ducatur linea secans basim. Haec eam talia: aras uitam ara ad cuream it ad reliquam

sto trilineum ut in antecedenti propositione, . & per B, & G, ducatur B G V, secans basim , in V. Dico C V, esse ad V M, ut triplus numerus trilinei, ad numerum trilinei binario auctum. Nempe in primo ut 3. ad 3. In secundo ut 6. ad 4. In tertio ut 0. ad s. &sic in infinitum. Quoniam enim triangulum B R G, ad verticem cst simile triangulo TGV. Ergo BR, seu MT, erit ad T V, ut RG, ad G T , seu ut B Ni ad N M ; nempe ut numer

275쪽

. LIBER TERTIVS. parabolae, seu tri- tilinei unitate au- ctus ad unitatem. Sed ex scholio anteced. CL est ad RT M , ut triplus numerus trilinei is avnitate auctus, ad Unumerum trilinet D '

unitate auctum a

Ergo qualium CT, est triplus nume- Α P

rus trilinei unitate auctus,& ML numerus trilinei unitate auctus, T V, erit unitas . Ergo reliqua CV, erit triplus numerus trilinei ,& MU, erit numerus trilinei binario auctus. Quod erat osten

dendum .

COROLLARIUM

Ergo in trilineo quadratico, CU, erit sesquialtera V M. Ex quibus constat, propositionem 11.Lucae Valerij lib. s. de cent. graui: sol. in qua hoc demonstrat, esse nostrae corollarium si sicuti est corollarium piaesentis, & 6. huius propositio I 3. A chimc dis i AEqui pon. & omnium illorum, qui prinbant centrum grauitatis trianguli esse in linea, quae ducta a vertice secat basim bifariam .pRO-

276쪽

Frusti cinuscumque paraboia contenti duabus lineis basiparastelis, centrum grauitatIS assignare.

E x0 qualibet parabola ABC, in qua sit ducta

H k, basi parallel* . Oporteat assignare cen trum grauitatis frusti AH KC. Secetur BE, in L Vt BQ, sit ad QS, ut numerus parabolae uni late auctus ad numerum parabolae; in tali ratione dividantur DE, in P, & BD, in S; deinde Ω- per

277쪽

per basi AC, & circa diametrum DB, concipiatur parabola ADC, Oisdem gradus cum AB fiatque ut BD, ad DP, sic SD, ad QR, a ferrendam a QS, incipiendo a in deinde fiat ut ΑΟ, quae sit differentia inter Α Ε, H D, ad F D, sic SR, ad RT. Tandem ratio A Ε, ad H D,

Continuetur in ot terminos, ut numeras eorum ex

cedat unitate numerum parabolae, Si sit L, ultimus terminus; TP, autem sic secetur in V, ut PV, sit ad V T, ut L, ad reliquas proportionales. Dico V, esse centrum grauitatis, frusti AHkC. Quoniam enim BE, diuisa fuit in Q, ut BQ, si ad

QE, Vr numerus parabolae unitate auctus3 ad nutmerum parabolae. Ergo ex schol. I. propos t. a. hu ius, st, erit centrum grauitatis parabolae ABC Eodem modo patebit S, de Π, esse centra grauitatis parabolarum ΗΒΚ, AD C. Verum quoniam eadem pars est tota EQ, totius EB, sicuti

pars E Ρ, partis ED; ergo & reliqua PQ, erit eadem pars reliquae DB, sicuti tota Eia, totiusEB. Sed & qualis pars erit E Q, ipsius EB, talis pars est etiam DS, eiusdem DB. Ergo duae PQ, DS, erunt qquales. At quoniam ex prop. 4. lib. primi,ut BE , ad E D, sic parabola ABC, ad parabolam ADC. Ergo&diuidendo, ut B D, ad DE, sic ABC D, ad parabolam ADC. Sed BD, ad DE, sic ex constructione, SD, seu

ei εqualis P in, ad Q R. Ergo & vi P QU, ad K, sic reciproce figura A B C D, ad parabolam

278쪽

DE IM NI PARABOLIS ETC.

A DC. sed, ex dictis, Q, est centrum grauitatis totius parabolae ABC, P, parabolae A DC. Ergo ex Archimede, R ubicumque cadat erit centrum grauitatis figurae ABCD. Pariter quoniam ex proposit. s. lib. a. diuidendo, ut AO, ad Hinsic segmenta AH D, DEC, ad parabolana H Bk; re supra factum est ut AO, ad H D, sic SR, ad RT. Ergo ut SR, ad RT, sic reciproce segmenta Α Η D, DEC, ad parabolam HB Κ. At R, est centrum figurae ABCD, S, parabolae HBk. Ergo ex Archimede, T, erit centrum segmen torum AHO, DKC, simul sumptorum. At quoniam ex corollar.

279쪽

proposit. 8. lib. prim. talia segmenta sunt ad parabolam Α DC, utvltima proportionalium inuenta L, ad summam reliquarum s& ut talis proportion lis ad talem summam sic facta in P U, ad U T. EN go vi P V, ad VT, sic talia segmenta ad AD C. Ergo conuertendo , erit reciproce ut T v, ad V P, sic parabola A D C, ad segmenta A H D, DE C. Uerum T , est centrum segmentorum ; P, parabo-Iae AD C. Ergo V. erit centrum totis s frusti AH Κ C.

. supradicta nostra methodo uniuersali inueniendi centrum grauitatis omnium segmentorum parabolarum inclusorum inter duas lineas basi parallelas, potest deduci id, quod particulariter Archim. lib. l. AEquip. proposit. is. &alij ostendunt. Nempe V, centrum grauitatis trapezij AHEC, cuius opposita latera AC, Hk, sunt parallela sic duuidere T P, mediam tertiam partem D F, ut TV, si ad V P, ut A F, ad H D: & ut dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A E, sic D V, ad V E.

Quod vero res silc se habeat statim patebit. Quoniam enim in trapeato, PE, est tertia pars DE, qu1a ADC, est triangulum, & QP, ex ostensis, aequatur SD, quae est tertia pars BD, & BS, est duae tertiae partes eiusdem BD; ergo SQ, aequalis DP, erit duae tertiae partes DE. Cum v

280쪽

a a DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

ro QR, sit tertia pars eiusdem DE quia factum est ut BD, ad DE, sic SD, tertia pars BD, ad QR . Ergo SR, erit tertia pars DE. Item cum factum sit ut A O, ad H D, nempe ut ED, ad DB, sic SR, nempe tertia pars DE, ad RT. Ergo RT, erit tertia pars BD; nempe εqualis SD. Tunc punctum R, vel cadit in D, vel supra,vel infra,sed semper supra Τ, ut clare patet. Si cadit in D Quod tunc accidit quando punctum D, secat bifariam BE) cum TR, aequetur SD erit TD, tertia para DE. Si vero cadit supra quod accidit quando E Rest maior DB quoniam TR, est aequalis SDrcon

muni