장음표시 사용
281쪽
LIBER TERTIVS. 243mnni ablata RD, supponitur enim R, supra D, licet stultor non exprisserit remanet S R, tertia pars D E, aequalis D T. Si vero tandem R, cadit inter T, D, s nempe quando BD, cli maior D EJ. Tunc, quoniam T R, aequatur Sm communi addita D R. Ergo TD, aequabitur SRs nempe tertiae parti D E. Patet ergo semper DT, esse tertiam partem D E: sed etiam, per nostram regulam, T P, quae est tertia pars DE, sic diuiditur in A, ut TV, sit ad UP, ut A E, ad H D. Ergo statim admodum, quo facit Archimedes, concludemus esse DV, ad V E, ud
dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A E
Sed ex superioribus propositionibus quam plurima possumus assignare. Nam primo circumscripto segnento AH k C, parallelogrammo GC, reuolutoque hoc cum segmento vel circa AC, vel circa Hk; possumus assignare rationem cylindri ex G ad solidum ex segmento AHEC, reuoluto vel circa AC, vel circa HK. Nam ex conuerso secundae partis proposit. 8. p. habemus rationem paralIelogrammi ad segmentum;& ex hac habemus rationem D V, ad UE, &consequenter dimidiae DE, ad alterutram ipsarum DR VE. Ex quibus rationibus componitur, ex schol, prim. proposit. 3. huiuν , ratio Cy- Iindri ex GC, ad alterutrum sobdorum rotundorum , Illi 2 ex
282쪽
ex segmento circa AC, vel Hk. Ratio ergo cylindri ex GC, ad alterutrum sol Ldorum ex A H k C , siue circa A C , siue circa Hk, Componetur ex ratione dimidiae DE, ad alterutram ipsarum D U, V E, & ex ratione magnitudinis, quae ad A E, H D, & caeteras tot propo tionales quotus est numerus parabolie se habeat ut numerus parabolae unitate auctuS ad numerum parabolae , ad A E , H D , & caeteras tot pr portionales quotus est numerus parabolae unitate
Quod si ΑΗΚ C, sit primum segmentum,
283쪽
, LIBER TERTIUS. a snempe trapezium ordinarium. Erit cylindrus cxG C, ad alterutrum solidorum ex trapeZio, Vt quadratum Α Ε, smul cum rectangulo A L, H D, ad rectangulum AE, H D, una cum tertia parte quadrati vel A E, vel H D, circa quam fit reuolutio,& cum subsesquialtero quadrati A E, vel H D, circa quam non fit reuolutio. Quod sic patebit. Nam ratio cylindri ex GC, ad solidum ex trapeZio v. g. circa AC, componitur ea ratione duplae AE , ad Α Ε, H D, ex 8. pri. huius, & ex ratione, dimidi ae DE, ad EU. Verum, ut dimidia DE, ad EU, sic sesquialtera A E, cum sesquialtera H D, ad duplam H D, cum A E. Cum enim ex schol. anteced. sit ut D V, ad VE, sic dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A F. Ergo & componendo, erit ut tripla A E, cum tripla H D, ad duplam H D, cum AE, sic DE, ad EU. Et antecedentium dimidia. Ergo ut sesquialtera AE, cum sesquialtera H D, ad duplam H D, cum A E,
sc dimidia DE, ad EV. Ergo rario cylindri ad
solidum ex trapeZio circa AC, componetur quoque ex rationibus duplae AE , ad A E, H D, &sesquialterae compositae ex AE, H D, ad duplam FID, cum AB. Sed ex istis rationibus componitur quoque iatio rectanguli sub dupla A E, in illam Iesquialteram ; nempe rectanguli ei aequalis , sub A F, in triplam Ad, & in triplam H D, ad rectangulum sub composita ex A E, H D, in duplam H D, Sin A E. Ergo cylindrus erit ad illud solidum vi
284쪽
a 6 DE INFINITIS PARABOLIS ET . rectangulum sub Α Ε, in triplam A E, & in tria
plana H D; nempe ut triplum quadrarum AE; cum triplo rectangulo A E, H D, ad rectangulum sub composita ex Α E, F D, in duplam H D, cum A Es nempe ad triplum rectangulum A E, F D, cum duplo quadrato H D, & cum quadrato A E.
Ergo & cylindrus erit ad solidum ut tertiae partes horum planorum ad inuicem ; nempe ut quadratum Α Ε, cum rectangulo Α Ε, H D, ad rectangulum Α E, F D, cum tertia parte quadrati A E, &cum tertia parte duorum quadratorum H D nempe cum hibsesquialtero quadrati H D. in Eodem modo ostendetur cylindrum esse ad solidum ex trapezio circa H k, in praefata ratione. Secundo si concipiamus tam super parallelogrammo, quam super segmento cylindricos rectos aquealtos sectos plano transeunte per AC, & perlatus oppositum ipsi G F ; habebimus cubationem
virorumque truncorum . Nam ex schol. i. proposit io sic. huius. prisma, quod est dimidium cylindrici super paralIelogrammo , est ad alterutrum truncorum cylindrici super segmento, ut cylindrus ex parallelogrammo G C, circa AC, vel GF, ad alterutrum solidorum ex segmento circa AC,. vel GF. Tertio ex proposit. 4. huius, habemus rationem solidi ex segmento circa H Κ, ad solidum ex eodem segmento circa AC. Imo particularius in trapezio habemus, quod solidum ex traperio Α Hk C,
285쪽
LIBAR TERTIUS. 2ATeirea ΗΚ , ad solidum ex eodem trapezio circa AC, erit ut dupla A E, cum H D, ad duplam Η cum A E.
Segmenti AH Κ C, inuentum est V, centrum grauitatis modo explicato, ut simul explicaremusca , quae explicata sunt ό caeterum tale Centrum compendiosus potest reperiri, inueniendo, ut factum est, S, & G, centra grauitatis parabolarum ABC, ΗΒk: deinde rationem AE, ad F D, continuando
in tot terminoS, ut numerus eorum excedat num eia
rum parabolae binatio , adeo ut ultimus minimus terminus si L: tandem faciendo ut excessus Λ Ε, supra L, ad L, sic S ad Q V. V, enim erit centrum quaesitum. Nam ut excessus 'E, supra L, ad L; nempe ex schol. a. proposit. 3. lib. prim. diuidendo, ut segmentum 4ΗkC, ad HBh, sic reciproce SQ, ad ia v. Ergo ex Archim. V, est centrum quaesitum.
Segmenti cuiuscumque semiparaboia contenti duabus lineis basi parastelis, centrum aequibbri, in basi
286쪽
148 DE INFINITIS PARABOLIS ETc. E. to quodlibet segmentum cuiuscumque semi- parabolae AB C D, adeo ut B C, AD, sint basi parallelae; B A, sit diameter segmenti, & AD,
sit maior BC. Oportet in AD, reperire centrum
aequilibri j segmenti Λ BC D. Compleatur semiparabola AED,&tam DA, quam CB, dividantur in F, & G, ut tam D F, ad F A , quam C G , ad
CB, sint ut numerus parabole ternario auctu S adnumerum parabolae auctum unitate; & per punctuin G, ducatur GH, parallela EA; ratio DA, ad BC, continuetur in tot terminos, Ut numeruS eorum excedat numerum parabc hae binario, & sit ultimus terminus L; & fiat ut differentia inter DA, & L, ad L, sic H F, ad FO. Dico O, esse centrum aequilibrij segmenti ABCD, accepti secundum AD; seu esse centrum grauitatis duplicati segmenti A B C D , ad partes A D . Quoniam enim , tam DA, quam BC, sectae sunt in punctis F, & G, sic vitam D F, ad F Α, quam CG , ad CB, sint ut
numerus parabolae ternario auctu S ad numerum pa rabolae unitate auctum; et go ex schol. a. propolit. 3.
huius, F, & G, erunt centra aquilibrij semiparabolarum AED, BE C. Ergo & H, erit centrum aequilibrij semiparabolae BEC: idem enim est siue suspendatur ex G, siue ex H. verum quoniam ex proposit. I. primi, semiparabola AED, est ad semiparabolam BEC, ut potestas AD, uno gradu altior potestate parabolae, ad similem potestatem B; ne pe, ut AD, ad L. Ergo & diuidendo, erit excessus
287쪽
cessus D Λ, supra L, jsea H F, ad FO, reciproce ut segmentum ABCD, ad semiparabolam BEC. Quare ex Archimede, o, erit centrum aequilibrii segmenti ABCD Quod erat ostendendum.
Si quis vero cupiat inuenire centrum grauitatis segmenti ABCD; per proposit. anteced. inueniat M, centrum aequilibrij segmenti accepti secundum
BA; N per puncta M, & O, actis M P, O N, parallelis A D, E A, se decusantibus in Q Pater Q, esse centrum grauitatis segmenti. I i SCHO-
288쪽
as o DE INFINITIS PARABOLIS Erc.
Sed etiam in hac propositione, ex superius dictis tria faciliter possiimus assignare . Nam segmento circumscripto parallelogrammo AR; & reuoluto ipso cum egi dissilie circa BA, si ue circa RD: habebimuε rationem eylindri ex parauelogrammo ad alterutrum solidorum ex segmento. Nam ex pro- rosit. 8. p. habemus rationem parallelogrammi AR, ad ipsum segmentum. Quae autem sit talis ratio, recolenti sesioha. anteced proposit, patebit. Secundussi tam super parallelogra'mo,quam super segmeato concipiamus cylindricos rectos aeque- altos sectos diagonaliter plano transeunte per A B ,α per latus oppositum DRr habebimus cubati nem amborum truncorum cylindrici super segmento . Ratio autem huius asserti recolenti superiora facile innotescet. Tertio dabitur ratio solidi rotundi ex segmento reuoluto circa R ad solidum ex eodem segmento reuoluto circa BA. . 'PR
289쪽
Ointabet trape si centrum Nubris inuenire . .
metro E C, reperi- . . ure. Superbasi AC, &circa diametrum ' LE C, concipiatur otrilineum A E C, 'eiusdem generis
rus trilinei unitate auctus , ad unitatem. Ergo ex sthol. a. proposit.a huius, F, G, & H,ierunt centra
squilibr a trilineorum A BC, D BE, A E C, secundum BC. Postea fiat ut BE, ad EC, sic HE, ad
290쪽
xuea DE INFINITIS PARABDLIS ETC. FK, auserrendam ab FH, incipiendo ab F. Deinde fiat ut A excessus AC supra DE, ad DE, sic Hk, ad F M. Tandem M G, sic secetur in N, Vbieumque cadat punctum N, ut G N, sit ad NM,
Vt tot continue proportionales in ratione CB, ad B E, quotus est numerus parabolae unitate auctus, prima maiori excepta, nempe C B, ad ipsam CB. Dico punctum N, esse centrum quaesitum. Huius asserti demonstratio est fere eadem cum demonstratione proposit. Io. huius. Nam eodem modo dem instrabimus GF, E H, aequale S esse . item quo-ntina F, est centrum aequilibrij totius trilinei ABC, G, partis eius; nempe ti itinei AEC, &factum est ut BEL ad E C; nempe diuidendo, ex proposit. 4. lib. i. v A B E, ad A EC, sic H E, seu et arqualisl G F, reciproce, ad Fhs ergo k, erit centrum ae qui librij figuine ARE. Pariter quoniam factum est ut 'AL, ad DE; nempe ex proposit. 6. prim. lib. diuidendo, ut A D E, ad B D E, sic reciproce H k, ad EM; ergo M, erit centrum aequilibrii figurae A D E. 4 andem , quoniam factum est ut tot contia ue prs retionales in ratione CB, ad BE ipsa
C d , excepton quarum numeruS excedat numerum trilinei unitate, ad ipsam CB; nempe ex corol. pr
posit. 9 Iib pri. ut A DE, ad AEC, sic GN, ad NM; ergo N, erit centrum aequilibrij trapezij ADEQ& conloquonter grauitatis eiusdem trapezij duplicati ad partes C E. Quod erat ostenden