장음표시 사용
291쪽
Cum in serie infinitorum trapetiorum sit primum trapezium , quod est idem cum dimidio primi segmenti parabolici proposit. ao. huius cum hae methodi inueniendi centra grauitatis, seu a
segmenti parab lici conueniant, ac
sint Vnum,&idem, Aut experienti πιtrasque methodos patebit ue sequitur, quod cum in schol. I. proposit, P. ostensum sit methodum illam conuenire cum methodo Archimedis , & aliorum, qui reperierunt centrum grauitatis trapezij, etiam praesens cum illa conueniat.
sed etiam trapezij ADEC, licet centrum arquia i libri
292쪽
as DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
librij compendiosius reperire. Inuentis enim H,&F, centris trilineorum ABC, DBE, & ratione
CB, ad BE, continuata in tot terminOS ut num IuS eorum excedat numerum trilinei binario, sitque
ultimus terminus C G ; si fiat ut excessus C B, Q. pra CG, nempe BG, ad G C, sic H F, ad FN. Erit N, centrum quaesitum . Est enim ex schol. pri.& a. proposit. 3. lib. prim . diuidendo ADEC, ad BDE, ut BG, ad G C; nempe reciproce vi HK ad FN.
Tria autem, quae diximus in superioribus propositionibus deduci ex praedictis, deducentur etiam in hae . Nam primo si trapezio ADEC, intelligami s circumscribi parallelogrammum OC, quod
cum trapezio volvatur siue circa AC, siue circa D E, habebimus rationem cylindri ex parallel grammo, ad solidum ex trapezio. Nam ex proposit. s. pri. lib. habemus rationem talis parallelogra mi ad trap Zium Ratio ergo cylindri ex o C, ad solidum ex trapezio reuoluto siue circa C A, siue circa O E, erit eadem cum ratione rectanguli contenti subdimidia E C, & sub tot C B, quotus est numerus trilinei unitate auctus . ad rectangulum sub altera ipsarum
EN, NC, secundum quod fit reuolutio, & sub C B, RE, & caeteris totPropoetionalibus, quotuSest
293쪽
est numerus trilinei unitate .auctuS. .: O
Deducitur secundo, quod si tam super pae M. grammo, quam supςr trapegio intelligantur cylim drici aequeati secti diagonaliter plano transeunte per A C, & per latus oppositum ipsi DE, habebimus
cubationes virorumque truncorum cylindrici super trapeziO. Deducitur tertio dari rationem solidi rotundi ex traperio circa AC, ad solidum rotundum ex eodem trapezio cirea DE.
Trapet j cuiuscumque, centrum affuibbrii in basi Usignare.
porteat eius centrum aequilibrij in basi A D, reperire. Compleatur trilineum AED, cuius ipsum est trapezium ; & tam A D, quam B C, sic dividantur in F, & G, ut tam AF, ad F D, quam B G, ad G C, sit ut triplus numerus trilinei unitate auctus, ad numerum trilinei unitate auctum. Ergo ex schol. proposit. 8. huius: tam F, quam Erunt centra aequilibrij trilineorum BEC, AEDr& si ipsi CG, fiat aequalis DH; etiam H, erit cem trum aequilibrij trilinei BEC, appensi secundum AD. Ratio DE, ad E C, continuetur in tot terminos ut numerus eorum excedat numerum trilinei binario;
294쪽
binario ; sitque ultimus minimus terminus h. Ergo trilineum AED, erit ad trilineum BEC, ex schol. a. proposit. 3. lib. pri. ut DE, ad K. Et divide do, erit trapezium A B C D, ad trilineum BEC, ut excessus DE, supra Κ, ad h. Fiat ergo ut excessus DE, supra k, ad k, sic H F, ad F L. Dico punctum L, esse centrum aequilibrij trapet ij secundum AD, appensi. Quod facile patet, quia cum F, &H, snt centra aequilibrij trilineorum AED, BEC,& factum sit reciproce, ut excessus D S, supra E, ad k, nempe ut A B C D, ad B E C, sic H F, ad F L. Ergo L, erit requisitum centrum. Quod erat inue
Si ergo per punctum L, ducatur L O, parallela DS, & per proposit. anteced. inueniatur M, centrum aequilibrij trapezij appensi secundum CD, &ducatur MN, parallela AD: N, erit centrum grauitatis praedicti trapeZij. , ..
Item si trapezio circumscriba tur parallelogram-mum PD, quod cum ipso reuoluatur circa CD, seu circa PA; ex dictis patet primo dari rationem cylindri ex P D, ad alterutrum solidorum ex trape aio siue circa CD, sue circa P A. Patet secundo dari cubationes truncorum cyli drici super trapeZio resecti plano transeunte per C D, & per latus oppositum ipsi P A. .
295쪽
Patet tertio dari rationem solidi ex trapezio circa D C, ad solidum ex trapezio circa P A.
ivoris portionis cuiuscumque parabolae resectae linea Hametro parallela, centrum aequibis j in basi Uignare.
E x0 quaelibet semiparabola DBC, cuius munor portio si ΚHG, adeo ut HE, si di metro B D, parallela, & oponeat portionis kHC, centrum aequilibrij in basi h C, reperire, hoc est centrum grauitatis portionis pnedictae duplicatae ad K h partes
296쪽
as 3 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. partes h C. Semiparabolae circumscribatur parallelogrammum DE; & ΚΗ, producatur usque ad G; & diuidatur ΚC, bifariam in L; &expro- post. I a. huius, inueniatur M, centrum aequilibri, trapezij G H C B; & fiat C N, aequalis E M. Ducatur H A, parallela DC, & fiat ut differentia inter tot E B, 'quotus est numerus parabolae unitate auctus,&inter EB, BG, & caeteras Ni continue proportionales in harum ratione quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad has continue proportionales, sic N L, ad LO. Dico O, csse centrum aequilibri, portio iis H k C . Cum enim L, sit centrum arquilibri; parallelogrammi k Ε, & N, trapezij HGEC; & cum factum G N L, 'ad L O, ut
excessus tot EB, quotu S est numerus parabolae unitate auctus supra EB, BG, & caeteras tot propo tionales quot sunt ipsae, ad easdem proportionales; nempe ex secunda parte proposit. s. lib. pri. conue tendo , & diuidendo, sic reciproce HEC, adHGEC.' ergo ex Archim. O, et it centrum qu T- situm. Quod&c.
.' Uerum cum indigeamus, pro dicendis insequenti libro, centris aequilibrij talis portionis, & aliorum segmentorum in parabola quadratica; particulariuSexplicabimus in ipsa & nunc, & in sequentibus, re gulas uniuersales inueniendi talia centra aequilibrij. In
297쪽
In parabola ergo quadratica punctum , quod est centrum, est in basii K C, portionis, prius secta bifariam in L, Nin N, secundum centrum grauitatis excessus parallelogrammi GC, supra portionem, in eo puncto, in quo Lh, sic diuiditur, ut N L, sit ad N o, vi excessus triplae CD, supra CD, DE,
& harum tertiam minorem continue proportionalem,ad has tres continue proportionales.
si vero portioni circumscribatur parallelograminmum k A , tria colligentur . Primum est ratio cy-
298쪽
-o DE INFINITIS PARABOLIS ETQlindri ex k A, ad solidum rotundum ex portione, siue reuoluantur circa Hk, sue Circa A.C. Haec autem eadem erit cum ratione rectanguli sub h L, &sub composita ex C D, Dk, & caeteris tot continue proportioralibus quotus est numerus parabolae, a cepta secundum numerum parabblε Vnitate auctum, ad rectangulum contentum vel sub E O, vel sub OC, secundum quod fit reuolutio siue circa Hk, siue circa A C, & sub composita ex ijsdem proportionalibus, sed sic acceptis, ut CD, aqcipiatur secundum nusnerum parabolari Dh, secundum numerum par bolae unitate minutum ; tertia proportionalis, secundum numerum parabolae binario m nutum ; & si deinceps. Ratio huius asserti principaliter dependet ex propc I 3. lib. p. Imo ex scholio eiusdem particularius colligitur in parabola quadratica , ella cylindrum ad illud sol,
dum rotundum, ut rectangulum contentum sub K L,
vel LC, & sub composita ex CD, D , ad rectangulum contentum sub , O, vel OC, &sub compo- sua ex dimidijs CD, D , & ex sexta parte x C. Secundum quod colligitur est, quod si super portione concipiatur cylindricus rectus, sectus diagonaliter plano transeunte per ΗΚ, & per latus oppositum ipsi AC, haberi cubationes virorumque trun
Tertium est , haberi rationem solidi ex portione circa AC, ad solidum ex portione circa H . PROM
299쪽
Eissem portionis centrum aequitaris secum tam lineam diametro parastelam assignare. Dd oporteat eiusdem portionis HS C, centrum aequilibiij in HK, assgnare. Ducatur per Η, Η F, DC, parallela; & BF, BD, secentur in A, L, ut B L, B A, sint ad LD, AF, ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae Ergo ex schol. p proposit. a. huius, A, & L, erunt centra aequilibrij semiparabolarum FB H, DBC.
300쪽
161 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Pariter si FD, secetur bifariam in M, erit M, centrum aequilibrij parallelogrammi FK. Diuidatur AM, sic in N, ut AN, sit ad NM, ut tot
D F, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot BF, quotus est numerus parabola: ό nempe ex proposit. rs. lib.pri. reciproce ut parallelogram-mum D H, ad semiparabolam FB H. Ergo N, erit centrum aequilibri; segmenti DB HK. Tunc
ratio CD, ad DK, continuetur in tot terminos, ut numerus eorum excedat numerum parabolarunitate,& sit ultimus minimus terminus O; &fiat ut tot rectangula CD Κ, quotus est numerus parabolae, una cum rectangulo sub Dk, in excessiim CD, supra O, ad rectangulum sub , C, & su b excessu tot CD, quotus est numerus parabolae unitate auctus supra CD, DK, & alias proportionales repertas ; nempe ex proposit. ao. lib. priin. ut segmemtum DBHk, ad portionem KHC, sic NL, reciproce, ad LP. Ergo P, erit centrum aequili-brij portionis Η, C, ; acceptae secundum DB. Si ergo fiat , aequalis DP. Patet inuentum esse centrum aequilibrij portionis HkC, acceptae secundum kH. Quod erat faciendum.
Si ergo ducatur in , parallela XC, &per S, centrum aequilibrij portionis KHC, appensae, uxproposit. anteced. secundum KC, ducatur ST,