장음표시 사용
321쪽
dae,& cum excessu oΗ, supra ruad T P, &Q, sic N h, ad K I. Assirmo punctum ι, esse centrum aequΗibrij segmenti ΑΕΒ GC, in basi AC. Nam
ut dictum est, h,& N, sunt centra aequilibrii totius parallelogrammi, & trilineorum simul coniunctorum. Cum ergo ex proposit. 14. lib. pri. sit ut paraulelogrammum Α F, ad segmentum A EB GC, sie PS, Quae est P L, accepta secundum numerum Parabolae unitate auctum una cum tot o H, qu tus est numerus parabolae unitate auctus,ad ST, Vna cum excessiriot GH, quotus est numerus parabola: Nn unu
322쪽
asi DE INFINITIS PARABOLIS ETC. unitate auctus supra Q. Ergo & diuidendo , triliisnea erunt ad segmentum ut PT,& in ad TS, cum tot ΗΟ, quotus est mi merus parabolae, una cum edicessu OH, supra Q. Quare conuertendo, erit se mentum A E B G C, ad trilinea E D B F G, ut T s, una cum H O, accepta secundum numerum parabolae , & cum exςessu O H, supra Q, ad PT, simul cum R; nempe ex constructione , reciproce vera I Κ, ad K I. Erit eo i, centrum quaesitum. Quod&c.
In segmento ergpparabolae quadrataear,erit eentrum aequilibrii in basi AC, prius secta bifariam in k; deinde in V, & X, sic, ut HV, HX, sint triplae ipsarum V A, X C: denuo sic in N, ut V N, sit ad NX, ut cubus CH, ad cubum H A: tandem in A k, dimidia totius attingente minorem EA, diametro pirallelam, & in eiusdem puhcto I, ubi sic diuiditur, ut Nk, sit ad K I, vi ST , cum dupla HO, &cum excessu ipsius si pra in quae sit tertia minor proportionalis ipsarum OH, HC; ad PT, una cum Q. - :
323쪽
quotus est numerus parabolae uni tate auctus, ad re ctangulum vel sub AI, vel sub I Cy ωsub composita ex T S, ex H ccepta secundum numerum p , atabolae,&oexc siu OH, sepra Iraci zi ia
Bussem segmenti centrum aequilibris reperire in alterutra diametro parallela.
324쪽
SEd oporteat segmenti: AEB GC, reperire cen
trum aequilibri j. in alterutra ipsarum A E, C G, . etiam producta si opus si Nerum cum talis modus non disserat amodo inueniendi tale centrum in portione maiori parabolae, qui explicatus fuit proposit. ao huius; ideo lector ad ipsiusimitationem Iale centrum reperiet, adhibendo congruam proportioue segmenti ad trilinea, in antecedent. proposit. viam. Sicuti etiam ad modum eorum , quae dicta sunt tot vicibus ad inueniet centrum grauitatis praedicti se menti ; pariterque etiam agnoscet, tria solita dedi ci, etiam elici in praesentiarum .
Quam loqge , lateque patear usus trium propositionum initio huius libri explicatarum, lector ex supraedictis, potuit animaduertere. Verum etiam es ijs inseruire possvnn. ipsis enim med ijs possumus reperire centra grauitatis partium circuli methodo diuersa ab eae, qua ipsa inuenerunc acutissimi gemmetri Ioannes. dellae nilla ,. GHinus , & forsitan alij, & varia tradere circa solida quaedam rotunda ex circuli partibus,reuolutis varie genitae.. Sit ergo-,
325쪽
ptum rectangulum,quod cumsectore rotetur cire uum latus transiensper centrumsectoris. ΘΓndrus ex rectangulo emisi quialtersolidi exsectore.
m. D A. LIt sector minor semicircuIo H DE, cuius axis; B D, & cui sit circumscriptum rectangulum kN. Dico cylindrum ex EN', circa M N, esse sesquialterum solidi ex sectore HBED, circa M N. Compleatur semicirculus ABC, & ei sit circumscriptum rectangulum FC, & haec omnia intelligantur rotari circas A C. Sector solidus genitus a sectore H B E D; erit aequalis cono,cuius basis sit squalis superficiei sphaericae ipsius squs superficies erit quς. dam zona in altitudo vero aequalis semidiametro BD, ve facile elicitur ex Archim pri. de sphaer. & cylin,
326쪽
286 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. pro possit.42.Sed ut deducitur ex eodem ibidem proposit. 3 I. N Iz. etiam sphaera est squalis cono, cuius basis aequetur si perficiei sphaericae, altitudo vero sit aequalis semidiametro . Ergo sphaera erit ad talem sectorem solidum, ut superficies sphaerae , ad superficiem sectoris solidi. Sed superficies sphaerae . est ad superficiem splhaericam talis sectoris solidi ut AC,ad MN, ut clicitur ex eodem Archim. supra citato proposit. O.& i. Ergo & ut AC, ad MN, sic 1phqra ad talem sectorem solidum. Sed ut AC, ad M N, sic cylindrus ex rectanguIO FC, circa AC, ad cylindrum ex rectangulo Κ N, circa M N. Ergo& ut cylindrus ad cylindrum, sic sphaera ad solidum exsectore. Et per m u tan do, ut cylindrus ex FC, ad sphaeram, sic cylindrus ex ΚN, circa MN, ad solidum ex sectore FIDE B, circa M N. Sed cylindrus, ex Archim. citato proposit. 32. est sesquialter sphaerit. Ergo& cylindrus ex k NI, erit sesquialter solidi ex sectore,&c. Quod &c.
Si semicircub, su sectoris eius cuiuscumque semissiametor sc sicetur in puncto, visit sicut dimidia per baria semia circul fusectoris a tertiam partem chordae eiusdem, sic semidiameter a sui partem absci
de udam incipiendo a centro. Tale punctum erit centrumgrauitatιι δε-
327쪽
intelligamus esse ut AB, circumferentia, ad A E, quae sit tertia pars chordae AC, sic B D, ad DF. Dico F, esse centrum grauitatis semicirculi, sed se
Probatur primo in semicirculo, cui circumscribatur rectangulum GC, quod cum semicirculo r tetur circa A C. Ergo ex Archim. cita. cylindrus erit sesquialter sphaerae. Quare cum A E , sit duo tertia AD, quia est unum tertium AC; ergo cylindrus erit ad sphaeram, ut D A, ad A E. At ratio DA,' ad AI de foris sumpta circumferentia AB, componitur ex rationibus DA, ad AB, circumse-g rentiam,
328쪽
rentiam, di huius ad A E. Ergo & ratio cylindri ad sphaeram componetur ex istaem rationibus. V rum ex schol. prim. proposit. 3 . .huius. ratio cylindri ad sphaeram componitur quoque ex ratione recta guli G D, ad A B C, semicirculum, di ex ratione B D, ad interceptam inter D, & centrum grauitatis semicirculi. Ergo rationes DA, ad circums rentiam AB, & huius ad m, aequales erunt rati nibus GD, ad semicirculum, & BD, ad intem piam inter D, & centrum grauitatis semicirculi-Verum quoniam, ut elicitur ex Archim. de circuli quadrutura , di ex Mobis propositin. lib. a. rectangulum GD, est ad semicircillum,mt D Α, ad circum ferentiam AB. Ergo si hae duae rationes aequales
subtrahantur, remanebunt etiam ahae duae rationes
aequales. Ergo ratio circumserentiae AB, ad AE, a qualis erit rationi R D., ad interceptam inter D, α centrum grauitatis semicirculi. Sed ex construetione , factum est ut circumferentia A B, ad A E, sic BD, ad DF. Ergo F, erit centrum grauitatis semicirculi. In sectore minori, ei circumscripto rectangulo GL, erit sere eadem demonstratio. Quia in pro- post. anteced. ostensum est cylindrum ex parallel grammo, GL, esse sesquialterum solidi exsecto reuolutis ambobus circa IL; N etiam facile deducetur tam ex Archim. quam ex nobis, rectangulum
G D, disse ad sectorem ut G B, seu AM, ad A E.
Vnde eodem modo concludetur F, ese centrum graui-
329쪽
LIBER TERTIVS. ' a s grauitatis sectoris. At in sectore maiori compleatur culus, cuius est sector, cuius diameter fit Bh, λ
ctorisque minoris ADCK, sit centrum grauitati L ; & fiat ut B A, dimidia periphqria sectoris malo ris, ad Ak, dimidiam minoris, sic LD, ad DF. Erit ut L D, ad DF, sic sector maior ABCD, adsect rem minorem A K C D, quia sector, est ad sect
rem, Ut circumferentia, ad circumferentiam, seu ut dimidia circumferentia ad dimidiam circumferentiam . Sed D, est centrum totius circuli, L, lectoris minoris I ergo ex Archimede saepe citato, F, erit centrum sectoris maioris. Quod vero punctum F, sic inuentum, sit idem cum puncto F, prius inuento , sic patebit. Nam quoniam per constructionem, est ut circumferentia ΑΒ, ad circumserentiam Ah, sic LD, ad DF; ergo & permutando , Vr pe
330쪽
aso DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Sed ut ostensum est supra conuertendo, ut A E, ad circumserentiam Ah, sic DL, ad DE. Ergo exaequali in perturbata analogia, ut periphsria AB, ad D k, sic Α E, ad DF. Et permutando, ut cir cumserentia ΑΒ, ad Α E, sic ED, sed BD, ad D F. Ergo patet propositum. Quod &c.
Ex praesenti propos & ex proposit.q. huiUS. possumus inferre dari rationem solidi rotundi vel exsemicirculo ABC, vel ex quolibet sectore ABCD, reuoluto circa GH, ipsos tangentem in B, ad solidum ex ijsdem reuolutis circa A C, SL. In semicirculo ergo,& in sectore minori, ratio talis eadem erit cum ratione BR ad F D; seu cum ratione excessuScircumserentiae A B, supra Α Ε, ad A E. In secto- re vero maiori semicirculo, eadem erit cum ratione
Insuper notetur qualiter dentur cubationeS trunci sinistri cylindri recti tam super semicirculo,quam super sectore minori resecti plano transeunte, in s micirculo per SC; & perlatus oppositum ipsi GHyinsectore vero minori, per KL, & per latus Oppositum ipsi G H. Ratio est, quia cum in semicirculo, ex Archimede, cylindrus ex parallelogrammo G sit ad sphε ramex semicirculo in ratione sesquialtera I S cum ex supra dictis, sit truncus snister cylindrici super parallelogrammo , nempe prisma , ad