장음표시 사용
341쪽
gulum, quod eum ipse motiatur et ea chomam portionis . Erit e indrus ex rectangulo adflidum ex portione , eis antecedens propositionu antecedentis , ad parullelepipe--- intrecepta inter corrim, ω eentrum gravitans portionis iurectangulum comtent sebsemidiametro
se, excessu ipsius supra piasteram inferrepta interrensrum ciscus, centrem grauitatis sectoris, una cum parallelepiperi sub eadem intercepta in est cordam, ω centrumrrauitatis portionis, m rectariolum , cmus num latus sit axis portionis, a ud fles Miltera intercepta interemtracisculi, tr grauitatisβctoris .
E po portio minor circuli ABC, eum sibi ci
eum scripto rectangula FC, de eum suo sectore ABC E; fit autem H, centriim grauitatis sectoris ABC E. EE, sit sesquialtera E H, L, v ro sit centrum grauitatis portionis, di intelligamus ambas figuras rorari circa AC. Dico cylindrum ex FC, esse ad solidum ex portione ut parallelepipedum sub quadrato DB, in Eli, ad parallelab- pedum sub LD, M sub rectangulo EBE, una eum parallelepipedo sub eadem L D, in rectangulum DB, k E. Quoniam enim ex schoI. prii proposit. D huius, cylindrus ex paralIelogrammo ad solidum ex por-
342쪽
so1 DE INFINITIS PARABOLIS ET .
tione habet rationem compositam ex ratione rectanguli Fin ad portionem, & ex ratione BD,
ad D Lr ratio vero rectanguli ad portionem componitur ex ratione rectanguli ad sectorem, & huius ad portionem . . Ergo & ratio cylindri ad solidum componetur ex iisdem rationibus . At ratio rectan-g li FD, ad sectorem ABC E, componitur ex ratione AD, ad circumferentiam AB, & ex ratione DB, ad EB, & ut deducitur ex proposit. a4. huius. est νοῦ. AD, ad circumserentiam AB, sic KE, ad EB; under tio rectanguli FD, ad soctorem compqnitur ex ratione k E, ad EB, &ex ratione D B, ad EB; nempe rectangulum Fo, est ad sectorem ut rectangulum Eh, DB, ad quadratum B E. Pariter sector est ad porti0nem ut quadratum B E, ad excessum ipsius supra rectangulum DEk, e conuersione rationis pro sit. 23. huius, Erm ratio si D, ad portionem A BI., wr ponMur ex ratiose recta Muli , D B, ad quaiadrasum B E ; S huius ad excessuim eiusdem supra rectangulum D E; nempe Fo, erit ad AB ut rectangulum .d Iti.' Z k, ad excessiim quadrati E B, supra rectamulinn D E kil cum ergo talis ex cessus sit rectangulum k bE, cum rectangulo h D d. quia qu ratum B B aequatur rectangulis kDL, kEB, quod rectangulum Κ EB, disicitur in rectangula kED, & kE, DB. Ergo F D, erit ad AB C, It rectangulum Κ E, DB, adrecta
343쪽
Ergo a primo ad ultimum, ratmcylindri ex F C, circa AC, ad solidum ex ABC, circa AC, coinponetur exratione rectanguli B D, E E, ad rectangula KBE; SE, Dη, & ex ratione v D, ad D L. Sed ex ijsdem rationibus componitur ratio parali lepipedi subrectangulo BD, KS, in B in nempesuhquaaxato v D,1o KE, ad duo parallelepipeda, quorun altitudo sit. D L, bases vexo rectangulae k B E BD, Κ E, Ergo i sindrup estad solidum ut illud parallelepi pedum, ad lisc parallelepipeda.Quod
Sed etiam in hac propositione facile possumus. deducere, rationem cylindri ex eodem rectangulo F si, ad annulum strictum ex eadem portione Hailsem in factister patebit,esse eamdem cum ratione praedicti antecedentis ad paralle-
344쪽
so DE INFINITIS PARABOLIS ETC. lepipeda,quorum altitudo sit B L, bases vero prae
dicta rectangula. Notetur tamen in progressu demonstrationis superioris ostensum esse, FD, esse ad portionem, ut rectangulum kE, D 3, ad idem rectangulum, cuis rectangulo E B k. Ex quibus deducitur, rectangu lum F C. esse ad eandem portionem, ut duplum rectangulum BD, LB, ad eadem rectangula cou-
Verum aliam rationem cylindri ex PC, ad pra dicta solida possumus assignare. Nimirum quod sit, ut praedictum antecedens ad parallelepipeda, quorum altitudo sit L D, bases vero rectangula DBE DB, , B ssi cylindrum referatur ad solidum ex portione circa AC vel quorum altitudo sit B L, bases
vero eadem rectangua s si cylindrus comparetur cum solido ex portione circa F G . Ratio est, quia quadratum EB, non solum excedit rectangulum D E h, rectangulis EB ε E λ, D B, ut dictum est; sed etiam rectangulis D B E ; E D, k B, ut considerania patebit. Exdictis ergo licet animaduertere, qualiter etiamsωpposita circuli quadratura , dentur cubationes truncorum amborum cylindrici recti super qualibet 'circuli portione existentis, & consueto modo diag naliter resecti,'&c. Verum
345쪽
ZIBER TE RTIVS. 3os Uerum antequam finem huic tertio libro imponamus , Ut ma3is, magisque appareat lacunditas propositionum Iupra explicatarum, non erit inutile aliquid circa solida cycloidalia pronuntiare. TOrri- cellius lib. pri. de motu gra schol. propositi I 8. ait. Satis sit interea lectorem hic admonuisse quod si e luidis
natium circa basim conuertatur, erit solidum ad ylindrum circumscritum αυt s. ad 8. si mero circa tangentem basi parallelam 'rae 7 .ad 8. centrum Icloi is axe ecat Mut pamtes sint i 7. ad s. Tria ergo pronuntiat Torricellius, quorum uno dato, reliqua nequeunt latere, ut patebit. Supponendo ergo centrum grauitatis cycloidis secaremim, ut pars ad verticem sit ad rei quam Vt T. ad s. sit.
Sic cloidi primariae sit circumsiriptum paratulogrammum, quod cum 'se roterar circa basim. Erit ylindrus ad sum cycloidalem it 8. ad se mero conuem tantur ambo circa latus tangens-basi paralyelum. Erit cylindrus adse ΓΔ Di 8. ad T.
E to cyςlois primaria ABC, cum sibi circum
scripto rectangulo G C, & cuius axiS BD. Dico quod si ambo rotentur circa AC, erit cylindrus ad solidum ex cycloide quod ad imitationem antecedentium vocamus fusum cycloidalem in ut 8.
346쪽
sos DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Probatur prima parS. Quia ex eodem Torri cellio in appendice de cycloide,& ex Tacquet in dio
sert. de motu, &c. theor. ao, parallelogrammum
GC, est sesquitertium cycloidis, unde est ad ipsam vi q. ad 3. sed ex proposit. 3. huius, ratio cylindri ad fusum cycloidalem componitur ex ratione GC, ad cycloidem, & ex ratione E D, supponendo ED, esse dimidiam BD in ad FD supponendo F, esse centrum grauitatis cycloidis j quaeratio E D, ad DF, est ut 6, ad s. Ergo ratio cylindri adfusum componitur ex rationibus q. ad 3.& 6. ad 3. Sed ex istis rarionibus componitur quoque ratio a , ad I 3. Ergo cylindrus erit ad fusum. vi χε. ad 13. nempe ut 8. ad 3. Secunda pars facile patebit, quia ex proposit. q. huius, fusus ex cycloide,est ad annulum strictium ex eadem circa GH, ut DF, ad FB; nempe ns. ad 7- Quare ex aequali, patet etiam secundum. Quod &c.sCHO
347쪽
Ex dictis patet, qualiter habeamus cubationes truncorum cylindrici recti super cycloide existentis resecti ut saepe dictum est.
Fusus edictoidalis en ad annulum Lyramis ex circulo genitore. ut 3. ac 2.
SEd supponamus cycloidem cum circulo genitore rotari circa A C. Dico fusum cycloidalem esse ad annuIum strictum ut 1. ad a. Patet faciliter, quia fusus ad illum annulum habet rationem compositam, ex 3. huius,ex ratione cycloidis ad ei culum s nempe ex ratione 3. ad s.& ex ratione DF, ad DE; nempe ex ratione 3. ad 6.Sed ex istis ratio. nibus componitur ratio is, ad 6. Ergo fusus erit ad illum annulum strictum vi I s. ad 5; nempe ut 3. ad - 2. Quod &c.
Ergo annulus strictus ex cycloide circa G H, erit ad annulum strictum ex circulo praedicto vi P ad a.
348쪽
3o8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
Torricellius in praecitato loco de motu grauium, subiungit Demon Bratur etiam ratio solidi circa axem ad cylindrum circumscriptums item in qua linea axi parastelasse centru emiycloidis. Patet ex dictis, uno, vel altero dato , statim aliud innotescere. Nos in priesenti nec unum,nec aliud habemus, nec tempus adest haec ipsa rimandi. Plura indigesta, immaturaque phantasiam occupant circa cycloidem ordinariam,& alias infinitas diuersi generis illarum,quae circumferuntur;quae forsitan aliquando, s Deus vitam, sanitatem, & maius comodum praestabit, lectori commun icabimus. Interea, antequam huic tertio libro finem imponamus, notetur,non solum, inuenta esse centra grauitatis praedictarum figurarum, quarum inuenta sint, si detiam facile haberi posse centra grauitatis onν. nium cylindricorum super ijsdem existentibus. Si enim linea centra grauitatis oppC sitarum basum . coniungens bisecetur, punctum bisectionis praesta- 'bit centi um grauitatis cylindrici. Quod indicasse lectori lassiciat.
349쪽
Cutissimus Caualerius in suis exemcitationibus geometricis exercit. 3. nouum modum instituit considerandi'grauitateiri,Vel in eam h bentibus,vel in eam habere conceptis. Cum enim ut ipsemet ait in praefatione eiusdem exercitationis in geometria ad sua tempora usque grauitatem non nisi uniformem is eadem quantitate agnouerit, Iicet in diuersis comporibus varios gradus eiusdem admiserit, ipse dei, eeps Caualerius rerum pulcherrimarum indagato', caepit philosophari circa diuersa symptomata, quiartunc acciderent si eadem quantitas non supponatur uniformiter grauis, sed uniformiter cum disso matate quadam . Inter caetera principia, quae iecie Pro
350쪽
3io DE Immo PARAB0LIS ET . pro huiusce speciosi cedi fit ij moIe fulcienda, extant tamquam principalia definitio I a. & proposit. s. Verum quia haec, sicuti & alia, constructa sunt incomparabili methodo indiuisii bilium, per quam licet a nobis regalem prospectam non intelligimus
procederem sequentibus; ideo cum pra citatis primcipiis indigeamus pro aliquibus tradendis, fere eadem explicabimus , licet methodo a caualeriana di. uersa. Procedemus autem absque in diuisibilibus,& grauitatem tantum uni sormemjn eadem quantitate considerabimus. In praesenti autem ex definitione Caualerij, eliciemus & nos definitionem quandam pro nostro instituto, uniuersaliori tamen modo propositam. Sit ergo
plana, vel solid a proportionaliter analoga in magnitudine, dicentur, in quibus ductis lineis, vel planis, lineGveI plano pro regula inseruiente, paralleliS, -& lineam quandam,quq sit ves altitudo,vel veluti altitudo figurarum proportionaliter secantibus, semper secabunt plana , vel solida proportionaliter, seu in partes proportionales. Verum, ut haec definitio clarius explicetur, den tur duo pIana,vel solida, veI unum planum, alterum solidum ACB, DF Ε, quorum altitudines, seu vcluri altitudines AB, DE, siue sint aequales, siue inaequales, secentur propos tionaliter in qu ibuslibet