장음표시 사용
331쪽
as truncum sinistrum cylindri, quem alii ungulam v cant, ut cylindrus ad sphqram. Ergo tale prisma, erit sesquialterum talis ungulae. Idem probabitur insectore minori, quia supra probatum est cylindrum se Ru ialterum esse solidi ex sectore. Et ut patet, t Ies cubationes habentur sine circuli quadratura . . Non sic habentur cubationes truncorum dextro- tum talium cylindricorum ; quae tamen etiam habentur, supposira circuli quadratura, quia supposita circuli quadratura , habentur rationes cylii, drorum ex GC, in semicirculo, & ex GL, insectore minori ad annulos strictos ex semicirculo, &ex sectore minori, reuolutis circa GH. Ratio au-oo a tem
332쪽
231 DE INFINITII PARABOLu ETC.
tem haec in semicirculo est eadem cum ratione A D, semidiametri, ad excessiim circumserentiae AB, supra A E. Insectore autem, est eadem cum ratione k D, ad illum excessumi nempe est eadem cum ratione dimidiae chordae ad excessum dimidiae circumferentiae supra tertiam partem eiusdem chordae. Nam, cum sit cylindrus ex parallelogrammo sesquialter solidi ex semicirculo, vel exsectore circa A Gseu kL, nempe ad ipsum,ut sesquialtera FD, ad F D: solidum vero circa AC, vel kL, sit ad solidum circa GH, ut DF, ad FB. Ergo ex aequali, erit cylindrus ex parallelogrammo,. ad solidum ex semicirculo, vel ex sectore circa G H, ut sesquialtera F D, ad F B; nempe ut o D, vel ΚD,ad e cessum circumferentiae AB, supra AE.
Sector circuli ,ea adsuum triangulum, it quadrat m ρε- mid ametri, ad rectangulumsub altituaene trianguli,
o subste utaltera ιntercepta ιnter ceutrum circuli, ω centrumgrauitatis sectoris.
SInt sectores minor Ah CD, & maior AB CD, in fig seq q orum triangulum ADC, quomi
nor exceditportionem AkC, maior vero deficit a portione ABC, centra vero grau i tatis ipsorum sint F, L, F, quidem maioris, L, vero minoris. Di
333쪽
LIBER TERTIO. , as eo sectorem AECD, esse ad triangulum ADC, ut quadratum k D, ad rectangui sub G D, in
sesquialteram DL: sectorem vero ABCD, esse ad idem triangulum, ut idem quadratum ad rectangulum sub GD, in sesquialteram FD: j. Quoniam enim ,Vt deducitur ex schos. proposit. 6. lib. a. sector AECD, est aequalis triangulo, cu Pius basis est aequalis circumferentiae A K C, altitudo h D; di triangulorum proportio adinvicem componitur ex rationebasium de altitudinum . Ergo ratio sectoris AECD, ad triangulum ADC, componitur ex ratione circumserentiae ALC, ad AC, seu circumferentiae Ah, ad ΑG, & ex ratione ED, ad DG .i Uerum quoniam, ex proposit. anteced. pateres evicircumferentia Ah, ad AE, sic ED, ad D L. Ergo, & ut circumferentiae Ah, ad
A G, sesquialteram A E, sic ED, ad sesquialteram
lam ADC, componetur ex ratione Κλ ad D G, N ex ratione SD, ad sesquialteram D L. Sed ex ijsdem rationibus componitur ratio quadrati , D,. ad rectangulum sub GD, de subsesquialtera D L. Ergo sectos erit ad triangulum ut illud quadratum ad illiud rectangulum . Fodem modo demonstrabitur etiam in sectore maiori . Quare patet Pro
334쪽
. Ergo diuidendo, portio minor AKC, erit ad triangulum ADC, ut excessus quadrati D, supra sesquialterum rectanguli GDL, ad ipsum sesequialterum rectanguli GDL. Componendo vero, portio maior ABC, erit ad idem triangulum, ut quadratum B D, cum sesquialtero rectanguli GD ad tale sesquialterum rectanguli G D F.
His praeostensis , facile adinveniemus centrum grauitatis cuiuslibet portioniscircuit: si enim inu niamus L , centrum grauitatis sectoris minoris A D K C, & O, ceutrum grauitatis trianguli ADC,& fiat ut excess is quadrati K D, supra sesquialterum rectanguli G D L, ad idem rectangulum; neminpe ut portio AkC, ad triangulum ADC, sic reciproce OL, ad LP a P, erit centrum grauitativpunionis AKC. Pariter si FO, sic diuidatur in Q, ut sitiscut quadratum BD, ad sesquialtenim rectanguli GDF, nempe ut sector maior, ad trian-
se centrum grauitatis portionis maioris ABC. Immo patet qualiter etiam possimus habere centrum grauitatis cuiuslibet segmenti circuli resecti duabus chordis parallelis. Cum enim segmentum tala aliud .
335쪽
aliud non si quam disserentia duarum portionum, di quidem circa eundem axim cum ipsis 3 patet excentris grauitatis ipsarum , licere adinvenire cen- rum grauitatis segmenei. .
O super basi, circa axim maioris portionis circuli fiat re Gaetulum, quodsimul cum portione M oluatur circa basim ipsius portionis. cylindrus ad sobrium ex portione, em liparasielepipedamsub quadrato axis portionis, os se uialtera interreptae inter centrum circuli, in cen-rrumgrauitatis siectoris, ad parallelepipedum sub quadrato semidiametri in interceptam inter centrum grauiarat , ω basim portionis, ina cum parastelepipedo sub eadem intercepta, ω sub rectangulo, cuius mnum lat- , A sit altitudo consectoris, aliud mera, sesequialtera iste ceptae
336쪽
-6 DE INFINITIS PARABOLIS ETΩcepta inter centrum circuis, ω centrum grauitatis se
Eixo ABC, quaelibet portio circuli maior, cuia
ius centrum E, L, centrum grauitatis, in vero centrumgravi tatis A si CE , sectoris,& E
sit sesquialtera E H Dico cylindrum ex parali logrammo sta circa AC, ad solidum ex portione ABC, circa AC, esse ut parallelepipedum sub quadrato BD, in E , ad factum sub quadrato BE, in L D, una cum parallelepipedo sub eadem DL, in rectangulum DEL. Nam ex schol. Pri. propost. 3. huius, ratio cylindri ad tale lalidum
componitur ex ratione parallologramrin F D, ad portionem ABC, S ex ratione BD, ad D LAportio autem constat ex sectore, & ex triangulos inueniendae ergo sunt rationes illius parallelogrammi ad sectorem Had triangulum, ut inde compendio sius eliciatur ratio parallelogrammi ad portionem. Ex schol. proposit. 6. lib. a. sector est aequalis rectangulo, cuius unum latus BE, aliud circumserentia A BP & cum rationes rectangulorum compOnantur ex rationibus laterum. Ergo ratio rectanguli FD, ad sectorem,componetur ex ratione DB, ad BE, & ex ratione AD, ad circumserentiam Aae Verum, quoniam ex supra ostensis, cum H, sit cen-uum grauitatis sectoris, est ut o D, ad circumferentiam ΔΒ, sic Ex, sesquialtera E H, ad EB . Ergo ratio rectanguli F D, ad sectorem, componetur LX
337쪽
ratione DB, ad BE, &ex ratione Eu, ad eandem E B ; nempe erit ad sectorem, ut rectangulum sub DB, Eh, ad quadratum EB. Pariter rectangulum FD, est ad triangulum AEC, ut BD, ad DE; nempe ut rectangulum sub DB, ΕΚ, ad rectangulum D E h. Ergo colligendo ambo consequentia , erit FD, ad portionem, ut rectangulum sub B D, E Κ, ad quadratum BE, cum rectangulo DEh. Fre ratio cylindri ex parallelogrammo FC, ad
solidum ex portione, ambobus reuolutis circa A QCOmponetur ex ratione rectanguli DB. E Κ, ad quadratum B E, cum rectangulo D E Κ, S ex ratione D B, ad D L. Erit ergo cylindrus ad illud Q. lidum veparallelepipedum, cuius basis quadratum D B, altitudo E Κ, ad parallelepipedum sub quadrato. BE, in D L, una cum parallelepipedo sub inrectangulum D Eh.
338쪽
r138 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
EY dictis facile possumus elicere, cylindrum ex parallelogrammo FC, circa FG , esse ad annulum strictum ex portione circa FG, ut idem antecedens, ad parallelepiρeda sub BL , in quadratum BE, &in rectangulum EE. Nam ex propyst, . huius, solidum ex portione circa AC, est ad solidum ex portione circa FG, ut D L, ad L B; nempe riparallelepipeda sub quadrato B E, & sub rectangulo D E k, & sub altitudineo L, ad parallelepipeda sub iisdem p qis,& sub L B. Eigo ex Hual patet pro-i positum . Notetur tamen in progressu praesentis proposit. probatum essis, rectangulum FD. esse Id portisenem, ut rectangulum DB, Es, ad quassi tum B E, cum rectangulo Ex quibus deducetur,totum rectangulum FC, esse ad fortionein, ut duplum rectangulum DB, ES; nempe vetriplum . rectangulum D B, E H, ad eadem consequentia . Vnde Iubtriplando terminos, erit idem parallelO- grammum ad eandem portionem, ut rectangulum D B, E ri, ad tertiam partem quadrati B E, cum di
Sed rationem cyl indri ex F C, ad selidum ex por- ione circa AC, possuntus aliter pmponere; nempo
339쪽
esse ut idem antecedens praesentis propositionis, ad parallelepipedum sub quadrato semidiametri B E, an H D, interceptam inter basim portionis, & centium grauitatiS sectoris, una cum parallelepipedo sub quadrato DE, altitudine coni,in dimidiam ΕΗ,
Interceptam inter centrum circuli, & centrum grauitatis sectoris. Haec vero ratio deducetur comparando cylindrum ex F C, ad solida ex sectore, & ex cono circa, A C. Nam ratio cylindri, ad solidum ex sectore Α Β C E, circa AC, componitur ex ra- tione recranstuli F P. ad sectorem s nempe ut notatum est in schol. anteced. ex ratione rectanguli BD, E K, ad quadratum B E, & ex ratione B D, ad DH. Ex istis vero rationibus componitur ratio parallel
pipedi sub quadrato D B, in E ad parallelepipedum sub quadiato BE, in H D. Ergo cylindrus erit ad solidum ex sectore in ratione praedici Pp a Ium
340쪽
3oo DE INFINITIS PARABOLIS EIQrum solidorum . Pariter iidem cylindrus , est ad Rhombum ex triangulo A ECH x A C, ut quin dratum BD, ad tertiana patiem quaerati D E; nempe ut solidum sub quadrato BD, in E K, ad solidum sub tertia parte quadrati P E, in E K, quod aequatur solido sub quadrato Diu in dimidiam EH. Ergo colligendo, cylindrus erit ad ambo selida, nempα ad solidum ex portione , circa AC, ut parallelepipedum sub quadrato OD, in Κ E, ad parallelepipedum sub quadrato BE, in HD, una cum paralleleis pipedo sub quadrato D E, in dimidIam EH. Notetur tamen in provella huius scholij,prob, tum esse cylindrum ex F C, ad solidum ex sectore circa A C, esse ut parallelepipedum sub quadrato BD, in Ela, ad parallelepipedum sub quadrato B E, in H D. Ex quo facile potest concludi, cylindrum ex codem parallelogrammocirca FG, esse ad solidum ex eodem sectore circa F G, ut idem antecedens,ad factum sub quadrato B E, in B H. Ex om nibus ergo dictis licuit animaduertere qualiter supposita circuli quadratura,dentur cubationeStruncorum omnium cylindricorum rectorum tam super portione AB C, quam super sectore ABCE, cono sueto modo resectorum .