De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

351쪽

LIBER αUARTUS.bet punctis L, Κ, P, R, lineis, vel planis L M, PS;k N, R V, B C, E F, parallelis, adeo ut sit ut B A, ad Α L, sic E D, ad D P; vel ut B A, ad A h, sic E D,

ad D R. Si quam proportionem habet segmentum L M C B, ad segmentum AM L, hanc eandem habeat segmentum P SFE, ar segmentum DS P; vel segmentum KN CB , sit ad segmentum ANI, ut segmentum REFU , ad segmentum. D V R, & sic semper, ubicumque plana, vel solida ducta suerint. Plana, vel solida A C B, DFE, di- nrur plana, vel solida proportionaliteranaloga in

352쪽

si1 DL GFINITIS PARABOLIS ETC.

PROPOSITIO I.

Si datis duabus Ieriebus continentibus antecedentia, ω caninsequentia quotcumque magnitudinum numero αqualium,

sint magnitudines primae seriei proporti vales singistatim

magnitudinibush cundae series, sintque omnia antecedentia prima seriei proportionalia cum omnibus antecedente bussecunde strict. Erunt collective omnia antecedentia

primae ei,ad omnia consequentia eiusdemseriei omnia antecedentia secundae seriei, ad omnia consequeotia eiusdem serieι.

SInt datae diice series continentes quotcumqn magnitudines ue in prima sint A, B, C, antecedentes, & D, E, F, consequentes; in secunda antecedentes sint G, H, Κ, consequentes L,M,N, sitque ut A, ad D, sic G, ad L; &vt B, ad Ε, sic H, ad M, &c. Pariter sit ut A, ad B, sic G, adH; & ut B, ad C, sic H, ad K. Dico colligendo, A, B, C, elli ad D, E, F, ut G, H, k, ad L, M, N. Quoniam enim ut A, ad B, sic G, ad H; erit componendo, H, cum B, ad B, ut G, cum H, ad H, vel conuertendo, & componendo, B, cum A, ad A, Vt Η, cum G, ad G. Cum vero sit A, ad D, ut G, ad L. Ergo ex aequali, erit ut B, cum Α, ad D, sic H, cum G, ad L. Pariter cum sit ut B, ad Ε, sic H, ad M. Ergo item ex aequali, erit ut A, cum B, ad E, sic G, cum H, ad M. Quare etiam

353쪽

f-J -Jicolligendo, erit ut A, cum B, ad D, cum E, sic G, cum H, ad L, cum M. Denub,cum sit ut A, cum B, ad B, sic G, cum H, ad H; &pariter sit ut B, ad C, sic H, ad h. Ergo ex aequali, M componendo,erit ut A, B, C, ad C, sic G, Η, Κ, ad h. Uel ex aequali, conuertendo, & componendo , ut C, B, A, ad B, A, sic k, H, G, ad H, G. At vi B, A, ad E, D, sic H, G, ad M, L. Ergo ut C, B, A, ad D, E, sic k, H, G, ad L, M. Pariter cum sit ut C, ad F, sic Κ, ad N. Ergo rursum ex aequali, erit ut A, B, C, ad F, sic G, H, k, ad N. Ergo denuo colligendo, erit A, B, C, ad D, E, F, ut RH, h, ad L, M, N. Quod erat ostendendum.

354쪽

PROPOSITIO IL

Sit mrγna series continens quotcumque continue proportioπales A, B, 6, ω sit alia series continens alias continue proportionales, D, E, F, G, H, Fc, quae sint numero ἀμ- μα magnitudinum primae seriei, sed sint in subduplicara proportione magniturinum primae seriei sit autem alia magnitudo L, quae ad A, B, fgr caeteras proportionalei

sint , vltima semper excepta, habeat eandem ratIovem quam numerus omnium p oportionalium adnumerum mtate minorem: item II, ad D, E, ω c. duabus συθ mis exceptis , babeat eaudem rationem quam numerus omnium proportionalium ad numerum minorem se bivario , Erat L, ad omnesproportionales primae seriei, mi M, ad OGnes proportionales secundaeseriei. di . . , . 'OVonia Vi enim, D, E, F, 8ccaeterae magnitudines secunda seriei sunt subduplicatae Inproportione cum magnitudiuibus A, B, G primae seriel f ergo erit 't A, ad B, sic D, ad F, &vt B, ad C, sic F, ad H. Pari et ut A, ad B, sic E, ad G, & G ad k Unde D, F, H, sicuti etiam E, G, k, erunt proportionales cum A, B, C. Erit ergo ut A, ad A, B, C, simul, sic tam D, ad D, F, H, simul, quam E, ad E,G, h, simul. Quare erit etiam vi Α, au A, B, C, timui, sic iD,& E, simul ad D, E, F, G, H, h, si xui. Eodem modo probabitur esse ut B, ad A, B, C, simul. siceta in F, ad D, F, H, simula quani G. ad

355쪽

I G, ad Ε,G, Κ, simul & pariter probabitur ut B, ad A, B, C, simul, sic ambas F, G, ad omnes. Quare probabitur etiam Vt Α,cum B,ad A, B, C; nempe omnes proportionales primae seriei,vltima excepta, ad omnes proportionaleS primae seriei,sic D,E, F, G,ad D, E, F, G, H, k; nempe omnes proportionalesaeeundae seriei duabus vltim is exceptis, ad omneS prinportionales eiusdem seriei. Vini metini L, ad A, B,

356쪽

3 i 6 DE INFINITII PARABOLIS ETC.

sit ex hypothes,ut numerus proportionalium primaestit ei adnumerum unitate minorem; & cum sit ut numerus proportionalium primae seriei ad mπΠerum Vnitate minorem, sic numerus proportionalium

secundae seriei ad numerum binario minorem sesteni mea hypothesi numerus proportionalium secundae seriei duplus nurneri proportionalium prima se-iiei & cum pariter sit ex hypothcsi, ut numerus proportionaliam secundae seriei ad numerum binario minorem, sic M, ad D, E, F, G. Ergo erit ut L, ad A, B, sic M, ad D, E, F, G. Sed etiam supra probatum est, es. A, B, ad A, B, C, ut D, E, F, G, ad D E, F, G, H, E. Ergo ex aequali, erit L, ad A, B, C, ut M, ad D, E, F, G, H, Κ. Quod erat

ostendendum-

PROPOSITIO III.

cylindrus circumsicri us cuilibet conoidi parabotico, ouius exponens sit numerus par, ea ad iseum, mi parasset grammum erreumscriptum parabolae, cuius exponens sit subduplus numeris nidis, ad imam parabolam, hoc tam secundum rarum, qua secundum parteή propo novales

Esto qu0dlibet conoides parabolicum ABC, cu-

ius exponens sit numcrus par , nempe sit vel quadraxicum, vel quadratoquadraticum, vel cubo- cubicum &c. cui sit circuri scriptus cylindrus E C; suppo

357쪽

supponatur autem ABC, esse etiam parabolam. cum sibi circumscripto parallelogrammo E C, cuius exponens sit subduplus exponetis numeri conoidis. U. g. si conoides sit quadrati cum pani bola sit lianearis. Si conOides sit quadratoquadraticum, parabola sit quadratica o Si conoides sit cubocubicum, parabola sit cubica, Sc. Dico cylindrum li C, esse ad conoides A B C, ut parallelogrammum E C, ad parabolam AB C. Pariter si diametri DB, in utraque figura se centur proportionaliter in F, adeo ut DB, ad BF, in conoide sit ut DB, ad BF, in parabola , & in connide ducatur planum G H, AC, parallelum, in parabola vero linea itidem AC, pa- uallela . Dico esse cylindrum AH, ad frustum.

358쪽

318 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. A E L C, ut parallelograminum A H, ad segmentum AhLC. idem intelligatur de alijs partibus

proportionalibus. Diametri DB, secentur proportionaliter in punctis F, M, 6ec. 8 per illa transeant in conoide, plana AC, parallela, in parabola vero lineae; &in cylindro intelligantur cylindri G O,N C, partes cylindri; in parallel*i mna O vero, parallelogramma ipsius partem. Itemus conoide intel

ligantur super hasibus EP cylindri h R, PS;

in parallelogrammoparallelogramma, ut in schema. te. Tunc . Quoniam in conoide ut potestas AD,

congruens conbidi ad similem potestatem P M, sic D B, ad B M; & v t D B, ad B MI in conoide, sic D B, ad B M , in parabola; & ut D B, ad B M, in

parabola, sic potestas AD, congruens parabolae ad similem potestatem P M. Ergo ut in conoide pol stas A D, ipsit congruens ad similem potestatemPM, sic in parabola potestas AD, ipsi congruens ad similem potestatem P M. At proportiones ρο- testatum conoidis sunt duplicatae potestatum parabolae; nempe exponentes potestatum conoidis tot vicibus continent binarium, quot vicibus e ponentes potestatum parabolae continent unitatem . Ergo&vt primae potestates conoidis ad se inuicem , sic primae potestates parabolae ad se inuicem; nempe ut quadro tum AD, scd NM, in concide ad qua- oratum P M, sic linea AD, seu NM, in parabola, ad PM. Quae usque modo dicta sunt conseruentur, quia licet

359쪽

LIBER AEVARTVS.

- licet certe teneamus haec viris geometris clara esse, attamen libet exemplo explicare quid per iuperiora intellexerimus . Exemplificetur autem in conoide cubocubico, & in parabola cubica. Quoniam enim evonen S, seu numerus conoidis cubocubici est s. exponens vero parabolae cubicae 3. & quoniam pr batum est esse ut cubocubus AD, seu NM, adcubocubum P M, sic in parabola cubus AD, seu NM, ad cubum P M. Frgo&subtriplicando prinportiones, illae proportiones subtriplicatae erunt aequales; nempe erit ut in conoide quadratum NM, ad quadratum P M, sic in parabola latus NM, ad latus P M. Sicuti enim proportio quadratorum est subtriplicata proportionis cubocuborm ,u sic pro portio

360쪽

.3.LO DE INFINITIS PARABOLIS ETC. portio laterum est subtriplicata proportionis cub

rum . Sed ad ipsam dena onstrationem redeamUS .

Scd ut quadratum N M, in conoide, ad quadratum P M, sic cylindi us N C, ad cylindrum P S: &vt NM, ad PM, in parabola, sic parallelogram-mum NC, Ad parallelogram illum PS. Ergo &vt cylindrus ad cylindrum, sic palaiklogrammum

ad parallelogrammum . Eodem modo cisten detur

cylindrum Go, esse ad cylindrum KR, ut parallelograminum GO, ad parallelogranimum k R. Idemque os underetur de omnibus alijs, si diametri in plures plurusque partes proportionales e 1sent sectae. Et cum sit ut cylindius AO, ad cylindrum NH, sic parallelogrammum ΑΟ, ad parallelogrammum NH. Ergo, exprima huius, ut Onanes cylindri antecedentes ad omnes cylindroS con sequendes, sic omnia paralla logramma antecedentia, ad omnia parallelogramma consequentia ue nempe

sic cylindrus GC, ad cylindros KR, PS, ut parallelogrammuan GC, ad parallelogramma k R, PS.

. mautem sit etiam cylindius EC, ad cylindrum GC, ut parallelogrammum E C, ad parallelogrammum GC. Ergo ex aequali,cylindrus E C, erit ad omnes cylindios in conoide inscriptoS, ut parallelogrammum ad omnia parallelogramma in parabola insciipta. Facile autem probabitur modo Archum edeo, esse cylindrum ad conoides, ut parallel grammum ad parabolam: quia in conoide inscribetur solidum constans ex cylindris sibi superimposuis