장음표시 사용
361쪽
deficiens a conoide desectu quocumque dato minori r pariter in paraboIa possunt inscribi parallelogramma deficientia a parabola defectu minori qua- Cumque magnitudine data . Quare per deducti nem ad impossibile concludetur propositum. Cum autem haec sint nimis Geometris familiaria,& nimis viris Euclideis, & Archimedeis obuia , & cum huius deductionis ad impossibile sint nonnulla exempla in secundo libro, ideo propter tedij ablationem, exindustria relinquuntur.
Non dissimili Methodo patebit,quamlibet partem cylindri circumscripti conoidi, esse ad partem conoidis, quam includit, ut quaelibet pars parallelogrammi circumscripti parabolae, ad portionem ip-s s sius,
362쪽
31x DE INPINITII PARABOLIS ET .sius, quam includit, dum tamen antecedentia sint proportionalia suis consequentibus. Quare probatum est,quod probandum erat. Notandum tamen est, cum hoc etiam probatum esse per conuersionem rationis, excessum cylindri supra conoides, esse ad ipsum tam secundum totum, quam secundum partes sicuti ex flus parallelogrammi supra parabolam adiptam.
Ex dictis facile eliciemus talia conoidea esse magnitudines proportionaliter analogas cum ipsis parabolis, iuxta sensum definitionis prius tradit tam
secundum totum quam secundum partes proportionales . Nam cum sit v. g. conuertendo, segmentum
conoidis AEL C, ad cylindrum CC, ut segmentum parabolae AKL C, ad parallelogrammum GC: & cum ut cylindrus AH, ad cylindrum HE, sic parallelograminum AH, ad parallelogrammum HE: & pariter cum sit cylindrus ΕΗ, ad conoideSkBL, ut parallelograminum E H, ad parabolam k B L. Ergo ex aequali, erit segmentum conoidis AEL C, ad conoides ad verticem kBL, ut segmentum parabola: AkLC, ad parabolam ad verticem kBL. Eodem modo probabitur excessum cylindri supra conoides , esse magnitudinem proportionaliter analogam cum excessu parallelogrammi lupra parabolam,tam secundum totum, quam secundum partes proportionales.
363쪽
Etiam ergo ex dictis in hac promutione, patet qualiter habeamus non modo rationem cylindr xum circumscriptorum conoidibus parabolicis,quorum exponenteS sint pares, ad ipsa conoidea, sed etiam rationem cylindrorum circumscriptorum frustis eorum, plano basi parallelo resectorum. Nam ex dictis in primo lib. proposit. pri. & 8. habemuS quadraturas infinitarum parabolarum , & rationem, quam habet in qualibet parabola parallelogram-mum circumscriptum segmento parabolae resectae linea basi parallela , ad ipsum segmentum. Erit ergo Ss a cylin-
364쪽
3Σ DE INFINITII PARABOLIS ETC.
cylindrus ad primum conoides par, nempe ad quadraticum, ut A. ad i. Ad seeundum, nempe ad quadratoq adraticum,ut s. ad 2. Ad tertium, nempe adci bocubicum vi q. ad 3. Et sic in infinitum. Nempe cylindrus est ad conoides tale, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum , ad dimidium numeri cono idis. Ru e concordant cum di ctis in ultima proposit. a. libri huius, ut experienti patebit,quia eadem cst ratio praedicta cum ratione 'ibidem assignata; nempe, quam habet numerus condidis uctus binario ad numerum conoidis. Hister eri i P g. cylindrus GC, ad segmentum conoidis AEL C, ut magnitudo , quae ad AD, TF, & Ateras tot continuE in harum proportione, vinum erus earum aequetur numero parabolae, sit ut numenis parabolae Unitate auctus ad numerum parabolae, aes A D, k F,& caeteras tot continue proportionales, Ut earum numeruS excedat numerum parabolae unitate. Nam
sic ex proposit. 8. lib. prim . est parallelogrammum A H , ad segmentum parabolae A Κ L C. Et haec concordant cum dictis in scholio a. proposit. vltimae 1. libri. Nam cadet mest ratio hic assignata, cum ratione ibidem assignata Eandem enim rationem in parabola habet magnitudo, quae ad AD, Κ F, &caeteras tot proportionales quotus est numerus parabol e sit ut 'numerus parabolae, unitate auctus adnumerum parabolae, ad AD, EF, & caeteras tot proportionales quotus est numeruS parabolae unitDie auctus, quam habeat in conoide, cujus exponens
365쪽
LIBER VORTUS. , . 3M sit duplus exponentiS parabolae, magnitudo, quae ad
AD, EF, &caeteras tot proportionales quotus est numerus conoaeis, sit ut nummus conoidis unitate auctus ad numerum conoidis, ad A D, EF, & caeteras tot proportionaleS ut numerus earum excedat numerum conoidis binario. Quod patet ex proposit. a. huiuS-
Cylindrusi eircumsicriptius cuilibet in nitorum conicorum , en adisum, utparuaelogrammumvircumsiriptum rit neo, Hilus eMponens sit dupωυxponentis omo, ad Esem, tam secundum totum, quam secvnsim partes pr Portiouales . A
Esto quodlibet infinitorum triIineorum A B D,
ει cuius reuolutione circa diamorsum; BD, siportus conicus A SC, cui sit circumscriptas cylindrus EC: item supponamus ABD - aliud esse trilineum, cuius exponens sit duplus exponentis contei ABC, sitque. ei icircumscriptum parassetin grammum E D. Affero cylindrum E C , esse ad: conicum ABC, ut parallelograminum ED, ad trilineum ABD, & hoc tam secundum totum , quam secundum partes proportionales,. hixta explicata in antecedenti proposit. .. ir, Diametri BD, secentur proportionesiter ire
366쪽
3 16 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
quibuslibet punctis F, G, &c. ω per illa transeant in conico, & cylindro,plana H FM LGM, plano ADC, parallelas in trilineo vero , luparallelogrammo, HL LG, basi AC, parallelae. In conico autem intelligantur findri No, Pinscripti; in trilineo vero parallelogramma N G, PD, pariter ipsi inscripta . Tune. Quoniam BD, sectae supponuntur proportionaliter in G; ergo ut DB, ad BG, ini conico, sic DB, ad BG, in trilineo. Quare & in trilineo, ut potestas DB, eiusdem gradus eum trilineo adsimilem potestatem BG, sic
367쪽
LIBER βVARτο. 327fie in Gnim similis potestas DB, ad similem potestatem RG. 'evi potestas DB, in trilineo eiusdem cum ipso gradu ,' ad similem potestatem B G,
sic ex natura parabolarum, & trilineorum, linea
AD, ad lineam PGι & pariter ut in conico p testas D B, eiusdem gradus cum potestate trilinei A B D i ad similem potestatem B G, sic in conico quadratum AD, ad quadratum P G nam potestas in conico haec DB, ad BG, supponitur duplicata potestatis DB, eiusdem gladu, conici, ad similem potestatem BG: cumque sit ut potestas
D B, : eiusdem gradus conici ad cmilem potestatem BG, sic AD, ad PG. Erit etiam ut potestas DB, gradus duplicati ipsius conici, ad similem potestatem B G, sic quadratum A D, ad quadratum PG. Ergo ut in trilineo, A E, seu LG, ad PG;
seu ut parallelogrammum L D, ad parallelogram-mum P P, sic in conico , quadratum AD, seu
quadratum L G, ad quadratum PG; seu cyli drus UC, acycylindrum PQ. Quae usque modo dicta sunt, patent ex exemplificatis in ante. propos. Eodem modo probabitur cylindrum H M, esse ad cylindrum No, ut parallelogrammum HG, ad p
rallelogrammum N G. Et eodem modo probaretur in omnibus alijs. Quare etiam ad modum antecede iis proposition is concludetur, cylindrum EC, eise ad conicum ABC, ut parallelogrammum E D, ad trilineum ABD, & hoc tam secundum totum,quam secundum partes proportionales.
368쪽
Ergo & per conuersonem rationis,erit cylindrus EC, ad annulum strictum ortum ex reuolutione semiparabolae E BA, reuolutae circa BD, ut parallelogrammum ED, ad semiparabolam EBA, & hoc tam secundum totum,quam secundum partes proportionaleS.sCHG
369쪽
Patet ergo ex dictis, conicos praedictos esse magnitudines proportionaliter analogas cum supradictis trilineis. Item praedictos annulos strictos ortos ex reuolutione semiparabolarum circa ipsas tangentes in vertice, esse magnitudines proportional, ter analogas cum praedictis parabolis.
Patet etiam quomodo ex hac proposit. non modo habeamus rationem cylindrorum circumscriptorum infinitis conicis, & infinitis annulis praedictis, ad ipsos. sed etiam rationem cylindrorum circum scriptorum omnibus frustis praedictorum solidorum resectorum planis basi parallelis, ad ipsa. Sed haec sunt diligentius explicanda. . Habemus ergo in primis rationem cylindrorum circumscriptorum infinitis conicis, ad ipsos. Nam ex dictis in propo fit .pri. lib. pri. habemus quadraturas infinitorum trilincorum ; nimirum quod paralle' logramma ipsis circumscripta, sint ad ipsa ut numerus rri linei unitate auctus, ad unitatem. Ergo&cylindrus circumscriptus cuilibet conico, erit ad ip sum, ut numerus trilinei, cui: s exponens sit duplus exponentis conici unitate auctis, nempe ut duplus numerus conici unitate auctus, ad unitatem. Quae
370쪽
33o DE INFINITII PARABOLIS ETC.
eoneordant cum dictis in schol. 3. proposit. Iq. secundi libri. Habemus secundo rationem cyl in drorum circum scriptorum infinitis frustis conicis resectis plano basi parallelo. Nam ex proposit. s. pri. lib. habemus, parallelogrammum L D, circumscriptum cuilibet trapezio AP GD, esse ad ipsum, ut DB, acce pia secundum numerum trilinei unitate auctum, ad eandem DB, &ad G B, diametrum trilinei ad
Uerticem , una cum tot caeteris harum continue prO- Portionalibus , Ut numerus omnium excedat num rum