장음표시 사용
371쪽
rum trilinei unitate. Quae concordant cum dictis in schol. 3. proposit. 14. a. lib. In hoc enim scholio ostenditur cylindrum circumscriptum frusto conico, esse ad ipsum, Ut tot diametri conici,cuius est
frustum, ut earum numerus accipiatur secundum duplum numerum conici unitate auctum, ad tot continue proportionales quot sunt tales diametri, &quarum prima maior sit diameter DB, secunda diameter GB, nempe diameter conici ad ver
Habemus tertio rationem, quam habet cylindrus EC, ad annulos strictos infinitos ex semiparabolis EB A, circa BD, genitos. Nam ex proposita r. lib. 1. habemus parallelogrammum E D, esse ad semiparabolam EBA, Vt numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae: cumque numerus parabolia supponatur duplus numeri annuli, sicutici iam numerus trilinei supponitur duplus numeri conici; erit parallelogrammum ED, ad semiparabolam EBA, ut duplus nunierus conici, seu annuli unitate auctus,ad duplum numerum conici, seu annuli. Ergo & cylindrus EC, erit ad praedictum annulum ex EB Α, circa BD, Vt duplus numerus conici, si v annuli unitate auctus ad duplum nu. merum annuli: nempe ut numerus annuli auctus dimidia unitate ad numerum annuli. Quae concordant eum d ictis in sec. parte prop. Iq. sec. lib ri. Habemus q. rationem, quam habet v. g. cylin-dius H C, ad frustum annuli ex portione HN A,
372쪽
331 DE INFIMS PARABOLIS ETC. reuoluta circa B D. Ratio est, quia cum habeamus ex proposit ' pri .lib. per conuersionem rationis, rationem parallelogrammi H D, ad portionem parabolae H NA; nempe quod sit ut DB, accepta
secundum numerum trilinei, seu parabolae unitate auctum, ad excelsum ipsius supra D B, B F, & caeteras tot proportionaleS ut pariter earum numerus excedat numerum trilinei unitate; erit etiam cylindrus H C, ad praedictum annulum in eadem ratio. ne : nempe erit in conico ut tot D B, quotus est duplus numerus conici unitate auctus, ad excessum ipsarum supra D B, B F, & caeteras tot proportio. nales quot sunt ipsie. Quae concordant cum schol. 4. proposit. Iq. lib. 2. arguendo per conuersionem
Habemus quinto rationem cuiuslibet cylindri intermedij HM, ad annulum latum ex segmento intermedio HNPL, circa BD. Quia ex pro- possit. ia. prim. huius , habemus rationem parallelogrammi HG, in parabola, ad segmentum H PL.
Haec autem cum sit eadem cum ea, quam habet DB, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad excelsum ipsius supra tot numero propor tionales in rationem G B, ad BF, quarum prima maxima, sit ultima minima proportionis DB, ad B G, continuatae i n tot terminOS,Vt numerus eorum excedat numerum parabolae unitate 3 erit etiam cylindrus H M, ad annulum latum ex segmento
HNPL, circa BD, ut DB, accepta secundum duplum
373쪽
duplum numerum annuli unitate auctum, ad excessum ipsius supra tot numero proportionales in rati ne G B, ad BF, in conico , quarum maxima sit minima proportionis DB, ad BG, continuatae in tot terminOS, ut numerus eorum sit duplus valit te auctus numeri conici, seu annuli. Habemus sexto rationem cylindri Eh, ad annulum strictum ex segmento EB NH, circa BD. Nam cum ex proposit. IO. prim. sit parallelogramnium EF, ad segmentum ad diametrum EB NH, ut DB, accepta secundum numerum parabolae Fn, tale
374쪽
334 DE IMINITIS PARABOLIS ETC.
tate auctum, excessum ipsius supra ultimam minorem proportionalem proportionis DB, ad BF, comtinuatae in tot terminos, ut numerus eorum excedat numerui, parabolae unitate, ergo etiam cylindrus ΕΚ, era ad praedictum annulum, ut DB, accepta secundum duplum numerum conici, seu annuli unitate aucrum, ad excessum ipsius supra ultimam minorem proportionalem proportionis D B, ad B F,
continuatae in tot terminos ut numerus eorum
sit duplus unitate auctus numeri conici , seu annuli,
Sed non dilum ea , quaeisque moth dicta sunt verificanam, sed etiam, ex dictis, assa pbstini colligi; nem Mi non modo eandem esse rationem cylindri EC, ad annulum strictum ex semiparabola EBA, circa B D, reuoluta, cum ratione parallelogrammi ED, ad semiparabolam EB A, cujus exponenS siit duplus exponentis prioris semiparabolae, & hoc tam secundum totum, quam secundum partes propo tionales ; verum etiam completis integris paraboliS,N duplicatis trilineis, parallelogrammis, conicis,&caei. eandem esse rationem sui manifeste patet parallelogrammi ad duos trilineos, tam secundum totum, quam secundum partes proportionales, aCcylindri, ad duos conicos. Item, eandem esse rationem parallelogrammi ad integram parabolam
375쪽
tam secundum totum, quam secundum partes propori torra S, ac totius cylindri ad annuit m stlictum ex tota parabola: & consequenter tam tonim annulum esseni agni tudinem proportionaliter analogam Ctim tota paraboΙa, quam duos conicos invebe positos , esse magnitudines proportionaliter analcgas
cum diu bus trilineis itidem inuet se positis. Ex quibu8. Habemus primo, quod si diuisis SD, proportionaliter in G, & in cylindro ducto plano LGM, A DC, parallelo , in parallelogram mo vero ducta LG, AD, parallela : habebimus rationem cylindriRM , ad annulum strictum ex maiori portione R BPL, reuoluta circa SD. Nam ex proposit. I 3. lib. r. facile deducemus, cylindrum RM, esse ad praedictum annulum, ut S G, accepta secundum
duplum numerum annuli unitate auctum, ad SG, acceptam secundum duplum numerum annuli, Una cum excessu BG, supra ultimam minore Opi Oportionalem proportionis S B, ad BG, continuat , in tot
terminoS, ut eorum numerus excedat duplum numerum annuli binario. Patet, quia loco citato probatum est, parallelogram oum RG, esse ad porti nem maiorem parabolae R BP L, ut S G, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad SG, acceptam secundum numerum parabolae, una cum excessu B G, supra ultimam minorem proportionalem proportionis ad B G, continuatae
376쪽
sis Da INFINITIS PARABOLIS Erc.
in tot terminos, ut numerus eorum excedat numerum parabolae binario .
Habemus secundo, quod si ductis plano ITVM di linea ITU, parallelis ut supra, secantibus p rirer SD, proportionaliter in V; habebimus rationem cylindri IM, ad annulum strictrum ex segmento IT B P L , .reuoluto circa S D. Haec autem sic obtinebitur. Fiat vi VB, ad BG, sic ΝΒ, ad F; ratio verb SB, ad BU, continuetur in
377쪽
tot terminos ut numerus eorum excedat duplum numerum annuli unitate, sitque ultimus minimus ter- . minus H. Eodem modo continuetur ratio DB, ad
BG, sitque ultimus minimus terminus N. Tanisdem fiat ut tot S B, quotus est duplus numerus an is nuti unitate auctus, ad excessum ipsarum supra N, sic F, accepta secundum duplum numerum annuli unitate auctum, ad O. Ex proposit. νε, lib prim. haurietur , esse cylindrum IM, ad praedictum segmentum annuli, quod includit, ut F, climSB, acceptis ambabus secundum duplum numerum ann li unitate auctum, ad O , una cum excessu tot SB, quotus est duplus numerus annuli unitate auctus supra H.
Sed hic libet lectori considerandum proponere accidens quodam circa hqc solida contingens, quod utique nobis videtur admirabile, & consideratione dignum. Non est dissicultas, quod quot sunt parabolae, tot sunt &trilinea,& conoidea, & conici: Velut melius fortassis loquamur, cuilibet parabolae, comrespondent suum conoides, suum trilineum , & sius conicus. Quapropter, cum ad mensuranda infin in concidea, adhibitae sint ipsemet infinitae parabolae, quae tot sunt, quot sunt ipsa conoidea ; utique ex analogia infinitarum parabolarum, nempe ex proportione parallelogrammi circumscripti infinitis V u para-
378쪽
3 8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
priabolis ad ipsas, videtur conueniens esse colligere proportionem cylindri circumscripti omnibus cono idibus parabolicis, ad ipsa cono idea. Quod a tamen ex superioribus patuit haud verificari. Nam ex proportione parallelogrammi ad infinitas parabolas, non elicimus nasi proportionem cylindrorum
ad Omnia conoidea, quorum exponentes sint numeri pares et ad eout inter quaelibet duo conoidca, quorum analogia assignatur, mediet conoides. Verum enim Veroquamuis eodem modo se videantur haberi infinitae parabolae respectu infinitorum conoi deorum, scuti infinita trilinea respectu infinitorum conicorum, quia ex reuolutione infinitarum parabolarum,& infinitorum trilineorum oriuntur infinita conoidea , & infiniti conici; attamen non eodem modo ex
proportione parallelogrammi ad plana , elicimus analogiam proportionis cylindri ad solida. Nam ex proportione omnium parallelogrammorum ad i nfinitas parabolas, non eolligimus nisi rationem cylindrorum ad aliqua cono idea; in praesenti vero proposit, ex proportione parallelogrammorum ad aliqua
tantum trilinea, nempe ad ea, quorum exponenteS
sunt numeri pares, elicimus analogiam proportionis infinitorum cylindrorum ad infinitos conicoS. At quod usque modo videbatur admirabile, videbitur admirabilius, si consideretur hanc diuerstatem reperiri etiam in solidis genitis ex reuolutionibus diuersis earundem numero figurarum. Nam ex infinitis parabolis rotatis circa diametros, generantur infinita
379쪽
finita conoidea ; ex ijsdem vero rotatis curra ipsas in vertice tangentes, oriuntur in si iti an miti 1 naModo si adhibeamus proportionem, quae rupe tu et inter parallelogramma & infinitas parabolas . n npossumus assignare nisi rationem cylindrorum ad conoidea, quorum exponenteS lint numeri pares.' at vice versa, adhibendo proportionem, quae reperitur inter parallelogramma, & parabolas, quarum exponentes sint numeri pares, elicimus proportionem
cylindrorum ad infinitos annulos praedicto, . Sed haec & smilia, sunt de numero illorum mirabilium, de quibus loquitur Galileus in postremis Dialogis . Diat. p. pag. apud nos, a q.
Initio huiusce operis, supposuimus infinitarum parabolarum quadraturam assignatam a Caualerio per indiuisibilia. Reliqua omnia,usque modo ossen- fa, methodo antiquorum processere. Sed ex usque modo dictis, possumus deducere, methodo antiquorum, quadraturam omnium illarum parabolarum, quartam exponentes constituunt progressionem di plam,ab voitate inclusiue, incipientem: nempe, quarum exponenteS sunt I. a. q. 8. r6. 3 a. Sc. Quod sic patebit. Nam parabolas, quarum exponenteS sunt I.& a. nempe triangulum & parabolam qu draticam, more antiquorum quadrari, etiam modice ita geometria versatis, patet. De aliis sic pat U u a bit.
380쪽
3 o DE INFINITIS PARABOLIS ETC. bit. Data parabolae quadraticae quadratura, habet ratio cylindri circumscripti conico quadratico adipsum. Habita hac, habeturetiam ratio parallelogrammi ex proposit. antec. circumscripti trilineo quadratoquadratico, cuius exponens q. ad ipsum. Hac obtenta, obtinetur etiam ratio cylindri circumscripti conico ex ipso, ad ipsum conicum. Ex hac deducitur ratio parallelogrammi circumscripti trilineo, cuius exponens s. ad ipsum. Et consequenter ratio cylindri ad conicum. Ex qua ratione hauritur ratio parallelogi ammi ad trilineum, cuius exponens IG. Et sie in infinitum.
Si parabolae quariaticae sit circumfraptum parastelogrammum, quod cum i a secetur duabus lineis basiparastelis,
aequaliter dictantibus, ina a meraue, altera a basi. Rectangulum contentum sub partibus et ius resectae a cumua parabolica,erit aequale quadrato dimidiae alterius ordia natim applicata ad diametrum parabolae.
Hoc idem ostenditura nobis in nostro libello
enetijs impris , cuius titulus. Sexaginta problemata Geometrica, in appendice pro indiuisibilibus. Sitolgo parabola quadratica BAC, cui sit citcumscriptum parallelogrammum ΗC, quod
cum parabola sit sectum duabus DG, kN, ipsi BC, parallelis, tali lege, ut AF, MO sint aequa