장음표시 사용
101쪽
puncto G eongruet, non autem ipsi centro frauitatis C: congruentium ergo grauium A B , D E non congruunt cenua C. D Quo Achadis dum persextam posviatum.
Per centrum totius, & centrum adierius partium acta linea it per ce Irum reliquae partis. SIt centrum totius C; centra partium A&B,& coniugatur AC: Aio quod AC
producta it per centru B; relinqua--.- Qtur enim, ii possibile est centrum B extra tineam AC indcfinitum productam, de eoningatur A B , eritque centrum i ilus C extra lineam A B coniungenteis centra partium t Quod cum impossibile sit, per praecedentem , astruitur iam id, quod proponitur demonstrandum.
Si centra quotcumque grauium sint in una recta linea: Centrum aggregati ex om' sillis grauFbus unquam unius erit In eadem recta.
i linea ficta C IJ quod sit Focnsim centrum .aggregati ex his quatuor eritpereaMeml in litisa recta E F, quod sit C: & perinde in ipsa linea, in qua sinat centra A, B, C, D:
queinadmoduni proponitur demonstrandum.' t. - . z. . a
i dum plano: Dicolauod iant ruri aggrati ex 'em plano: Di quod ent ruinaggrati ex his erit in eodem planor conrithsantur chim AB.C D : erunt' ἔρρε 6. huius. centriini totius A B in te--ncta A B ipioii sit Et ceἀitam totius C D ;n recta - CD quod sit Fr Coniungatur item E F, eritqueper ε centriin aggregatim A,B C, D in recta EF quod sit G; cumque A B CD rectae sint,per hyphthes di, in uno sano, erit α EF in eodem plano: &ydn-
102쪽
DE. MOMENTIS AEQVALIBUS LIB- I.
ctum G similiter in eodem: Atque id idem ostendemus de quotcunq; grauibus, qu rum centra in eodem plano locata sint; sicut proponitur demonstrandum.
.. . PROPOSITIO X. Grauia a communi centro siispensa aequeponderant.
Hoc est partes graues a centro totius aequeponderant: visi sint duo pondera A, B, quorum centra A,B, quae coniungat recta AB: sitque'ry..hatms Inuenditum, se re 6. in linea AB cadens ipsorum A, B ponderum tanquam unius pun, um
C centrum: Aio quod A,B grauia suspensa a puncto C aeque ponderant. aeque ponderent eni si possibile est ab alio qua C puncto,quod sit D: quoninm itaque A , B grauia aeque ponderant a pun
D, aequedi stabit pre diffinitio-em linea A B horizomi, itaque C totius grauis A B centrum, neque in puncto D suia Pensionis, neque in perpendiculari ab Ipso D puncto ad horthontem existit: quod per a. butiis , est impossibile: Grauia Us tur A, B non ab alio quam a C puncto aeque ponderant: &hoc tuit demonstrandum. Similiter.&plura quam duo,"cumque grauia ab omnium tanquam unius communi centro aeque ponderare demonstrabuntur: siue centra eorum sint in una rom,per 8. huius. siue in eodem plano per ρ. Talis enim recta, siue tale planum simili-- imati iniuidi stare demonstrabituri sicut proponitur demonstrandum.
Grauia aequὰ ponderantia pendent a communi centro suspensa.
Hoc est partes aequiponderantes pendent suspensae a centro totius visi duo pomis dera A,B, quoru centra A, B per lineam A B contuma aeque ponderent a puncto C. Aio quod C punctum est centrum grauitatis totius A B. Sit enim, si possibile . est, centrum totius AB aliud quam C punctum, quod sit D. Itaque per praecedentem, A, Bgrauia aeque ponderabunt a puncto D communi centro: supponutur vero aequeis ponderare a puncto C: Quod est absurdum. Vel sic,quoniam grauia A,B,a puncto Caequi ponderant,& Dcentrum est totius AB: Iam centrum grauitatis neque in puncto suspensionis C, neq;. in linea ab ipsis C ad horizontem perpendiculari existiti sed hoc per x. huius. est impossibile: Non est igitur centrum grauitatis ipsorum A, B aliud, qua C punctum: Quod est propositum: Similiter si plura. quam duo, grauia ab aliquo piiseto suspensa aequiponderent,siue centra eorum sint in una recta per 8. siue in un. plano, per s. demonstrabimus punctum illud esse centrum grauitatis omnium suspens rum tanquam unius: sicut proponit demonstrandum.
103쪽
ARCHIM. EX MAUROLIC. PROPOSITIO XII. Si duo grauia duobus grauibus singula singulis aequalia, & in eodem in
teruallo posita sint: horum distantiae a centro communi illorum distant ijs a centro singulae singulis aequales erunt.
SInt duo grauia , quorum centra A, B, di commune centrum C. Item duo grauia. quorum centra D, E, & commune amborum centrum F; sitque linea A B aequalis lineae D E,& graue A aequale graui D, atque graue B aequale graui E: Aio quod lunea A C lineae D F, & linea B Clineae E F aequalis erit: hoc est,quod lineaeA B . DE in punctis C, F ita secantur ut portiones aequis grauibusco terminae sint aequales: Nam si D F non sit aequalis lineae A C,sit, si possibile est,ipsi A C aequalis D ta unde & G E supererit ipsi B C aequalis,cum autem C sit centrum totius AB iam per x. horas grauia , A, B aequeponderant a puncto C: Cumq; grauia D. E grauibus A, B lingula singulis aequalia sint, &ad spatia D G, G E ipsis A C,C B aequali rgrauia D E a pun-ieto G suspensa aeque ponderabunt. Duo go grauia aequeponderant ab alio, quam communi centro : quot est impossibile per pracedensem. Quare omnino DF ipsi AC,& perinde FE ipii CBχqualis 'ehie. Quod er1t demonstrandum.
Si duo grauia a pum to quodam aequε ponderent, & duo alia grauia,ad eadem spatia illorum aggregato aequale: erunt,& singula singulis aequalia.
Vo grauia A,B aequEponderent a puncto C: Item duo alia grauia D E,& F aequEae ponderent a puncto G, ita ut spatium D G spatio AC, atque spatium GF spatio C B sit aequaler & aggregatum gra- uium D E & F sit ς quale aggregato gra- uium A,B. Dico quod graue DE aequa-
Ie erit graui A. atq; graue F aequale erit graui B: Nam si graue D E non sit aequale graui A, sit ipsorum alterum maiuS, ut .
DE, ponaturq; ipsi A aequale D,& resi- Ο duo E, aequale sit H,quod addatur ipsi F; di Sie enim F H totum aequale erit ipsi B.
cumque A, B aequeponderent ad spatia . AC, CB ipsis DG, GF singula singulis aequalia. Iam per a. postviatum . duo pondera D, & F H aequeponderabunt ad spatia D G, GF: Igitur duo ponder. DE,&Fper 3. o 4.postulat ην. non aequale pono rabunt
104쪽
rabunt ad eadem spatia DGMF: Quod est contra hypothesim: Superest ergo ut omnino graue DE sit aequale graui A, & perinde graue F aequale graui B im- pr
PROPOSIΤΙΟ, XIV. Si duorum grauium centra distent a centro communi ijs spatiis , quihus
&aliorum duorum grauium centra distenta centro communi, .
sitq; horum aggregatum illorum aggregato aequale: ' iErunt,&singula singulis aequalia.
D grauia A, B, quorum centra A, B, centrum commune C. Itemduo grauia D, E, quorum centra D,E,centrum minune F, distantia A adistantiae D F, α distantia CR distantiae F E sit aequalis; Item taggregatum ex grauibus A,B aggregato ex grauibus D, E sit quale. Aio quod & graue Agraui D. & graue B graui Esquale erit:
Nam cum centrum communegrauium A, B sit C, atq; centrum commune grauium D,Est F. Iam per x. ias, grauia A,B aroue p5derabunt a puncto C;&grauia D. EequhPonderabunt a puncto Fr cumque haec illis ad eadem spatia aeque penderent i sitq; h rum aggregarum illorum aggregato aequa- Ie r Ev tperracedentem A,B grauia ip-D, Proponitur cad eadem spatia aeque penderent i sitq; h rum aggregarum illorum aggregato a ua- Ie : Eruant per Macedentem A,B grauia ip-αEgrauibussi,gaea singulis aequaliae: sicum
PROPOςITIO XV. Si duorum grauium centra distent λ centro communi, siue a centro squi-' librij ijs spatijs,quibus,& aliorum duorum grauium centra distant
a centro communi , siue centro aequilibrij: sitque horum, i i a
alterum illorum alteri correlativo aequale erit, VFVM reliquum reliqyo aequale. iSInt eadem, quae in pendenti, ut scilicet spatia spatijs, singula singulis sint aequaliadi
& unum ex illis grauibus ut puta A aequale se uni ex his grauibus sibi respondζ-ti scilicet D. Aio quod & reliquum graue nreliquo iuraui E aequale erit: Nam si grauiae B, Enosis aequaIia, sit eorum alterum Utp ta B maius;& ipsi Eadijciatur graue G, ut totum E G graue aequale sit ipsi B graui. Itaqi quoniam duo grauia A,B aequeponderabunt ad spatia A GC Bdi &duo alia D, & E Gillis aequalia singula singulis ad eadem spatia pe- dent et aequeponderabuntper gravia D. & E G ad spatia D F, F E: Igiturper . . iassi si auferatur G ab ipso graui E G, reliquum graue D deorsam fetetur; ipsumq; EDisitiroci by Ora
105쪽
sirsum: Non aequeponderabunt igitur D. E pondera ad spatia DF, FE: Quod est ieontra hypothesim: Astruuiar ergo propositum.
Centra grauium aequalium aequaliter distant communi coeuto. t 'Hinest ceriba pistium aequatium aequaliter distenta centro totius. Visi sint guo
grauia aequalia A, quorum eehtra A,B,& quorum tanquam unius commune centrum C. Aio quod spatia AC, CB sunt aequalia. Sint enim duo grauia D, E ipsis A, B grauibus aequalia, quorum centra D, E, & quorum tamquam unius commune centrum F; siqne linea D E lineae A B aequalis: rursum sint duo grauia G, Hpraedictis aequalia, quorum centra G,Η, & quorum tanquam unius commune centra Κ, & linea G H lineae D E aequalis; Sitque utrumque grauium G, H utrit grauium D, E simile, & aequale, similiterq; positum, itaut coaptatis lineis D E,G H, hoc est congruentibus grauitatum centris D, G: necno congruentibus grauitatum centris E , H; congruant grauia D. G, itemq; congruant tgrauia E, H; & vicissim commutatis centris, hoe est coaptatis centris D, H simul, cenistrisque E, G simul, ut cogruant rursum grauia D,H, de deinde grauia E, G: Itaque fiet per6. postulatum ut coaptatis grauibus con- , gruant semper centra F, Κ: motam a. Eu prima coaptatione linea GK coSruet lineae . tu i DF; & in secunda coaptatione linea GK congruet lineae FE, & perinde aequale erunt lineae D F, F E, ut quae mensurentur ab eaqmbue i Et similiter lineae G K,ΚHaequales erunt : Verum per c grauia A, B aequepondierant a puncto C; & Grauia D. E aequeponderant a puncto F,& haec illis siogula singulis aequalia, & ad idem . interuallum A B, I E postat igitur per x es. huias horum centra a communi centi O,& illorum centra a communi centro ad easdem absunt distantias, hoe est linea AC
aequalis ipsi D F. & linea C B aequalis ipsi FE: sed aequales fuerunt D F, F E: Igitur &aequales eruat AC, CB: Quod fuit demonstrandum. 4 .
Grauia aequalia, & aeque ponderantia pendent ab aequalibus spatijs. .
SInt duo grauia aequalia A, B aequeponderatia a puncto C: Aio quod ipsa A C, C B spatia
1unt aequalia: Nam cum A, B grauia aeque ponderent a puncto C, ipsum C punctum per ii. huius, erit centrum grauitatis commune grauium A, B; . ia mIgitur per praecedotem, ipsa spatia A C, C B aequalia sunt: Et hoe proponitur demon
106쪽
DE. MOMENTIS AELEALIBUS LIB. I. PROPOSITIO XVIII. 'Gravia aequalia ab aequalibus spatijs pendentia aeque ponderant. D grauia aequalia A, B penὸ eant ad spatia AC , CBariliralia. Aio quod ipsa
A,Bgrauia maueponderant: Nam cuin aequalia sint A, B grauia amper a Gpra. -sam ipsorum centra A, B aequaliter dilhant a communi centro: puncturii autem aeque remotum ab ipsis A, B centris in linea A B est per θνubesim ipsum C pu qctum: uitur ipsum uadiu est commune centru ipsorum A,Bgrauium: Quare8erae.. iasim A,Bgrauiae aequepondeirant ab ipso C puncto: sicut proponitur demonstranu αΡROPOSITIO XIX. . . r. 1 ..
Grauia,quorum centra aequaliter distant a cetntro communi, sunt aequalia.. kiueti hi iuvim K, 8 eentra A B aequaliter distent a centro communi CAio.
quod ipsa A, B grauia sunt aequalia p hoc est partes, quatum centra aequaliterciliasti a centro totius, sunt aequales: Nam cum l. bc Istauium A, Beentrum commune sit C iamper
x. - grauia A, B aequeponderabunt ahipis Cpunctor Tum si aequalia non luntr Esto ipso- 1 .i' .n F -ti . . Ibrum quodlibet ut A maius, de adiRiatur ipsi B
H Grauia ab aequis spadinaequeponderantia sunt aequalia. Duo grvuia A, B aeq.eponderent a spatijs A C, C B aequalibus t Aio quod aequa
lia sunt A, B grauia a nam cum A, B aequerenderent a puncto C. Iam per aro Ius ipsum C erit commune centrum ipsorum. A , B grauium. Cumque per orbe spatiμAC, CB sint iam aequalia: --tp r taceri: -- rem ipsa grauia A, B inter se aequalia r Qvqd sui: demonstrandum.
107쪽
ARCHIM. EX MAUROLIC. PROPOSITIO XXI. Gravium inaequalium ab aequalibus spatijs pendentium , quod maius
est deorsum feretur. t Λ D spatia A C, C B aequalia pendeant duo grauia inaequalia Α , &B D , quorum maius B D: Aio quod B Ddeorsu seretur: Sit enim ipsi graui A aequale B. sic enim per i s. huius A , B aequepo delabunt ab ipso C puncto: Quapropterprexta uiam DB fertur deorsum.
Grauium aequalium ab inaequalibus spatijs appensorum, quod a maiori spatio pendet,deorsum seretur.
DVO grauia A, B aequalia pindeant Aa spatio A C maiori, B vero a spatio B C f . D Crumori: Aio quod A deorsum sertur: ponan- λ tur enim Α D, D B spatia aequalia: eritq; re Ν
Itaque cum punctum suspensionis sit C, erit per a. μοι D eentrum appens in linea a puncto C ad planum horizontis perpeψicusari: Et peria e A Motl- -- . sicqProponitur demonii randum.
DR Osos'ITIO' XXIII. Gravium inaequalium si maius a maiori pendeat spatio.
deorsum seretur. Gstauium inaequalium A.D maius pendeat a maiori spatio A C, ipsum verδ B munus a minori spatio B C: Aio quod A D graue deorsim seret luet ponatur en
A aequale ipsi B ,& deorsum fieretur Aper praeedeare . Ergo a fortiori AD deorsum
vel sie secta per medium AB in puncto . .
E. fiet per 36. huius E centrum commun ipsorum A B tanquam unius r, de quoniam . D supponitur habere pro centro punctum A. quod est ipsius A grauis de totius A D centrum ἄν Ideo ν icitatis eo nune restium ipsorum A B & D duorum grauium erit in linea A Rconiungente seiliret eorumeentra: Sit ergo F centrum commune A R&D grauium tanquam uniust Vnde rurissum eum punctum suspensionis sit C, iam ut in praemissa pre a. kaias erit F in perpem
dieulati a puncto C ad Holuontem, di periode A D graue deorsum Metur.
108쪽
Grauium inaequalium aequeponderantium maius a minori pendet spatio.
GRauia duo A, quorum maius A aequiponderent a puncto C: Aio quod AC spatium minus eli ipso CB spatior Nam si A C, CB spatia sunt aequalia, tune per a a. pondus A quod maius est, deorsum feretur: quod est contra hypothesim: Si autem AC spatium sit maius spatio CB, tunc per pracerintem. A pondus In ius a maiori spatio deorsum feretur quod rursum supposito aduersatur: superest ergo .ut minus sit omnino spatiu AC spatio CB quod fuit demonstrandum. Vel sie si A C, C B spatia sunt aequalia e tunc posito graui B D arctuali ipsi A , aequo ponderabunt A&BD grauia re 18 h- de ablato D non aequeponderabunt per . ' A postularum A, B grauia : Q i sed est contra hypothesim: Si AC spatium sit maius CB spatior Tunc quoniam A&BD grauia sunt aequaliar lam per a a. Mius, A graue deo sum feretur, de eo magis ablato D ipsum B graue sursam seretur: Quod est rursun contra hypothesim: omnino igitur AC spatium minuserit ipso CB spatio: Quod
Centrum grauis misertas est in facta per medium axis sectione
V Nisorme graue appello, quod est aequidistantium laterum, siue illud sit parallealogrammum planu siue solidum Parallelepipedum: Axim autem rectaui, quς Iateribus aequidistans per centrum grauitatis incedit. Sit itaque graue parallelogr mum A B C D, in quo centrum grauitatis sit O: & per ipsum O punctum agantur lateribus aequi distantes recte K L, M N, quarunia utraq; axis vocabitur parallelogrami: Dico igitur quod tam KLaxis qua MN axis per eqv Ita secantur in puncto O, quod ει ostenditur. Describatur ipsi A B C D parallelogrammo aquilaterum, de aequi angulum parallelograminum EF HG, in quo centrum grauitatisper Asius, eompertum sit T; per quod axes ducti sunt P Q, R S:deinde coaptetur parallelogram. mu E H parallelogrammo A D, ut latus E F l teri A B,&latus EG lateri ACcongruat,& r liqua reliquis: Sic enim per s. postviatum, ce trum grauitatis Τ,centro grauitatis o congruet.& axis P Q axi Κ L,&axis RS axi MN pro ter aequid istantiam linearum conueniet. Itaque linea PT lineae K O, & linea Τ QEneae o L congruet ; commutatis autem lateribus, ut superiora inserioribus coaptentur,hoc est, ut EF ipsi C D,& G is ipsi A B congruat: Iam linea T P lineae o ia& linea
109쪽
Q T lineae KO congruet, quandoquidem per 5. pestivDιum, centra grauitatumT, O rursum congruent, coapIatu rursum gr*uibus. Itaque quoniam linea P I nunc lineae K O nunc ipsi O L congruit, iam id circo aequa. Ius erunt A. Ο, O L ; similiter commutatis at . . bus, ut dextra sinistris coaptetur; hoc est ut EG ipsi B D. atq; FH ipsi A C congruat congrue- 'tibus semper grauitatum centris O. T pero. ρ iam linea R T,quae lineae M o conuebat, iam ipsi ON congruet, & perinde aequales erunt M U,O N. igitur ipsius grauis A D uniformis centrum grauitatis Oeli in facta per mediusectione tam axis Κ L, quam ax SM N: QMd. . fuit demonstrandum. Sed in solido parallelepipedo addetur tertius axis ob triplicem dimensionem solidi; & similiter demonstrabitur insolido parallelepipedo centrum grauitatis esse eo puncto,in quo per aequalia te intersecant tres axes singuli singulos.
Smmenta grauis uniformis ad parallelum Iateribus terminum conti nuata sunt ad inuicem sicut aris receptae portioneS. SIt uniforme graue A iacuius segmenta A QC B contigua ad terminum basibus parallelis; a xs totius A B cuius portioneK AC, quae suat partiales axes singulorum AC, CB: Dico itaque, quod sicut eli axis A C ad Miria
C B, sia eii graue A C ad graue Cis parallelogrammum, constat in Miluin Mρνι-am μxtι Elemeatisu Meodis; i vero graue A B sit par.illelepipedum demonstratur idem per a . II. Nam per praedinas in utraque harum figurarum talia segmenta sunt ad inuicem, sicut sactae portiones laterum ,& perinde sicut receptae portiones axium; namque axis semper est aequalis lateri, cui aequedistat; &partes axis aequales partibus lateris collateralibus.
Grauia reciproca sunt distantijs, quibus eorum centra absunt centro
communi. Sint duo grauia inaequalia A, B, quorum centra A,B,& suorum commune centri)m Ct Aio qiiod sicut est spatium BC ad spatium C A, lic est graue A ad graue B: Qv id sie ostedetur facillim. : Exponatur ipsi A B aequalis linea D E de qua .abscindat ut ipli BC aequalis EF de supererit ipsi A C aequalis D F. Item producatur utrinque
D E ponaturque ipsi F E vel BK aequalis D G; & ipsi D F, vel A C aequalis E H,& ipsi EHaequalis ΕΚ sic posita communi FΚ erit DK aequalis ipsi F E; & ideo ipsi BC:&i similiter ipsi Q G. Itoque GK per medium secatur apud D,S Κ H per medium seca-
110쪽
DA MOMENTII AEQUALIBUS LIB. I. ss
riar apud B ponatur circum axem G H vat me graue,& aequale aggregato ipsorum
A v grauium, quod lacetur apud Κ per terminum basibus , qui per G,H parallel
quibus peractis, quoniam F mediae secti nis punctum est in axe G H. & D mediae s Gonis punctum in axe GK,& E medis sectioris punctu in axe KH:
Idcirco per II. Macediantem centrum gra
uitatis G H totalis est . punctum F; centra vero grauium partialium G Κ , Κ H sunt puncta D, Et habemus igitur duo grauia A, B, quorum centra A, B distant a centro communi C per lineas H C. C B ; Itemque duo grauia G Κ, K H, quorum centra D,E distant 1 centro com-imini F per distantias D F, F E easdem ipsis A C,C B distantijs: Estque ipsorum G ΚΗ grauium aggregatum ipsorum A, B grauium aggregato aequale. inamobrei per i bvius, Braue G K aequale est eraui A, di graue Κ H aequale graui Bi sed V Menteam, licut axis GK ad axem ΚΗ, Ω graue GK ad graue KH;&ideo sicut graue A ad graue si Estque BC dimidiam axis GK , Itemque AC dimidium axis Κ Hra dimidia sunt duplis proportionalia: Iguur simi BC ad A C spatium, scilicet ad spatiumri graue A ad graue Bi Grauia igitur reciproca sinit distatuit quibus eorri centra absunt i eommuni centro: Et hoc erat demonstrandum.
PROPOSITIO XX v III Si grauia reciproca sint distantiis, quibus absimi centra ipsorum a pum
cto quodam in recta linea coniungente centra positos punctum illud est commune centrum grauium. P Oo turri prius duo inaequalia gravia A,B, sitque C punctum quoddam in Iineia
A B, ut faciat segmenta ordine permutato proportionalia grauibus ι hoc, est vesime graue A ad graue Β, sic si1 distantia B C ad distantiam C A: Dico iam quod pu .ctum C est commune centrum grauium Ai: fiant enim ea omnia, ein praecedenti: Eritque similiter sicut B C linea ad C A line δε ideo sicut A graue ad B graum se iam G Κ graue ad K H graue Et perinde eum motum G H graue positum sit aequale toti A B gravi: Erunt singula singulis aequalia hoc est graue G Κ aequale graui Α, atq; graue Κ H aequale graui B: Cumque nr a f. binos, totius G H grauis visorinis ee trum sit R & centra segmentorum G K, Κ H sint D. Ei Iavr i o. ibums,grauia G Κ, Κ Hari ponderabunt a puncto Rhoe est ad spatia D RFEt verum grauia A, B linsis grauibus GK,ΚH singula singulis sunt aequalia. Et spatia AC. CBeadem ipsis D F,F E spatijs. Igiturpeν A, B pondera aequeponderabunt ad A QC B spatia a punia scilicet C suspensa. inare per ra.-C commune centrum est liniorum A, B grauium: Quod erat demonstrandum. Idem,& aliter demonstrabitur ab impo la per praecedentem , modo.