장음표시 사용
131쪽
tra: ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XIV.
. Si in quolibet triangulo linea basi α qui distans ita secet reliqua lateri , .
ut portio ad verticem recepta dupla sit reliquae .' secans it : .b per centrum grauitati S trianguli. . . IN triangulo ABC ducatur basi A C aequidistans linea D E, ita secans latera, ut B Diportio dupla sit ipsius DA: Aio quod D E incedit per centrum trianguli ΑΒ. Nam si DE per centrum non it, eat si possibi- ile est percentiu ipsa FG aequid istans ipsi C: critque per praecedentem, B F dupla ipsius F Arest aute per hypothesim B D dupla ipfius D ArIgitur F A tertia pars est totius A B, & D A
tertia pars eiusdem: & perinde aequales sunt . D A, AF: pars&totum) Qilodest impossibi le: omnino igitur DE per centrum it trianguli ABC. Alia demonstratio in figura sequentis pro positionis: Ex triangulo ABC sumo latus ἰ . A B, quod secetur per aqua apud G, & AG linea in tria aequalia G D, D H, H At per punctum D ducatur linea parallelus basi ACr Aio quod talis parallelus it per
centrum trianguli ABC: secto enim triangulo ABC in duo triangula similia. de aequalia super basim A C relicto patallelogrammo i Erit centrum parallelogrammi in Parallelo per punctum Gi centrum autem commune triangulorum ad basim in pa- trallelo per Ηρer 3. 2.98ervisimu in postulatum: Itaq; congruit ratio ponderum sup-Posito: quandoquidem centra partium aequalium aequaliter hinc inde distanta centro communi totius: Nam duo triangula partialia c5ponunt simul aequum parallelogramino,&spatia sunt H D, D G, & centrum totius trianguli in linea per punctum D, neque aliter se habere centra possibile est. Sit enim si possibile est centrum totalis trianguli in parallelo per pulictum M versus partes B per spatium D M recedens; & tunc permisImum ostulatum, centrum commune triangulorum partialium ad basim secedet eodem versus per spatium H N, quod sit dimidium ipsius D M, quando latus trianguli partialis dimidium est lateris trianguli total s, correlativa comparando: Maior ergo fiet linea M N,quim linea M Gi Igitur centrum commune partium aequalium non aequaliter distabit a centris partium :quod est absurdum: Astruitur ergo propositum.
Ex his duabus sequitur ut trium linearum per eentrum grauitatis trianguli cuiuslibet ductarum,& lateribus singulis aequid istantium unaquaeque, ita secet reliqua latcra,vt portio ad angulum recepta dupla sit reliquae.&vicissim,si unaquaeque trium' linearum singulis lateribus cuiuslibet trianguli aequidistantium,ita secet reliqua lateora, ut portio ad angulum recepta dupla sit reliquae: tunc tres huiusmodi liaeae se inuicem super centro grauitatis trianguli secabunt. PRO-
132쪽
DA MOMENTIS AEQVALIBUS LIB. II. PROPOSITIO XU.
Quod praecedens proposuit aliter ostendere. IN triangulo ABC latus quodvis ut pote A B secetur apud D; Ita ut dupla sit poratio B D ipsius D A: Aio quod ducta linea per punctuin D aequidistans basi A C in
cedit per centrum trianguli ABC: secetur enim latera singula trianguli ABC per medium in punctis E,F,G qua coniungantur ductis lineis: Sic triangulum AB C ssctum erit in quatuor triangula sibi similia, de inter se aequilatera, de aequalia: Et quoniam A Gest dimidium ipsius AB: Atque A D tertia pars eiusdem A B, per hypoth simi Idcirco erit D G sexta totius A B,hoc est tertia pars ipsius A G: Secetur A D per aequalia in puncto H, Erunt A H,H D,D G aequales: harum uni ponatur aequalis tam G Κ,quam F Lr sic enim latus trianguli magni A B in puncto D,de latera triangulorii partialium A G,G B.F E in punctis H,Κ, L ad eandem rationem secantur: Quamobres aequi distans basi A C ducta per punctum D,it per centrum trianguli magni: aequie istans ducta per punctum H ibit per centrum trianguli A G de per centrum trianguli E F Cpre g. per centrum commune ipsorum per x. Item aequid istansducta per punctum Κ ibit per centrum trianguli GBF per 8. Sicut autem est aggregatum ex triagulis A G E. E F Ctanqua una pars ad triangulum G BF
tanquam alteram partem, sic est spatium KD ad spatium DFI, utraq; enim ratio duplar igitur cum aequi distantes Per puncta H, H ducte eant per centra partium: aequid istans ducta per punctum D ibit, per centrum
totius,hoc est per centrum communi
trium itiangulorum A G E, E F C,G B F; Sed talis aequid istans per punctum D it per punctum L s quandoquidem aequales,de aequi distantes sunt D G, L F ergo νεν 8. it
per centrum trianguli F E G: Itaque centrum commune trium triangulorum AGE,
E F C, G B F tanquam unius partis,dc centrum trianguli F E G tanquam alterius partis sunt in aequi distante ducta per punctum D. Q Hre per 6. praecedentis libri, cetrum totius,hoe est trianguli magni A BC erit in eadem aequid istate, sicut iam suppositum est. Conuenit itaque ratio centrorum hypothesi. Quod si secus supponatur absurditas sequetur: Sit enim,si possibile est, centrum trianguli ABC in aequid istante per aliud,quam per punctum D ducta,ut pote in aequid istante per punctum Μ, dc ponantur ipsius D M spatij dimidia ipsa spatia H N, R O. L P, D in sic enim latus trianguli magni A B in puncto M,dc latera triangulorum partialium A G, G B, F E in punctis NM,P,rursus ad eandem rationem laeabuntur,quandoquidem dimidiis adiecta sunt dimidia eius, quod duplo est adiectum Item secetur per aequalia D M in puncto R, eritque o R aequalis ipsi X D,atque R N aequalis ipsi D H,cumque duola sit Κ D ipsius D H.de ipsa O R dupla erit ipsius R quapropter per ea,que prius aciducta sunt,quo niam centrum trianguli A BC ponitur in aequidistante ipsi AC ducta per punctum , M: erit iam centrum commune triangulorum AG E,E F C in aequidi stante ducta per Penctum N: centrum trianguli G B F in aequid istante ducta per punctum O: centrum Porro commune trium trisngulorum AG E. E FC. GBF in aequi distante ducta per Puactum M tanquam unius partis ι centrum denique trianguli FEG tamquam alte-
133쪽
rius partis in aequi distante ducta per puncta P, Fuit vero centrum totius hoc est trianguli magni ABC in aequidistante ducta per punistum M: Itaque aequidistans ducta per centrum totius non est media intra aequi distantes ductas per centra partium . Quod est impossibiles. Centrum igitur trianguli ABC non cli in alia aequi distante qua per D punctum ducta . . eadmodum proponitur demonstranduin.
EX triangulo A B C,praecedentis propositionis, capiatur latus A B,& similiter secetur, ut dictum est: & per punctu D ducatur parallelus basi AC: Oliendam rursus
quod talis parallelus it per centrum trianguli A BC: Nam diuiso triangulo ABC inquatuor triangula aequalia,& similia, quoi u tria angularia similem situm habent: medium vero conuersam positionem; Item per visimum , e penultimum posviatum, o per 17. ρ mi. Centrum commune trium triangulorum angularium erit ii I parallelo per punctum D, & centrum tria-guli medij in eodem paral- A n D M G ra
derum supposito, neque allia L. ter te habere centra possibile est: Nam si centrum totalis trianguli sit in parallelo per punctum M, tunc centrum trium triangulorum angularium erit in parallelo per punctum R, ita ut D R spatium sit dimidium spatij D M per υθιmum pastistitum. Centrum autem trianguli mediant in parallelo per punctum Q per tantumdem spatium D Q ad partes diuersas recedente propter contrariam trianguli mediani positionem: Vnde centrum commune totalis
trianguli scilicet, non interiacebit centris partium: Quod est absurdum: Superest Ergo propositum.
Duarum linearum duobus lateribus cuiuslibet trianguli aequid istatium,& latera reliqua ita secantium, ut portio ad angulum recepta, dupla sit reliquar, utraque alteram per aequalia diuidit. IN triangulo ABC linea DE aequid istet lateri AC, & linea FG aequidis et lateri
A B, quae duae lineae ita secent reliqua latera, ut portiones ad angulos B, C receptae duplae sint reliquarum,hoc est, ut B D ipsius D A,& ideo BE ipsius EC dupla sit: Itemque CF ipsius F B & ideo C G ipsius G A dupla sit, quae lineae se-cfir se inuice in puncto H: Aio quod per aequalia se inuicem secabunt; hoc'quod ipse D H, H E inter se aequales,&ipsae FH, H Ginter se aequales erunt: Nam cum per hypothesim, se et .sex. Eselidis . B Edupla sit ipsius E Ci iam tota B C tripla erit ipsus CE: Itemque cum CF per eadem dupla fit ipsius F B, Iam tota B C tripla item erit ipsius B F: Itaque tam C E quam FB tertia pars est totius BC.&perinde FE tertia pars residua eiusdem: Equales ergo sunt C E. E F. FB lineae: Et ideo per a. sex. Euclio. in triangulo DBE ipsae D H, H Eaequales inter se ; de in triangulo GF C ipsae FH, H G similiter aequales inter se erunt ἔ Cum aequid istans basi ad eamdem rationem secet latera reliqua: Et hoc suerat demonstrandum.
134쪽
Si in quolibet triangulo ducatur linea aequi distans basi,& secans reliqua latera, ita ut portio ad verticem recepta dupla sit reliquae;tunc quae per punctum mediae diuisionis ductae unusectorum laterum aequi distat, similiter secat latera, &vicissim per aequalia secatur θ ducta. Sli ut prius triangulum A B C , in quo D E aequidistans basi A C secet reliqua lat
ra in punctis D,Mta ut portiones D RB E duplae sint potiionu A D, EC: Et DEPer aequalia diuisa apud H ducatur F HG aequi distans ipsi A Bi Aio quod F C, C G portiones duplae sunt reliquarum B F, G A: Quodvue F G per aequalia secatur apud ita Nam cum per hypothesim D H. H E sint aequales : erunt per B F, F E aequalest sed per hypothesim EC dimidiuest ipsius B Et aequales ergo lunt BF, FE, EC: Et perinde CF dupla ipsius BF , atque C G dupla ipsius G A: Itaque pre oramdentem. ipsarum D E. F GIareribus trianguli A BC aequidistantium,& latera sic secantium, ut pomones ad angulos duplae sint reliqu rum, utraque reliquam per aequalia diuidit a & ideirm FG bifiniam secatu apud H: Ram erat demonstrandum.
Si in quolibet triangulo dueatur linea uni laterum aequi distans, & reluqua secans, ita ut portiones ad angulum subsectis contentum receptae duplae sint reliquarum: Centrum grauitatis triangulierit punctum, in quo ducta pex aequalia diuiditur. IN triangulo A BC ducatur linea D Evnilaterum in pote A C aequidistans,& retia
qua lacans apud D, E puncta, ita ut portiones D BAE B duplae sint reliquarum D A. EC, seceturque D E per aequalia in puncto Hr Aio quod H est centrum trianguli ABC. Ducatur enim per H punctum linea F H G vni sectorum laterum, ut pote ipsi A B aequi distans: Eruntque permaceriinem, portiones F QCG duplae ipsarum B RG Areliqu truma atque ideo per x velas. Mos, tam linea D quam linea F G ibit Per centrum trianguli ABC, nullum autem punctum in utraque linea e potest. nisi punctum communis earum sectionis, quod est Id, itaque Η punct- erit auum gradi
135쪽
ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XIX.
Si tres lineae tribus lateribus trianguli cuiuslibet a quid istantes ducam tur it 1 secantes latera singula, ut portio ad angulum subsectis contentum recepta dupla sit reliquar ; ductae se per aequalia vicissim&super uno puncto diuident, quod est trianguli centrum. IN trian ulo ABC duabus lineis DE, FG, quae lateribus C A, AB aequidistantes
sic secat latera, ut proponituri superueniat tertia linea Κ L aequidistas tertio laterin C,de similiter secans latera A B,A C in puctis L Lt Aio quod .KL per punctum H ibit, omne'; tres per aequalia in Heuncto,quod trianguli ABC centrum est,se se dispescent: Namqueper ioAurus, ipsarum D E,F G utra' que altera per aequalia secat, &ρre ramis
K L per aequalia lecabit ipsam D E ipsamque F G,& perinde per punctum H ibit,isper r7.
vicissim per aequalia secabitur ab eis in puncto H: omnes igitur tres lineae D E, FG, KL se vicissim per aequalia secant in puncto H: Et . per pracedemem, ipsum H punctum centrum grauitatis triangilli ABCerastit: ἴγma uinoduin proponebatur demonstrandum.
si per centrum grauit xis prianguli cuiuslibet linea ducatur uni laterum
aequi distans: portiones ipsius diustae a centro ad latera trian- guli receptae inuicem aequales erunt, i iIN t iangulo At C ducatur per centrum Vnitate una vi pote ipsi AC aequi distans linea
DE: Aio quod DE bifariam seeatur in centro: Namper i 3 huiunt quoniam D E linea it per centrum trianguli A BGiportio B D dupla erit ipsius D A desimiliter B Eipsius ECi-I8.-- L. ω. demtum trianguli A B C,erit pumnum,ut ρο- te H.in quo D E per aequalia diuiditur: Equales ergolim DH; HE: di ioc fuit dem stranaum. : i . l. r . , PROPOSITIO XXI. .. t: ι . c.
. si 'ab angulo cuiuslibet tria riguli per
centrum grauitatis linea ducatur, producta per aequalia secabit subtensum latus. IN triangulo ABC ducatur a quouis angulo,
ut pote B, Per centrum trianguli, quod sit Hlinea B H,quae produeta coincidat opposito lateri A C apud G punctum: Aio quod A C latus per Dissilired by Cooste
136쪽
DA MOMENTII AEQUALIBVs LIB. II. ras
per aequalia secatur apud G punctum . ducatur enim per centrum id ipsi C aeq uidi stans linea D H E: Eruntque per praecedentem ipsa: DΗ,H E portiones aequalest sed propter aequidistantiam linearum D E, A C . di similitudinem triangulorum A B G.
D B H;& umilitudinem triangulorum B H E,B G C,erit sicut A G ac D H, sic B G ad B Hi & sicut B G ad B H, si e G C ad H Et Igitur, & sicut G C ad Η Ε, sic A c ad D Hi& permutatim,sicut A G,ad G C,sic D H a d H E;suit autem D H aequalis ipsi H E. EGgo & aequalis erit A G ipsi G C: Itaque A C per aequalia secatur apud ipsum G punctum: d erat demonstrandim. . iPROPOSITIO XXII. Si trianguli cuiuslibet latus quodvis per aequalia secetur,quae a sectionis puncto ad oppositum angulum linea ducitur, per centrum grauitatis trianguli transit. i IN triangulo A B C latus quodlibet ut A C per medium secetur in puncto G, deducatur BG: Aio quod B G transit per centrum trianguli A B C: Namsi B G per centrum non it,eat si possibile est, per centrum Κ B incidens lateri A C apud K punctum; dc secabitur AC apud K per aequalia per praecedentem ,
secatur, & per aequa apud G,per hypothesim: bd est impossibile: Astruitur ergo propositum, Alia demonstratio, qua utitur Archimedes IN triangulo rectilineo A BC quodvis latus ut puta A C secetur per aequalia in
puncto D, dc ducatur BD linea ostendetidum est quod centrum trianguli ABC est in linea B D secus sit,si possibile est celstrum extra lineam B D ut puta in punicto E,
de ipsi B D parallel f agantur E G, A A.ntq; sicut A D ad D G, sic iam triangulu ABC ad superficiem L Moκ ductis intra triangulum A BC lineis ipsi AC bali equid istwtibus,dc per earum extrema aliis ipsi B D aequi distantibus donee facta scalatim parallelogramma relinquant spatia trisona lateralia, quod aggregatum sit minus super Gcie L. Eritiam maior ratio trianguli ABC ad dictum aggregatum ,quam triangulum
A B C ad stipemciem L,hoc Est quam lineae A D ad lineaui G;eurique centrum commune dictoru parallelogrammoth π 3.β-czo, es per 5. primi erit in lines sio sillud punctum F, dc coniungatur, ac producatur F E H ia indefinitum: eritq; propter aequi- distantiam linearum sicut A Dad D G, sic iam H Fad F E: Maior ergo erit ratia utanguli ABC ad aggregatum dictoru* lateis ratium trigonorum, quam ratio lineae H Fad lineam F E: ponatur itaque sicut triangulum AB C ad dictum aggregatum relictorum lateralium trigonorum,sic iam linea ΚFa ineam FE: Eritque disiunctim sicut linea K E ad lineam EF, sic iam conSeries facitorum paralleloSrammorum addictum aggregabium relictorum trigonorum.
Cumque E si ceo in tqtius trianguli A B C, atque punctum F centrum partis Unius, scili.
137쪽
stilicet congeriei factorum parallelogrammorum: Exuper a8.pram,K centrum rellia quae partis, scilicet aggregati relictorum trigonorum: .lod est impossibile per viii-mum pastatarum; non enim possibile est centrum sit extra ipsius grauis ambitum: astat ergo propositum.
Idem aliter demonstrare. TMGDIi ABC sanis quodlibet A C per aequalia secetur in puncta D, & co
iungatur B D: Aio quod B D per centrum grauitatis trianguli ABC incedit: Sit enim si possibile est, trianguli A B C centrum extra lineam B D vi puta in puncto E , de coniugatur B iu& prod uicta coincidat basi apud F,divisisque per a laualia lateribus A B, B C apud puncta GH coniungatur G H secans ipsam B D apud L conium gantur, & G D,S D H: & ipsi B F aequidistantes ducantur G L, H M ad bases in tria gulis A G D,D H C, sic enim fiet,ut propter aequidistantiam linearim, & sicissitudinε Letorum triangulorum, Ut ad quanti rationem linea BF secat basim AC in triangulo ABC totali: ad eam utiqetrationem lincae G L, H M in triangulis A G D. D H C partialibus secent bases A D, D Ct verum B F incedit per Gcentrum trianguli A B C: igitur er 9. Mius, lineae GL, H M incedent per centra triangulorum AG D, DHC
ducatur ergo per cenἰrum ciam mune
triangulorum A G D,D H C ipsis G L, HM BF aequi distans linea: ibit utiq; per punctum R; aliter enim non essent aequalia spatia inter aequidi stactes ductas per centra partium aequalium,&per certinuuin totius: Qiand itidem G K aequalis ipsi Κ H: Qirodesset impossibile per s. hu--. Sιt ergo per centrum commune ipsorum triangulorum A G D, D H C ipsis G L. H M, BF aequi distans linea K N, in qua centrum commune dictorum triangulorum sit O punctuin per ψ. autem huius,censtrui parallelogrammi B G D H est punctum Κ, in quo se vicissim secant diatnt tri: Itaq; cum centrum commune triangulorum A G D, DHC tanquam unius partis sit in puncto or Ceatruaute parallelogrammi BGD Hsit in puncto Κ tanquam alterius partis: Iam per 5.praeerimis centrum totius ex partibus compositi,hoc est centrum totalis trianguli ABC erit in linea K Fuit vero extra in puncto E lines B F: quod est absurdum: Non est ero centrum trianguli ABC alibi,quam in linea B D: Sicut erat demonstrandum.
Centrum grauitatis trianguli sic diuidit lineam ductam ab angulo ad medium punctum subtensi lateris, Ut portio ad angulum recepta dupla sit reliquar. IN triangulo ABC linea a quouis angulo ψt. B coincidat basi A C in punctum G fς oni 'quaepe pracedenι-it per centrum trianguli ABC: sit ergo ce-
138쪽
DE MOMENTIS AE AMBUS LIB. ΙΙ. I et
trum in linea B G in puncto Hr Demonstrandum est, quod B H dupla est ipsius H G. Sic,coniungatur C H,& producta coincidat A Blateri apud Κ punctum: Quae pisai. huius, per aequalia secabit ipsum latus AB apud Κ,coniugatur ΚG,quae per a. sex Euetidis, aequid istabit ipsi B& perinde aequiata gula,hoc est similia erunt triangula B H CG H K: Itaque
ut BC ad K G sic BF adHG, dupla autem est B C ipsius Κ G quandoquidem sicut A B ad A K ergo & dupla B Η ipsius HGr quod est propo
Idem aliter: ducatur per I centra ipsi A C aequidistans linea D E secans latera in punctis D, E: Eritqueper i 3. huius, B D dupla ipsius D A. sed sicut BD ad D A, sic BHad HG,er a.sex Euclidis ; Ergo, & B H dupla ipsius H G: Quod ruit demonstrandum.
PROPOSITIO XXV. Si linea ab angulo quolibet trianguli ad medium punctum subtensi la
teris , site secetur, ut portio ad angulum recepta dupla sit reliquae, punctum sectionis erit centrum, grauitatis trianguli ΙN triangulo ABC ab angulo quolibet B eadat in puctum G linea B G, in quo A Cper aequalia diuiditur,quae in puncto H ita secetur,ut B H dupla sit ipsius H G D monstrandum est, quodH punctum est centrugrauitatis trianguli A B C.omnino enim per a a. velper 23. praemissas , centrum trianguli ABC est in linea B G, in ea ergo si centrum non est
Η punctum sit si possibile est L punctum: Eritq: par praecedentem, B L portio dupla ipsius L G: sed per hypothesim B H dupla ipsius H G: igitur tam HG,qua G L fiet tertia pars ipsius B Gr& perinde aequales erunt ipsae H G,G L: pars,&totum: quod est impossibile: Non est ergo centrum trianguli ABC aliud quam H punctum: Vel sic ut in secunda descriptione praecedentis per punctiim H ducatur ipsi AC aequi distans D HE: Et quoniam supponitur BF duisa ipsius HGrpera. ρx ,& BD dupla ipsius D A: Quare per i . vela s. huius, D E it per centrum trianguli A B C,sed&B Git per idem centrum per a 3. omnino ergo Is punctum erit centrum trianguli
139쪽
118 ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XXVI.
Si tres lineae a tribus angulis trianguli cuiuslibet productae opposita latera singulae per aequalia dividant,se inuicem super uno puncto, quod trianguli centrum est, secabnnt, ita ut earum unius cuiusq; portio ad angulum recepta dupla sit reliquar. IN triangulo ABC latera A B BC, CAsingula per medium dividantur in pundiis
Κ,F,G . Demonstrandum est,quod lineae B G,C Κ, A F sese super uno puncto quod trianguli centrum est,secant. Ita ut poritones ad angulos duplae sint reliquarum; Inis pristi is enim ipsae BG, CK productae secem se super H puncto,& co ungatur Κ Grpera. sex Euclidis, aequiui stabit ipsi B C,& idcirco triangula B H C, G H Κ si- milia erunt : Quare ut BC,ad ΚG,sic BH
ter autem Oitendemus quod A F producta abscindet ex ipsa BG vorsus angulum B G Oportionem duplam rci quae,& perinde ibit per punctam H: vicissim sic secabitur, ut portio AH dupla sit reliquar H F: porro eum ipsarum BG, CK, AF ynaquaeque incedat per trianguli A B centrum per a 3. Omnino centrum erit ipsum H punctum. Q lae Proponebantur demonstranda: Vel sic procede: Nam simum linearum B G, CKAFpera 3. huius,it per centrum omnino se vicissim super uno puncto, quod centrum est, secabunt: Qua reper a . por tio unius cuiusque earum ad centrum per angulum recepta dupla erit reliquae; & haec fuerant demonstranda.
Quod decima octaua huius proposuit aliter demonstrare.
IN triangulo ABC ducatur uni laterum vi pote A C aequid istans linea D E,de reliqua la: era apud puncta D , E ita secans, ut B D, B E portiones duplae sint reliquartum D A, EC;&ipta D Epet aequalia secetur iapuneto Hr Demonstrandum est quod H puncta
est grauitatis centrum trianguli ABC; per alia media quam in I 8.hurus,Ostensum est. Sic,coniungatur B H , quae producta coincidat basi A C in puncto G. Itaque quoniam aequid istat D E ipsi A C,de per aequalia secatur apud H, idcirco ex similitudine triangulorum, de A C per medium secatur apud G: Quare per huius, linea BG per centrum trianguli ABC incedit; est de B H dupla ipsius HG p . sex Eaclidis.
140쪽
DE MOMENTIS AEQUALIBUS, LIB. D. ras
rando aequilli stat D H ipsi AG: &B D dupla est ipsius D A. Igitur peras. Hac cedenti'n, H punctum cst centrum grauitatis trianguli ABC: Q aod demonstrandum filii: Qis demonstratio quoniam innititur a 3. quae non indiget adminiculo duodecim propositionum immediate praeced hum, stat ii necarumdem auxilior idcirco dictae duodecim propositiones rursus ex hac 27. nouo medio demonstrari possentῶquod nos exercitio perspicacis ingenii relinquimus.
PROPOSITIO XXVIII. - , si linea a quolibet angulo trianguli producta subtensum latin per m dium secet, & alia eidem lateri aequi distans suscipiat reliquorum . laterum portiones ad di studi angulum duplas relictarum; punctum in quo productae se inuicem secant est centrum grauitatis trianguli. IN triangulo ABC ab angulo quolibet, ut B, prodiicta linea BG basim AC per
aequalia secet in puncto G,linea vero ipsi A C aequaesitans D E abscindat porti nes B D, B E duplas ipsarum D A, E C secans ipsam B G apud H: Demonstrandum . est,q.od punctu H eentru est trianguli ABC: i ι Sic.Nam cum D H aequi distet ipsi AG, atquG .a BD dupla sit ipsius D A: Iam pre a. - . A Id . N, Hi,&BH dupla erit ipsius HGt Quare re a 3. Ll, :ntur ia c. H centrum erit trianguli ABC.r . . . l. ba .f. Orit Me o Vel procede sic: Nam cum BG seco per lx iri untiaequa latus A C oppositum: iam My a 3. it per centrum trianguli A BCr Itiem sum D E A Πaequi distans lateri A C suscipiat portionem BD duplam ipsius D Ar Iam s. huius, ibit i l.& per centrum triangusti A B C: omnino igi tur trianguli ABC centrum erit communis huiusmodi lineam sectio, quod est iplam H punctum; quod erat demonstrandum i Et haec de centro grauitatis trianguli satis.
PROPOSIΤIO XXIX. Propositi circuli centrum grauitatis
comperire. SIt propositus circulus A B,oportet in eo grauitatis
centrum inuenire: comperiatur in eo magnitudinis centrum per pris m3. elementor--, quod
sit C punctum, eritque per primam huius,ipsum C grauitatis centrum in pro sito circulo A B: od erat inueniendum. hi ,