장음표시 사용
111쪽
i, Sitit A, B si uia inaequalia in ipsa AB linea punctum C,itaut sicut Gin B, graWe Icilicet ad grauelli esse B C, ad C AIputium ad spadunt, Aio quod C pho Mineli cominu ne centrum ipsorum A, B grauium: Nam is possibile est, sit ipsor i. Α, δgrauium commune centrum aliud, quam C
panetum, sitque illud D; eritque perprac dentem, sicut A graue ad B graue, sic B D . spadium ad D A spatium: Sed per hypothe- lsm,siciit A graue ad B graue sic B C spatiu,, ad C A spatium, igitur sicut BC spatiunx ad C A spatium: sic B D spatium ad DR spatium; & coniunctim sicut A B spatiun C A spati ruit,sic A B spatium ad D A spatium : Istur spatia D A, A C sunt aemuli a Quo debit impossibile: Nooeest ergo commune ipsorum A. B grauium pyram taliud quam C punctum: Quod fuit demonstrandum. D . t. i. I ii . l
Inter duo vel plura grauia proposita centrum commune n Iu grauitatis comperire. . '. .
ne ipsorum A,B grauistin Quosl mee duo I id Cgrauia comperiendum proponitur: Rustiis coniungatur C/9 sicut ing aue A Bad . . i. graue C, se sit linea CE ad lineam DE; eritque rursus perpraecedentem, L centrum grauitatis commune ipsorum A, B, C: quod quaerebatur.
Grauia aequeponderantia' recipryca sunt spatijs, a quihus pendent.
ad graue Β, sie est spatium B C adspatiunia ' S
C A: Nam cum graui, A, B aequeponderent a puncto C: eritper i l. Luas, Ccomesuae eentium grauium A,B: Ergo per 27.
sicut graue A ad graue Bale spitium C B ad spatium C Ai Qiv d est propositum.
112쪽
DE MOMENTIS AEQVALIBUS LIB. Lε PROPOSITIO XXXI.
Grauia reciproca spatijs, a quibus pendent, aequeponderant. Grauia A.B pedentia ad spatia AC, C Bsint reciproca spatijs,hoc est,sicut graue ausxaue diutuseatium B Cad spatium C A: Aa quod graui a mnaeque-
potiuerant: Nam cumgra ita A,S reciproca sint spatijs : Iam per an humAC punctum erit centrum commune grauium A, B: Quapropter per a o hutas, grauiae A , B aeque- ponderant:sicut proponituria o
1nter duo veIplura grauia aequilibrij punctum eomperire.' ,
SVntotria grauia A, B,C, quorumcentra Λ, C,siue ineadem recta posita sint, siue in eodem plano roportet interipsa S Auia A, B,Clunctum aequilibri,comperire.hoc est pun&m, a quo iuspensia. j : aequeponderant : Comperiatur per 29. Zharus ' me cui rumips u A,B, quod sit Et Itaque flerro. aequepondeis bunt grauia A, B, C, a puncto Ei Et Heu, pumram Eipsum inlibri, pun ctum est,per quod qua redimproponitur : Similiter inter duo grauia A. Bcomperiue Ur 3s. comm ni centro D ; Ipsum Dper I o.erit aequilibrij punctum inter A. β aula: Nec secus inter q-tlibet grmia comperietur aequilibrij punctum .
Τribus, vel quotcum 3 grauibus, quorumcentra in utio plano ab aequia punc tosiispensis, planum ipsum aequidistat horizonti ''SInt tria grauia A, B, Qquorum centra A,s: in eodeWanosint,&quorum aequilibrij punctum, per praemissam compertum C sit E .a Gio suspendantur A, B, C. grauia. Aio quod planum A, B, C aequiditabit horitantiri Nam si pIanum A, B, C, puncto Esuspensum, non aequi distat horizonti: maneat, si possibile est ab alio puncto, quod sit Fparallelum horizonti appentum . Equeponderant ergo grauia A.B &C a puncto F;quonia in plano A,B,Qhorizonti parallelo, omnis linea inter centra adipensorum horizonti aequi distat. Igitur peris. Mias,F commune centrum est appensorumi Fuit vero E per 'aeedentem. Quod est absurdum: Planum ergo A, C,nominatio, quam E pun-
113쪽
suspensum horizonti aequissistat: Quod propositum est. Vel sic, si A, B,C,grauia aequeponderant a puncto F. Igitur aequilibrii punctum est F: sed erat per hypotbesim aequilibrij punctum Z: quod rursus ablardum est.
Librae spatijs, & uno aequiponderantium grauitan dato; reliquunt comperire, SIt libra AB, spatu AC, CB; Vnum
aequeponderantium frauium Aioeo tet reliquum comperire: sit sicut B C spa- . tium ad C A spatium,sit A pondus ad pondus quodpiam B, quod appendatur ad B
rabit ipsi A; dc perindet ipsum B graue est quod quaerebatur.
Eque pendentibus grauibus, & uno spatiorum datis: reliquum
spatium comperire. SIt rursus libra A B aequeponderantia grauia A, B, unum spatiorum B C t oportet reliquum spatium comperire. Sicut est graue A ad graue B; sie sit spatium B Cadspatium C A,ad quod pendeat graue A i Nam per 3 r. batur, aeque ponderabaal A , Bsr uia ad spatia A C,C B; Et ideo ipsum C A spatium est,quod quaerebatur.
PROPOSIΤΙΟ XXXVI. Quam multiplex est pondus ponderis ad idem spatium: Tam multiplex
x est momentum momenti. Sit ip6usponderis A multiplex pondus ADE', ad spatium A Cr Aio quod tam multiplex est momentum ponderis A D E, ad momentum ponderis A: Quod sic ostenditur: assumatur qiloduis spatium C B.& comperiatur per anι ramissam pondus ipsi A qui ponderans ad spatium C B,quod sit B; & diuidatur pondus A D T in partes ipsi A aequales, & iam unumquodque ponderum A,D,E,arqueponderabit ponderi B: Et ideo πιν diσnitionem , momenta ponderum A,D, E, aequalia erunt: sunt vero,&p6dera aequalia A,D Er Et sicut igitur pondus A DE, triplum est ponderis Α, ita α momentum ponderis ADE, triplum est momenti ponderis A: Similiter idipsum ostendetur de multiplicibus secundum quemlibet numerum tumptist Assumpto ad quodlibet spatuam pondere ipsi A aequeponderante, ' ρνamsi is ,Vel si lubet constituto pondere B,de ad inuento, re praecedentem,spatio LVade seruato semper spatio AC ipsum pondus A immutatum semper Ieruabi b*nς colla Diqitigeo by
114쪽
DE MOMENTIS. AEQUALIBUS LIB. L 1 or
eollationem ad sua multiplicia in pondere ,& m nento cuiuslibet ponderis ad coiis gruum spatium aequaliter contra pendentis. Vel si mauis seruare spatium B C augebis pondus B, spatiuinque C A pro ducesper pracedentem. semperent ni aeque rus erante B pondere ipsum pondus A produeto spatio AC maiori ponderi aequeponderabit, deperinde maiori momento dotabitur,semperqu pondus Ponderis. tot uplex erit,quo-tuplex momentum momenti: sicut proponitur.
Grauia ab aequis spatijs pendentia sunt momentis proportionalia.
DVO grauia A, B pendeanrabaequa Iibusspatijs AC,CB Aio quod sicut graue
A ad B,lic est momentum A ad momentum B: QDd sic demonstrabitur. Sitimsius grauis Amultiplexad libitum graue A D; Itemque ipsius grauis Amul iplex le- euntium quemvis numerum graue BE: Sic enimperρracmonteiis,quam multiplex est graue AD grauis A, tam mul; iplex erit, & momentum A D momenti Adc per ea dem,quam multiplex est graue B E grauis B,tam multiplex erit,& mometum B E m menti B: Habemus igitur quatuor magnitudines: priniam graue A, secundum graue B, tertiam momutum A,quartam momemum B: Primae autem,de tertiae assignatae sunt aeque multiplices, graue A D ,&momentum A D: secandae item, & quartaesiant, & aeque multiplices, graue BE,α momentum B E: dc quoniam aequalia supponunt ut spatia A C,C B: IdcOper i 8. , si graue A D aequale est graui B E,iam ipsi aequepondeuat, hoc est per uirinitionem aequale est: momentum AD momento BErsi autem graue AD maius est graui BE iam per at . bHur,ac graue A D deo sum feretur hoc est per maius est momentum A D momento B E : dc per ea rim, si .mimis est graue A D graui B E. sere tur dc orsum ipsum BE. hoc est minus erit momentum A D momento B E: Itaq; si multiplex primae maior est inultiplice secundae,& multiplex leniae maior erit mutnpsce quartae r Et si minor, mInorp& si aequalis aequalis: Atque id ipsum euenit quibuscumque multiplicibus eo tem ordine sumptis amobrem per ἡ Ἀμ-m proportionatium magoitudinum in qu/nto elementorampseram, memoratae quatuor masnitudines proportionales erunt: hoc est
prima ad secundam,sicut tertia ad quartam: Graue scilicet A ad graue B. sicut momentum A almumentum B : rod fuerat demonstrandum
Grauium aequalium ab inaequalibus spδt ijs pendentium momenta sunt ad inuicem sicut spatia.
DVO grauia A,B aequalia pendeant ab inaequa. libus spatiis A C, C B, quoru maius AC: Aio quod sicut est spatii im A C ad spatium C B, sic est
momentum A ad momentum Br Quod sic ostenditur: sumatur per 3 .bmus, graue BD ad spatium C B aeque ponderans ipsi A: eritquaeperat 1tionem momentum B Daequale momento A: Atqueper 3αώoras sicut spatium AC ad spatium C B: Sit graue BD ad graue A, hoc est graue BD ad graue B: sed C
115쪽
.er pracedenum, raue B D ad graue B,sicut momentum B D ad momentum B, quandoquidem ad idem spatium B C pendent;igitur momentum B D ad momentum B, si eut spatium A C ad spatium C B; IEquale autem fuit momentum B D momento Arergo & sicut spatium A C ad spatium C B, sic momentum A ad mouientum B: Quod fuit demonstrandum.
Momentorum ratio componitur ex ratione ponderum , & ex ratione
spatiorum, a quibus grauia pendent. DVO grauia A,B pendeant a spatiis A C,C B: Aio quod ratio momenti A ad momentum B componitur ex duabus, scilicet ex ratione ponderis A ad pondus B; S ex ratione spatij AC ad spatium C B: Qiyd sie demonstrabitur. Duo pondera inaequalia A, B pendeant ad spatia inaequalia A C,C B: namque de grauibus aequalibus ad inaequalia spatia pendentibus actum est in praenedenti: De grauibus autem inaequalibus ad aequalia spatia suspensis in ante praemissa. Aio quod ratio momenti A ad momentum B componitur ex duabus: quaruvna est ratio grauis A ad graue Br altera est ratio
spatij AC ad spatium C B: Sit enim grauium A, B maius ipsum A: & ipsi B graui apponatur graue D, ita ut totum B D sit aequale ipsi Ar quo facto,ponatur momentum B D pro communi termino inter momenta A & B, ut scilicet ratio momenti A ad momentum B, componatur ex ratione momenti Aad momentum B, D, & ex ratione momenti B D ad momentum B: Et quoniam grauia A & B D aequalia, ideo sere ratio momenti A ad mo- . 'mentum B I, est quae spatij AC ad spatium CB: & quoniam BD, & B gra a pondent ab eodem spatio CB. Ideoper 37.praemissam, ratio momenti BD ad momentum B est,quae arauis B D, hoc est grauis A ad graue B r Quamobrem ratio in Omc nil A ad momentum B componetur ex ratione spatij AC ad spatium C B, & ex rationGgrauis BD ad graue B.hoc est grauis A ad graue B: Quod erat demonstrandum.
Si uniforme graue suspendatur a puncto, ad quod copulantur axes partium inaequalium: ratio factorum momentorum erit, quae partium ipsarum duplicata.
SIt uniforme graue A B circum axem A B, quod secetur in duo segmenta inaequJlia,quorum axes A C,C B ad punctum C continuati, & suspendatur graue A B apuncto C: Aio quod ratio momenti AC ad momentum C B erit sicut ratio grauis A C ad
graue CB duplicata: Iccetur enim Per medium axis A C in puncto D,& axis CB i puncto Ederuntq; per 2 . huius. ipsa D,E pu. Et a centra grauium AC, CB: Itaq; per 3. ρώμι, ipsa A C,C B grauia pendebunt a puritiis D, E suspensa,& perinde ad spati i D V,
116쪽
DA MOMENTIS AEQVALIBUS LIB. I. roi
CE raramobrem prepracedentem; Ratio momenti A C ad momentum CB,ccnetur ex ratione grauis AC ad graue CB,&ex ratione spatii DC ad spetium C E sed per 26. huius,sicin axis A C ad axem C B,de ideo sicut D C spatium ad C E spatiu, quae sunt axium dimidia, siegraue AC ad graue CB: Igitur ratio. momenti AC ad momentum C B componetur ex duabus rationibus, quarum utraque est ratio grauis AC ad graue CB: Itaq; ratio momenti AC ad momentum CB est sicut ratio grauis
A C ad graue C B duplicata: Quod fuit demonstrandum.
VNde si pars ad partem sit dupla momentum ad momentum erit quadruplum: si
pars ad partem triplar mos nium ad momentum erit nonuplum.
Si a centro segmenti minoris in uni sermi graui pendeat adiectum graue, ita ut segmentum maius sit medium proportionale inter selamentum minus, & inter aggregatum ex segmento minori, &adiecto,&suspendatur uniforme graue a communi lia mite axium partialium, tunc dictum aggregatum aequeponderabit segmento maiori.
IN descriptione praecedentis a centro E segmenti minoris BC pendeat adiectum graue F,it aut sicut est graue B C ad graue C A. hoc est segmentum minus ad segmentum maius, ta sit graue segmentum C A ad aggregatum ex segmento B C & ex Fadiecto: suspendatur autem libra a puncto C: Aio quod aggregatum ex BC &Fatqueponderabit graui C At quoaste demonstratur: Nam per 26. hurax, sicut eis immentum BC ad segmentum C A,sic est linea BC adhineam.
CAi & perinde sic spatium EC ad spatium C D, quandoquidem dimidia sunt duplis proportionalia dised per hypothesim, sicut segmentum B C ad segmentum C A,sic segme tum C A ad aggregatu ex B C ων mento, & F. 1gitnr sicut segmentum C A ad aggregatum ex B.C & F; .sic spatium EC ad spatium CD, recia proca videlicet Mnt grauia C A, de dictum aggregatum spatijs, a quibus pendent ria neponderant ergo per-ἔamcduo grauia C A sciliceto aggregatu eκ BC&F: Et quidem hoc erat demonstrandu. Vel sic per praecedente ratio momenti A C ad momentum C B est sicut ratio grauis A C ad graue C B duplicata et Et per hypothefim ratio momenti C B. & Fad m mentum CB quaepe 37. est ipsa grauis CB, Fadgraue C Bratio est ficut eadem
ratio duplicata ; igitur e em habent rationem momentum A Q& momentum C B, &Fad momentum C B tinare per ς. muraequale est momentum CB. F moment
117쪽
ARCHIM. EX MAURO LIC. PROPOSITIO' XXXXII.
yisdem suppositis demonstrandum est, quod sicut est excessus segmentorum ad segmentum minus,sic erit adiectum ad totum graue uniforme. Hoc est,sicut est excessus segmeti maioris C A in prccedeti figura super segmentum inus B C collatu ad ipsum segmentii minus B C, se est ipsum F adiectu ad totugraue AB : Nam cum grauia BC , C A atque aggregatum ex BC & F sint continue proportionalia; sint facilioris intelligentiae causa huiusmodi trium grauium primu G, alterum H Κ, tertium L M N. sic videlicet disposita, ut G, H, L sint inter se aequalia I Item Κ, H inter se aequalia , ut scilicet Κvel M sit excessus ipsius Hic su- , Η Μ per G : ipsum autem N exces
LMN super G; sic enim fit ut G. st ipsum B C segmentum minus II K ipsum C A segmentum maius;Κ eorum excessust L MN aggregatum ex BC&F; atq; MN ipsum adiectum F: cum L sit ipsi G, & perinde ipsi B C aequale: Itaque demonstrandum est quod sicut est K ad G . se iam erit M N ad totum G .H K hoc mod o; cum H K ad G sit sicut ipsum LMN ad ΗΚ erit disiunctim K ad G sicut N ad HKx Quareριν I3. s. elementoruitu, erit, & sicut Κ ad G, sic aggregarum ex VN,hoc est M N ad aggregatum ex G,H Κ, de hoc iam fuerat de-
VNde manifestum est, quod si segmentum maius sit duplum minoris, tune adisclum est aequale toti graui uniformi: si triplum,tunc adiectum fit duplum totius: si quadruplum; tunc adiectum fit triplum totius,& sic deinceps: Item si segmentum maius sit sesquialterum minoris tune adiectum fit dimidium totius: si sesquitertium: tunc adiectum fit tertia pars totius: si sesquiquartum, tunc adiectum fiet quarta pars totius, itaque deinceps.
Crementa momentorum sunt proportionalia crementis spatiorum. SIt libra A C B. in qua punctum appensionis sit C; Graue autem D primum a princto A suspensumat oc est ad spatium A C aequeponderet primum graui Br deinde a puueto F ad spatium scilicet FC aequi ponderet graui B E: Adhuc a puncto Hadspatium H C aequi ponderet graui BEG: Dico iam quod crementa momentorum agraui D ad ea spatia factorum sunt spati;s ipsis proportionalia: Nam cum per hypo, thesim momentum grauis D ad spatium C A pendentis factum si aequale momento grauis B: Cumq;momentum grauis D ad spatium C F suspensi faictum sit aequale momento grauis B E: Cum denique momentum grauis D ad spatium CH ponderantis facta sit aequale momento grauis B E G: de-3 . huin, ipsa momenta B, B E, B E G
118쪽
DE MOMENTII AE ALIBUS LIB. I. ro 7
sint proportionalia grauibus ipsis B,B E,B E G: di crementa crinnentis: demo ultra dum est quod crementa horum grauium,quae sunt E. G sunt proportioiialia crementis spatiorum, quae sunt AF, FH. Itaque quoniam per momenta grauis Dadinaequalia spatia C A, C F. C H pe dentis facta lant pro potaionalia sp tiis ipsis: Ideo & momenta B, B E, B E G predictis momctis grauis D sit gula singillis aequalia , iisdem spatijs C RC F,C H erunt proportionali 2 Hoc est sieut spatium A C ad spatium C F,sic mometuum ipsum B ad momotum B E ι & eonuersun sicut spatiunia. F C ad spatia C A; sie momentum B Had momentum B&euersim sicut spatium C F ad spatium F A. sic mome tum BE ad momentum E. & similiter ostendam quod sievi spatium CH alH F, sic momentum B E G ad momentum G: Se disiunctim sicut 'atium C Fad j tium F H. sic momentumRE ad momentum G,&conuer cicut spatium H F ad matium FC, sic momentum Gad momentum BE; fuit autem sicut spatium CF ad spatium F A, sic momentum B E ad momentum Et Igitur ex aequali sicut spatium HF ad spatium F A,sic momentum Gadmomentum Er quoderat iam demonstrandum.
V me iam manifeste constat,quod si crementa spatiorum fuerint aeqiralia, de ero. menta momentorum erunt etiam inter se aequalia,& e contrario. Similiter autem ostendam,qum sevi spatia L Had F H,sic de momentum Κ ad moei mentum G δι de quocunque deinceps spatiorumcrementis, atque momentorum.
Si aequeponderamibus circa idem centrum aequeponderantia adiiciam tur,aggregata nihilominus aequeponderabunt
ab eodem centrois MusaA . Baequeponderent a puncto C: Peinureaden linest ηllicentur duo grauia D, E ab eodem puncto C aequeponderantia: Aio quod hora aggregata A E, de DB ab eodetapin C aequeponderabunt: Nam cuma momentum A fit aequale momento de momentum E sit momento D r Iam aggregatum ea A, E momentis aequale erit aggregato ex D, Bmomentia r mare per δή---, ipsum AE moment G
119쪽
ios ARCHIM. EX MAUROLIC. PROPOSITIO XXX XU.
Si atqueponderantium centro centrum tertij grauis cohereat; tria grauia nihilominus ab codem centro aequepo, derabunt. DVO grauia A,B aequeponderent a centro C: sit & ipsum C grauis D E centrum.
Aio quod tria pondera A, B, E Dab eodem centro C aequeponderabunt i stemtur enim graue E D in duo grauia equalia E, D, quorum centra sint E, D, quae per ro. huius, aequaliter distabunt ac5muni centro C: Et per x. E, D grauia ab ipso C puncto aeque ponderabunte
Itaque quoniam ipsis A, B a puncto Caequeponderantibus ad ijciuntur E, Dgrauia ab eodem C puncto aequeponderantia: Ideo per raredentem, aggregata A, & D, B ab eodem centro C aequeponderabunt: oderat demonstrandum.
Si duorum grauium commune centrum,st idem quod commune ce trum aliorum duorum grauium, illud idem quoque erit centrum aggregati ex quatuor grauibus. DVO grauia A. B commune centrum
habeant Cr Item duorum grauium
D, E commune centrum sit illud idem QAio quod & ipsum C erit centium aggru ti ex quatuor grauibus A,B,D, E tamquam unius: nam si C punctum non sit centrum totius A, B, D, E sit illud punctum F, & coniuncta CF producatur; quae quonia it per Fcentrum totius, & per C centru ipsus A, B, quae pars est: Ibit ire 7. huius, per centrum reliquae partis DE,ut pote G: Non erit emgo C centrum commune ipsorum D, E: . Qiod est contra hypothesim. Itaque centrum totius A, B, D, E non erit aliud, quam C punctum: Quod erat demonstrandum.
ET m disestum est ex ε. baias, quod stantibus suppositis C punctum est in com muni sectiqne linearum A B, E D. PRO Diqili od by Corale
120쪽
DE MOMENTIS AEQVAUBVς LIB. LPROPOSITIO XXXXVII.
Si centrum aggregati ex quatuorgrauibus sit in sectione linearum, quae
centra binorum oppositorum coniungunt; it Iud idem erit ce trum commune tam x duobus oppositis,quam illis. Sint quatuor grauia A,REa , ωlineae A B, E Dconivi mesoppositorum centra
secent se inuicem in puncto C, sitque pune nC centrumaggregatr ex grauibus Ri. Di Dico quod ipsum erit centrui commime ipsorum AB rem C erit centrum commune ipserum D Et Namsi, Cnon sit centrum communeipsorum Α,B sit ergo F, erit quippe in linea A Bρον σι ι iun ine FC producta ibit per centrum commune ipsorum D, Eper ' quoasit G. It/que centrum ipsorum D, E non erit in , Iinea DE lugente ectra,Qtuodper Sest impossibile: Igitur non erit aliud,quam C piractum commune centriin ipsorum A, Br&per eandem ostendetur non esse aliud qu1idem C punctumcommune centrum ipsaerum D, E: Qupd erudemonstrandua
Si fuerint tres magnitudines , & quae ratio est excessus secundae super primam ad primam,ea sit ratio excessus tertiae super primam ad aggregatum ex prima, & secunda s. continue
proportionales erunt magnitudines. Hiri est conuersa 4r. huius. Sunto tres magniturines G, ΗΚ, L MN, ita ut GD,L sint inter se aequales,& Κm aequales : Vnde Κ eruditarentia primae ieculidae, M Ndisserentia prime.& tertiae; Sitque sicut Κ ad G sieM N ad GHΚr Aio quod tres Gmagnitudines G. HK. LMNsunt cotinue proportionales;hoc , H . Kest,sicut G prima ad FI K secun- .