장음표시 사용
91쪽
pincto M irinis diametri secatur in duo segmenta, quorum ratio est, quae CE ad ED. Quod fuit faciendum. Haec propositio lampta est ex Dionysodoro mathematico am. liquissima , ut tradit Eutotius Alcalonica in commentariis Archimedi*.
Pyramis, & Conus sub aequis fastigiis sunt ad inuicem sicut bases.
SIt Pyramis A C super basim rectilineam A. Item conus B GF super circulum BGeiusdem altitudinis; Aio quod sicut est rectilineum A ad circulum B G,sie est Pyramis A C ad conum B G F: sit enim, si possibili est, Pyramis A C ad eo num BG Psicut rediit ineum A ad circulum maiorem, minoremue ipla circulo B G. Et primo minorem.qui sit DE concentricus ipsi B G α ipsi BG inscribatur rectilineum polygmnium per i 3. ia. laterum minitiae tangentium circulum D Ei & sit per rectili nolim B G intelligatur Pyramis eiusdem altitudinis cum cono BμFAiusdem verticis: erit.
que peri . ia . sicut rectili laeum A ad rectilineuiu B G, sic pyr inis ' C ad pyramidem B G F: sed per η. s. maior est proportio rectilinei A ad circu miri D L, qua rectilinei Rad rectilineu B G. Igitur maiore rationem habet per i a. .pyram. A C ad conu B G F, qua pyramis A C ad pyra- .mide BGF: Ergoper IO. . pyramii B G F maior est cono BGF, pars toto, quod est impossibile. Non est e go pyramis A C ad conum B GF, si xit rectilineum Aad circulum aliquem min rem B G. sed nec maiorem: si enisti, breuitatis causaeis, circulus, conuique propositus P EF ciusdem altitudi- I nis cum pyramide A C. Aio quod pyramis A Cadeonum D EF non erit sicut rectilineum A ad circulum quempiam maiorem ipso D E circulo, ut puta ad circulum B G. Ponatur enim B G circulus ipsi D E concentricus, & inscribatur, ut prius circulo B Grectilineum laterum minime tangetium circulum D E, & super rectilineum B G intelligatur pyramis eiusdem verticis cum cono D E F. It que quoniam sicut revilineunti
A ad circulum BG , sic pyramis A C ad conum DEF: &per 3 ra. sicut rectilineum A qd reήtilineum B G,ia pyramis A C ad pyramideis B G F, tque maior est ratio resti linei A ad rectilineum 3 G quam eiusdem reollinei A ad ςirςulm B G per ossa jam s. Uropterea per Ia. I. maiorem rationem habet pyra inis AC ρd pyramidem BGF, quam eadem pyramis A C ad conum OEFt Ergo 'ν xo. s. conus DE F maior est pyramide BGF, pars toto; quod est impossibile. Similiter non erit pyramis A C ad conum BGF sicut rectilineum A ad circulum quempiam maiorem ipso circulo B G: sed nec minorem, ut suit ostensum: Superest ergo vi pyramis A C ad conum B G F sit scut rectilineum A ad circulussi ipsum B G: quod est propositu .
92쪽
M tastum est est ergo quod prisma,& efindrus sub aequalibus fastigijs sunt ad
inuicem sicut bases: Namque tam prisma ad suam pyramidem per 8. i a. quam cylinurus ad suum conum jer s. eiusdem triplus est.
ITaque pyramis, & conus, quorum bais,&cplsitudihes sunt aequales, erunt ad intvicem aequales . Hoc idem de prismate, dc cyliadro pronunciandum. .
Pyramis, & Conus super aequales erecti bases sunt ad inuicem sicut celsitudines. ΡYramis A B, & corius G D stent super aequales bases B, D,existentibus scilicet rctilineo B, di circulo Q aequalibus; sintque pyramidis, di coni celsitudines A RG D: Aio quod pyramis A B ad conii G Dest sicut eelsitudo A B ad celfit dinem D G: navisi celsitudines tales int aequales patet
Propolitum per c ro rium primum praeerimis. Si inae-
quales, tunc super circulum D constituatur conus eiusde altitudinis cum re ramide AB, qui sit conus ED, eritque 'perpramissa coram-rtasA B aequalis cono E D i Sed ' xl. x a conm E D 4 do E D ad celsitudinem G D:Ergo & pyramis A B d- ideo sicut celsitudo A B sunt .na quales ad celsitudinem G D: qnod est propositu. COR O L 'L A R,I V M. MAnifestum est ergo quod prisma quoque, &-super aequas
93쪽
Pyramidis, & Coni ratio componitur ex basium& celsitudinum rationibus. SIt Pyramis A B, cuius basis B, & celsitudo A B: Item conus G D , cuius basis D,& celsitudo G D. Aio quod ratio pyramidis A B ad conum G D componitur ex ratione basis B ad basim D, &ex ratione altitudinis A Bad altitudinem G D. ponatue enim conus E Z super circulum Z aequalem circulo D: vel pyramis E Z super basim Z aequalem basi D, cuius altitudo E Z sit aequalis altitudini I. AB,eritque per 33. praemom, 'pyramis A B ad conum E Z, vel fer 8. II. ad pyramidem EZ, sieut balis B ad basim Z,&per xl. ia. Si EZ sit conus velper prvinissam si sit pyramis. erit. Conus E Z, vel pyramis E Z ad conum G D, sicut celsitudo EZad celsitudinem G Dr Verum . ratio pyramidis A Bad conum GD componitur ex ratione Pyramidis A B ad eonum, siue pyramidem E Z. & ex ratione coni, siue pyramidis EZad conum GD Ergo eadem ratio pyramidis A B ad conum G D componetur ex ratione basis B ad basim Z, vel basim D scum sint aequales & ex ratione celsitudinis E Z vel celsitudinis A B .cum sint aequales,ad celsitud, nem G D: Et hoc erat demonstrandum.
MAnifestum est ergo quod similiter prismatis,& cylindri ratio ex basium.&celsitudinum rationibus componitur: cum prisma pyramidis cylindriuconi lit triplus.
VNde facillime sequitur. vi pyramis, & conus, quorum bases sunt fastigiis reciprocae sint inuicem aequales: eontra si pyramis, & conus ad inuicem axtiterint aequales, eorum basus erunt falligi, reciprocae; & hoc idem de pri sinate. & cylindro
Sphaera aequalis est Pyramidi, cuius basis aequalis est sphaericrsuperficiei, celsitudo autem lphaerae semidiametro .
Esto sphaera A, pyramis autemP, basim habeat aequalem superficiei sphaerae A; celsitudinem vero aequalem semidiatro sphaerae A. Aio quod aequalis est P pyramis sphaerae A. Sit enim conus Μ basim habens aequalem superficiei sphaerae A,celsitu dinem
94쪽
. . , DE SPHAERA, ET CYLoidis, LIB. H.
metro sphaerae Αr Iraque Ppyramis, & Μ conus, de bases, &cessitudines inuicem aequales -- habent. in uestera corauar- , P3 3. praee entis. aequalis est PPyrmiscoao M: Sed conus M o. aequalis est sphaerae Ai Ergo α Ppyratuis aequalis est sphaerae A: quod est promsitum
VNde manifestum est quod Prisma,cuius basis aequias est supereeiei Sphsrλeeui autem aequalis se ametrosphaerae,est triplum ad sphaeram: quoniam Perg. I .ralaprismatrisum est suae pyramidis, quaeae ualis ea sphaerae
vare prisma, euius basis aequalis est superficiei sphaisae, cessitudo vemtoti . pars semidiametri sphaerae est aequale ipsi spliωα. M
tay suoniam superficies sphaeraeρον ro. Mius, aequalis est rectangulo, quod fit ex diametro sphaerη in peripheriam sui maximi circuli: ideto sphaera amiali, estei
Sector sphaericus aequalis est pyramidi,cuius basis aequalis est basis ricae sectoris, celsitudo vero semidiametro sphaerα F .a. Si sector sphaericus IA,pyramis autem P habeat basim equa- Iem sphaericae basi s ctoris Reelsitudinem autem semidiametro sphaerae, cuius est socior A. Aio quod pyramis P aequq ἔ- η ipsi
95쪽
ipsi A sectorii Sit enim conus M, euius basis aequalis sit sphaericae basi sectoris A, eel Ludoveris semidiametro sphaerae: Eritq;pera. corollarium 33.ibulus,pyramis P aequalis cono Μ. sedeonus M per3 o. aequalis esuectori A: igitur&pyramis P'aequilii eststctori Α: quod erat propositum.
Nde manifestum est quod prima, euius basis aequalis est sphaeseae basi secto is sphaeriei. cellitudo autem squalis semidiametro sphaerae est triplum ipsius se 24.
ris: quandoquidem per 8. I 2. tale prisma triplum est suae pyramidis, quae aequalis est sectori. Quare prisma, cuius basis aequalis e, sphaericae basi sectoris sphaerici, celsitudo autem tertia pars semidiametri spnaerae, aequale est sphaerico sectori dicto. . st Et quoniam bafis sphaerica sectoris sphaerici per erealiarium 16. huius, aequalis esteireulo, cuius semidiameter est recta, quae a vertice segmenti sphaerici ad periphetiam hasis: hie autem circulus per . in dimensione circuli, aequalis est tectansulo edat emo sub sua semidiametro, dc dimidio periphoriae. Ideo parallelepipedum solidum, cuius basis est dictum rectangulum, celsitudo vero tertia pars semidiametri sebaerκην de
MAnisestum est erso quod ex ductu semidiametri sphaerae in basim spistic viseetaris sphaerici producitur trietum sectoris. Ex ductis Iem tertiae partis semidiametei.indictam banum prodccitur Iector ipse.
Sphaera ad bum suae diametri rationem h bet, quam di undecim ad unum, de viginti sere. I
It sphria A. eubus R, euliis latus aequum sit diametro sphistrae A. Aio quod 'hmo ra A ad cubum R est fes sicut tr. ad. ar. quω sic concludam. Sit cylindrus
b, cuius basis diameter diametro sphin r* A, dccelsiuido eidem diametro sitaequalis. Itaque prismatis R. & cylindri Scelsitudo est una. .aare per corosiWium 33. bulas erit sicut basis prismatis R ad basim cylindri S, sie prisma R ad cylin- tum, quod eic diametro basis cylindri Restq; per 8. de dimensione risesb. quadratum, quod ex diametro circuli ad circulum sicut i . ad tr. sere. Igitur priλα, R ad cylindrum S est sere sicut i . ad II. pereeroliarisis aurem 26. Duas, vel pera8. cylindrus S sesqui iter est ad sphaeram Ar&ideo sicut at . ad i . Ergo per 'a 3. .eX aequa proportione erit tamar. adii. Sic cubus Ra1 sphaeraam A: quod
est propositum. -- - - - - - .
96쪽
MΑnifestum est ergo qσω si . sphaerae sunt aequales a ta cubis, qui fiunt ea diametro sphaerae : Paternam ρθρ missam si aera ad cubum suae diametri est Muti x. ad ar. Ergo 3.-nti Ir. hil raeadri. cubossunt sicut tr. adii. Ergo conuersim I r.eubi ad ri. simaeras sunt simia r. ad ra. sed a1. sphaerae ad i t. sphaerassum Mutar. ad ir agitin xx Ahaerae eam habemtationem ad i i. sphaeras, quam 31. cubi adeasdem ii. sphaeras : 13reler s. p. am a r. l Hae pes les LM.AM cubiti qui ex diametro sphaerae
VNde manifestum est si cubus, qui ex diametro cuiuspiam sphaerae multiplicetur undecies, produm pars a ι. erit solidum sph ς τcontra si sp ta viciem semel multiplicetur producti pars tr. erit cubus,qui ex diametro sphers . Sed bete supponuirationem pmpheriet ad, diametrum tripum se ui septimam: Quod si inrisieris ad
diametrum ratio supponatur tripla seperpartiens quoniant tunc per x' dedimen 'neci cali, quadratum, quod ex diametro circuli ad ipsum circulum sicut ag adaa 3. depera8. harus, sphera ad cylindrum est sicut 26. ad 28 . scilicet sesquialterata. Ideo ex 23. ex arar- 'mersim proportione , erit sicut 416. ad 223. Sic cubus R ad sph ram A. mobrem tunc γλ sphcrς erunt squales eu bis 22 3. qui fiunt ex diametro spher , quod sequitur ex dicti argumentatione de ii cubus . quirix diametro spbρος multiplicetur aet s. producti pars 16. erit solidum sphςrς. Contra si sphς-ra 16. multiplicetur, produ*pars a Metrit cubus. qui ex diamerro spbςrς. Verum prima suppositio, quςfacit peripheria ad diametrum esse triplam sesquis eptimam, facit & sphetram aliquantoniatium vero; uteraaut i,quet peripheriam ad diametrum prostri triplam superpartientem S faeit sph am aliquanto minorem veritate. Non enim licuit in hoc pune rigeometricum attingere,no ipsi quidem Archimedi,quanis
FINIS. Mea me ro. Septembala octauς Indictionis
97쪽
I. T F Niversale tentrum est punctis ΚΗΛ quod unumquodque grauidinmaturaliter.
II. Hotia est planitin, cui perpendicularis est recti , quae a puncto quopiam ita centrum uersale dis it o D. I. III. Magnitudo rei est eius dimensio iuxta unam, vel duas, vel tres longitudines.
F. Vnde magnitudinum aequalium pondera interdum sunt inaequalia ; ite contrario ponderum aequalitan magnitudines quandoquesita inaequales. ' VI. ν Centrum magnitudinis est punctuim equaliter rediorum ab extremis incen-
trum circuli, aut sphaerae.Iut figuraesolidi egularis. ' . . -
XI. Grauia vero aequε pendere, seu aeque ponderare dicuntur,cum ab aliquo puncto appensa ita pendent, ut recta quae grauitatum centra, vel appensionum puncta coniungit horiZonti. aequi distet. . I . :XII. Maius autem momentum est ponderis, quod deorsum inclinatur. XIII. Signum auTra appensi uis aequ bri, punctum vocatur.
I. Raue quodpiam a puncto quolibet suspendere, ut liberε pendeat. II. T Centrum grauitatis ad centrum uniuersale, quantum possibile est, proxima
III. Si grauium aequE pendentium alteri quid adiectum sit; idem deorsum inclinari, reliquum sursum ferri. IV. Contra si grauium aeque ponderantium vni quid auferaturi idem sursum relicquum deorsum serri. V. Si duo grauia aeque ponderent; & duo quaelibet eis aequalia singula singulis ad eadem spatia aequh ponderabunt. VI. Figurarum sibi inuicem eongruentium congruere, & grauitatum centra. XII. Figurarum similium centra similiter posita esse: hoe est quemadmodum figurae
98쪽
similes sunt, ita grauitatum centra cum terminis respondentium connexa laterum limitia conficere triangula. XIII. Centrum grauitatis esse intra rei grauis ambitum.
Propositiones, quarum quaedam sunt Theoremata, quaedam Problemata.
PROPOSITIO PRIMA.A punio quolibet ad horizontegi perpendicularis linea
producta in centrum uniuersale cadit. A punto quolibet, quod sit A cadat linea quaepiam A B ad . ihorlZontem ipsius punii perpendiculatis, Aio quod AB At,
producta incentrum uniuersale cadit Nam si A B producta incen. Irrum Piuersale non cadit I sit ergo extra ipsam uniuersale cenis ' Ρ, a quo ducatur ad A punctum recta CA: eritque per dissinitionem horizontis A C ipsi horironti perpendicularis. Fuit autem A B eidem horizonti perpendicularis: Igitur per o. Ir. -- mentorum Eaesidis . a quid istantes sunt B A, A C Iineaei Coincidunt vero, quod est absurdum: Non igitur est centrum uniuer- Iale extra H B uneam: omnino ergo in ipsa AB linea producta cadet : Qu9d fuit demonstrandum. BI
PROPOSITIO II. Si grave a punino quopiam suspendatur, ut liberὰ pendeat; centrum
gravitatis erit aut in suspensionis punisto, aut in linea, quae a puncto ad homontem perpendicularis ducitur. GRaue quoddam A suspendat per primum tofutitam. a p,
A cto But libere pendeat,&ab ipso puncto B ter II. II De pendicularis ad horiZontem ducatur linea BC Aio ouod ita A grauitatis centi' est, aut in puncto B, aut deinceps in ipsa B C linea i Nam si in ipsa B C linea non est, sit, si possibiIe est. ex. rea ipsam in puncto D, & in plano per lineam B C punctumcu D producis coniungatur BD: positoque centro B spatiouue BDeirculi peripheria describatur A D secans lineam BC in puncto A. Et quoniam ter praee - . linea BC producta it per cenisuum uniuersale sit in ipsa uniuersale centrum C punctum:& e ningatur C D: Eritq; er 8. 3. Eaesidis linearum, quae a puncto Cad peripheriam A D applicantur, ipsa C A breuissima . Cumque graue Α- pendeat a punisto B, poterit centrum grauitatis D.
ad potest accedere ἐν proximi autem accessus punctum est A: Igitur ipsum C uniuersale centrum: quod est absurdum per a sostia rum. Non erit ergo ipsius A grauitatis cetrum extra B C lineam PRO
99쪽
88 ARCHIM. EX MAVROLIC. PROPOSITIO III.
Si oratio quodpiam ita locatum sit, ut a puncto quodam ad centrum iratuitatis aeta perpendicularis sit ad horitontem;graue siue a pu-' cto tali, siue a centro suspensium ita pendebit, Vt locatum est.
ESto Erauis cuiuspiam Α, centrum A ita iam locati, ut a puncto quodam B ad centruna ipsuin acita linea B A perpendiculariter maneat horizonti: Aio quod graue A suspensum ab ipso B puncto ita ' det, ut locatum est Nam lacus pendeat, si possibile est, ita ut non BA, sed ut BClinea sit perpendicularis ad hori Zontem: eritq;per pra-cerintem,centrum grauitatis in ipsa B C linea; quod est cotta hypothesim: Igitur graue A suspensum a puncto B non aliter pendebit, quam existentes A linea perpendiculari adhort-1ontem, & perinde A graue in tali situ locatum pendebit od ii graue A suspendatur ab ipso A centro: tunc quoianiam A suspentionis punctum supponitur immotum: nequGipsum A centrum mouebizur, & perinde in ipso, in quo locatum eli, titu pendebit: Et hoc proponebatur dei nonstrandu.
EX quibus quidem manifestum est quod recta, quae a suspensionis puncto ad centrum grauis suspensi semper est perperidicularis ad librizontem.
Si graue bis stispendatin , perpendiculares a suspensionum punctis ad horitontem, se inuicem super centro suspensi intersecant. .
GRaue quoddam A suspendatura puncto B, a quo perpendicularis ad ho Momtem aoatur BC: suspendatur&a puncto D, a quo&ad horizontem perpendicularis descendat D E: Aio quod lineae B C, D E se vieissim incentro grauitatis A secabunt: Nam 8cr 2. centrum grauita- lotis est in linea BC, est &m linea D Et omnino igitur lineae talesie vicissim secabunt . vi stet centrum in earum communi sectione, fcauod sit A: sicut Pi Dp ni uri . - Vel aliter: sit grauitatis centrum A, quod coniungatur cum
ounctis B, D, ut cumque relictis i & suspendatur graue a puncto l . B: Ociue per praemissum coroliarium, B A perpendicularis ad horizontem. Suspendatur item graue a puncto Diς ixqvς I A perpendicularis similiter ad horizontem: Itaque a punctis duarum suspensionum B, D, ad horizontem perpendiculares duinctae in centro grauitatis A coincidunt. Quod iusi demqnstrandum.
100쪽
v Tmla si graue quotiescumque a quibuscumquepunctis suspendatur,omnes at V pensi um punctis ad horizontem in diuersis sitibus actae Perpendiculares inuleem in ipso iuspensiceatro intersecabunt.
Propositi grauis centrum inuenire. SP graue propositum A: oportet in ipse A centrum grauitatis
comperire. Suspendatur Arripuncto vir M; relicto diducaturq;ad horizontε perpendicularis DC RurAsu iuspendatur,& ab alio puncto D,& perpendicularis ad horiaωtem ducatur DE: quae perpendiculares raradentem .se invia. cem in centro grauitatis,quod si A, secabunt. Itaque A erit ce trum grauitatis, quod comperire oportuit. Atque hoc quidem. praecepto centrum grauitatis io quis mei graui comperietur, siue graue propositum in planum, siue solidum, siue regulare, si qua uaque sorinae, nihil interest. .
Centrum totius est in rem coniungente centra parsum Totum graue sit AB. partes eius A & B. centra grauitatum partium A,2 .
puncta A, B aconiungatur A B: aio itaquE quod centrum totius A B est in ipsa recta linea A B; collocetur enim graue A B teain linea AB sit perpendicularis ad horizontem ἡ & in tali situ suspendatur pondus A ; pendebis namque per 3. Mi Lita iocatum est. Suspendatur stem graue B ab ipι et . puncto A, pendebit enimper 3.uc similiter, ut loca,tumesti Et totum ivitur A B iis pendebit a puncto A, vosuit locatum; titit autem A B posita perpendiistularis ad horizontem a Igitur per x huius, Centrum grauis A B suspensii puncto A in i pia est A B line :Quod erat demonstiandan C A iter sic. Sit, si possibile est, eentrum grauis A Bextra A Blineamia puncto Ct de .coniungamur ACB C, & exponantur duo grauia D, E ipsis A, B singula singulis aequalia;ci in eodeminteruallo D Ei de ipsi ABC triangulo aequilaterum triangulum sit DEF. atque triangulum ABGt ita enim coaptatis triangu- Ii, A BC, D E F, congruet graue A graui D, atquq oi graue B graui E. propter aequalitatem, dc suntlim 1 . . . . inem quae supponenda est de centru. a grauitatis C congriret punctos. Q are quo niam congruentium graui uin congruunt grauitatum centra; estinae grau s AB co grum C, eritiam degrau:s E cemum P. congruat vero rursum triangulum D e F triangulo A RG. Rursus enim δι grauia D. Egi auibus A, B commutatis lateribus. propter v dormitatem squa iupponitur cospuent zTunc ergo centrum grauitatis PM puta