장음표시 사용
121쪽
Unisorme graue sic constituere,ut in spatijs momenta ferat aequalia unucuique multiplici dati ponderis usq; ad multiplex dati numeri.
EXempli gratia, sit datum pondus G,datus numerus denarius; oportet constituere uniforme graue, ut in si, alijs strat momenta aequalia duplo,triplo, &deinceps viq; ad decuplum ipsius Gi A dato numero subducatur binarius, & relinquitur octonarius;huius binarius pars est quarta: Sit ergo uniforme graue A B quarta pars dati ponderi. G,quod secetur apud Qita ut B C sit quinta pars reliqui C A. quota scilicet fuit binarius denari j: Mox secetur C A in partes aequales o quot unitates in Luo n. mero, secetur & B C per
ipsi G dato aequale, quibus i Q 'Ty-s
peractis, habebimus tres AE AE . S m l Tmagnitudines primam viis delicet graue B C secunda graue C A, tertiam aggregatum ex BC&F. Estque excessus lacundae C A s
per primam B C quadruplus ad primam B C qua-doquideA AC quintupla ipsius B C Itemq; F exiesislus tertiae B C, F super primam BC quadruplus. ad A B aggregatum ex prima,& secunda: Igiturperpr cedentem, hae tres magnit dines sunt continue proportionales , hoc est sicut
Faue BC ad graue CA, sie graue C A ad aggregatum B C, F. .ramobrem per A t. hums, si suspendatur libra a puncto C graue B C . F aequeponderabit graui A C: ce igitur A Caequeponderat ipsi F quoa est equale dato ponderi G. Appondaturitaque a puncto E deeem grauia singula ipsi F, hoe est ipsi G aequali v res podentia totide spatiis, in quae lacta est C A apud A, LO,Vm,TZ, A puncta. & appendatur graue G a puncto Q: Cum enim A C. graue aeq-ponderet ipsi B F.&graue Gaequeponderet ipsi reperi S. -υ. I mper ΑΑ. vel O. tota libra aequeponderabit: Et perinde pondus Ga puncto Q. Hipentum contraniretur appenso FH quod duplum est ipsius G dati; deinde pondus G ppeninma puncto R quoniam R C spatium duplum ipsius spatii CE iam tr33. Mquepqnderata graui HI sibi duplo, & ideo per η .via 6. tota libra aequependebit Quare
122쪽
DE MOMENTIS AE ALIBUS LIB. I. I Ix
inre tune pondus G contranitetur appenso F H I,quod triplum est ipsius G dati. Sia militer pondus G appensum a puncto Scontra nitetur appenso FHIK, quod quadruplum est ipsius G. Apuncto deinde T seretur quintuplum eiusdem,hoc est totius F H l Κ Li a puncto D sexcuplum,hoc est F HI K L M. a puncto V septuplim,quod est ipsum FHIKLΜN. a picto X o,stuplum,quod est ipsum FHIKLMNO.apu- Y nonuplum,quod est ipsum totum FHIKLMNO P. a puncto Z de pluvia. quod est ipsum FHIKLMNo P . . a puncto A undecuplum . quod est ipsum F HIKLMNOP. Ωἰ sed a puncto A quod est extremum baculi non solet appendi p5dus G; sicut neque F cum suis appenditur ab extremo B Itaque usque ad decuplum ipsius F, hoe est G dati ponderis, crescit ipsius G ad alia, de alia spatia pendentis m mentum ; dum uniforme graue A n suspenditiit apum C quod proponebatur faciendum. Quod si F ponatuedupIum ipsius G momenta spatisrum inciperet a tripla,& deSnerent in undecuplum Si F ponatui triplum ipsius G momenta initium sumerent a quadruplo. de desinerent in duodecuplum p & ita deinceps: Nec secus faciendum . quocumque pondere, numeroque datis. Hinc oritur tota ratio staterae, & sacomatis. Verum si per eo negotiocaetera, quae non pauca proponi,& quaeri possunt, mechanicis indaganda relinqui mun
Libri primi de Momentis aequalibus Castello aγώ. Decem. die Martis M. D. XLVIL
123쪽
L I B E R S E C V N J V S. Propositionum, quarum quaedam sunt Theoremata, quaedam problemata.
Centrum grauitatis circuli est idem quod ,& magnitudinis. IN circulo A B centrum grauitatis sit punctum C: Aio quod C punctii est i psum circuli A B centrum: exponatur enim ipsi A B circulo aequalis circulus D E, in quo centrum grauitatis sit F ἐν & per ipsa C, F puncta ducantur circulorum diametri A B. DE, quae aequales erunt, quandoquidem aequales sunt circuli: Coaptetur igitur cio. culus D E circulo A B, ita uti diamete; DE diae
mea o A B congruat. runceim,. ioniam per sex postulatum, congruenti ulli figurarum congia nar centr i grauitatu 1n: congruet iam pun- et a m F oudet a C. de linea D Flinete A C. delinea P E li leae C B congruet: Commutatis au-icua dis .netrorum extremis, ita ut superiora Inferti ibus cogruant, hoccst, ut punctu AD puncta B, atque punctum E puncto A conueniat, ac rursum circulus circulo coaptetur: rursum lania
congruet centrum F centro C,& linea D F lineae C B eonueniet,&reliqua res iquae: Itaque I mea D F, quae cori gruebat in prima circulorum coaptatione, lineae AC nune in secunda congruit lineae Cittaeqnales ergo sunt lineae A C, C B, Vtq iae in ensurantur ab eadem linea D F: Et perinde cum diameter sit AB,erit C punetum centrum circuli A B: inod erat demonstrandum. Idem aliter demonstratur sic: Coaptetur circulus D E circulo A B ita ut diameter D ndia me: rum AB secet; & quoniam peνδεκροί uiaram, congruentium figurarum grauitatum centra, congruet iam centrum grauitatis F centro grauitati C, dc propterea diametri secabunt se vicissim super puncto C, suntque diametri A B, D E eiusdem circuli,quandoquidem congruentibus periferijs,unus fit circulus; diametri autem iecδnt se ruper centro: Igitur C centrum magnitudinis est circuli AB: sicut proponitur demonstrandum.
Centrum grauitatis recti linci . equi lateri, & aequianguli est idem, quod& magnitudinis.
SIt triangillum aequilaterum, & ideo aequiangulum A B C,cuius grauitatis centrum sit D. Aio quod Dest centrum magnitud in is trianguli A BC, hoc est centru cim culi circumscribentis triangulum: exponatur enim ipsi ABG triangulo equilaterum trigogulum E F G in quo centrum grauitatis situ,&coniugantnt centra grauitatum
124쪽
DE MOMENTIS AEQUALIBUS LIB. II. r 3
D, Heum angulis,& eoaptetur triangulum E FG triangulo A BC, ut phnciam Epumsto A punctum F puncto B, α punctum G puncto G confruat, sic enini linea E H cono ruet lineae A D, & linea F H lineae B D, & linea G H lineae D C, quandoquidem persexta centru grauitatis id congruet centro Srauitatis D, constuentibus iam figuris. Rursum commutatis angulis coaptetur triangulu E F G tria gulo ABC, ita scilicet, ut angulus F a gulo A, angulas G angulo B, dc angulus E angulo C congruat: Sic enim rursum congruet per victum sulatum, centrum grauitatis H centro grauitatis D; &ideo
linea F H cogruet lineae A D. linea G Hlineae BD, linea EH lineae CD: quamobrem linea FH, quae in prima tria gulorum coaptatione congruebat lineae B Di nunc in secunda, congruet lineae ADt Igitur lineae A D, B D sunt aequales quNdoquulem ab eadem linea F H mensurantur. Item linea G H, quae prius congruebat lineae D C,nunc congruit lineae B D,&ob id lineae B D. D C aequales,quandoquidem eidem G H cogruunt: Ergo omnes tres lineae AD, BD, DC hiat aequales: Quapropter punctum D centrum magnitudinis est in triangulo A BC, quandoquidem aeque remouetur ab extremis: Similiter idipsum demonstrabimus in quacumque ligula aeqvilatera,& aequiangula: iod quidem proponebatur demonii andum.
VNde simul manifestum est, quod in omni uuta aequi latera, & aequiangula centrum grauitatis, & centrum circuit circumseribentis Muram ipsam est.
PROPOSITIO III. Centrum grauitatis in parallelogrammo est punistum, in quo dia-
- meter per aequalia secatur. SIt parallelogrammum A BC D, in quo diameter A C secetur per medium in pu Er Aio quod E centrum grauitatis est parallelogrammi A BCD: Namqui perallelogrammum A BC per dilfinitionem,graia uniforme est: agatur igitur per punctum E linea ipsis BC A D lineis aequid istans F E G,quae ρer a sex Exeuis secabit per aequalia tam latus A B.quam latus C D: Vnde triangula A E R C E G inuicem aequilatera erunt,& ideo linea F E aequalis lineae E G: cu me F G sit axis ipfius grauis unikrmis ABC: erit perbas. praceriaris obesu, E ceiurum ipsius grauis A BC: Q 'd fuit demonstrandum. Sed & aliter idem demonstratur sie, Sit in s. praeei Distis, inuentum in triangulo A BC centrum gravitatis H, & in triangulo C D A centrum grauitatis K , & coniunt gantur H E, E K: Iam triangulum C D A super. positum triangulo A BC congruet, quand
quidem inter se aequilatera sunt: Quare per ε. posuistum congruet centrum Ic centro H, & linea ΕΚ lineae EH: aequales ergo erunt anguli C E K A E H ut qui coaptati conoruanr: sed pe II. primi Euctiris, anguli CE Κ, ΚΕ Asimul
125쪽
E H. K E A simul aequales sum duobus rectis Quare per ι . primi Euelidis, lineae H E, E K sunt una recta linea & inter se aequales, quoniam congruunt: Sunt autem triagula A B C, C D A inter se aequaliar & ideo
per i 6. racidentis, aequaliter distant eorum cenistra H,Κ a comin uni centro,quod per λ erusdem est in linea HK: punctum autem in linea HK, a
quo centra H Ic aequaliter distant, est punctum E: Igitur punctum E est commune centrum idisorum trianguloru A B C,C D A, hoc est parallelogrammi A B C D: Quod erat demonstradu.
Centrum parallelogrammi est in sectione diametrorum. Sto parallelogrammum A B C D, cuius diametri A C, B D se vicissim secem in
pusulo Et Aio quod E punctum est centium grauitatis parallelogrammi: Nam pro ter aequidistantiam linearum triangulum A E Baequiangulum est triangulo CED: & per 34. pram, Eaclidis,latus C D aequum lateri A B: Igitur triangulum A E B aequilaterum triangulo C E D per a 6. eiusdem ; Itaque latus C E aequale lateri E A: N perinde diameter A C per aequalia secatur in puncto Erper praecedenIens ergo punctuin E centru grauitatu parallelogrammi AB Cest: Quod fuit demostrandum.
Si per centra partium,& centrum totius tres aequid istantes lineae ducaa-tur,quae per centrum totiuS media erit linearum; Se omenta autem cuiuslibet lineae sectae ab aequi distantibus inter aequid istante S recepta erunt grauibus vice versa proportionalia:
Vnde s grauia sint aequalia: segmenta praedicta
aequalia erunt: & e contrario. DVorum grauium partialia centra sint A, B. commune vero centrum eorum tamquam unius sit C: ducantur per tria puncta A,B,C tres aequidistantes D A, E NE U: Aio quod harum trium linearum media est F C,quae per centrum totius: Item super in- mducatur aequidistantibus utcumque linea DFE: ---- ,
Aio quod sicut est graue A ad graue B. sie est spatium EF ad spatium FDi eoniugatur enimia Z H C AB eritque per 5. r.ecedentis Iuri, centrum C di/ l lain recta A B: & perinde F C media est inter ip- sas A D. B Et 'd est primum: Alterum sic p
st A ad graue Β, sie spatium B C ad spatium C A: ergo & sicut spatium E F ad spatium F D; sie graue A ad
126쪽
uraue B: .i'dest propositum: Si vero DF Enon sit aequidistans ipsi A B, tune d iratur DP G ipsi AB aequidistans,intque,ut iam ostem tu ne si sicu' graue A ao graue Β, sie iam C, H ad FI Di Sed per a .sexsi seruos sicut G H ao H D. sic E F ad F Di EOgo sicut E F ad F D , sic graue A ad graue B r Qi'd erat dea strandum.' Corollaritim autem,quod insertur,est per se manifestum. ι
Si per centra similium triangulorum squidistantes correlativis lateribus aganrur, actae ad eandem rationem secabunt reliqua latera.
SVnto duo triangula similia ABC, cuius centrum D,de E FG, cuius centium H. & per centra D, H ducantur ipsis AC, EG basibus eorrelativis aequi distantes Κ D L.M H Nleeantes apud Κ, L.M. N triangulorum latera . Aio quod Mul A Κ, ad ΚΒ sie EMad MF: eoniungantur enim ADBREH,HReruntque per i latum, triangula A D B, E H F similia; quandoquidem iiiiii lium triangulorum AB E F G,cetra sunt D HIIgitur anguli B A D. F E FI aequales: sed anguli B AC , F EGErgo anguli DA .H EG residui aequales Sare,& eorum coalterni A DK, E H Maequalcs: Vndo in triangulis A DR, EH M reliqui anguli A K D,E M H lunt aequali fr Similia igitur sunt triangula AD K, EI I xl quando in quiangilla sunt: & perinde residua trianingula K D B. M H F aequiangula, & periade smilia inter se sunt . inimobrem per
sex Eucliau, eorum latera proportionaliar
IIe est in triangulis A D Κ EHM, sicutia in est A ad E M sie R D ad M H : In triangulis autem x DB, M H F, sicut est ΚDad M H sic Κ Bad M Fi igitur sicut ΚBad MFfie A K ad EM: & pei nutatim: sicut A K ad KRsie E M ad MF: Q sia fuit demonstrandum:& aera. ρκ Euctidis, ad eamdem rationem secantur latera reliqua DC,FG, in ipsis L, N punctis: quemadmodum
Si a relativis angulis simiIium trian- gulorum per centra grauitatum rectae agantur: acte ad eamdem rationem secabunt opposita latera. SVnto similia triangula ABC, cuiusce
triim D.& E F G.cuius centrum H,& ab ansulis aequalibus R. F per centra D, H aga tur rectae B D Κ,F H L coincidentes oppositis lateribus apud Κ, L puncta: Aio quod portiones A K, K C proportionales sunt porti
nibus EL, LG: Coniungantur enim AD,
127쪽
E Hr eruntque pre 7. triangula A BD, E FH similia: Quandoquidem si nil iutriangulorum A BC, EFG centra sunt D. Hi Ergo angulus A DB aequalis angulo E H Fi& angulus B A D aequalis angulo FE Hr Itaque supersunt imagula A DR,EHL aequi an
Si per centrum grauitatis trianguli linea aequid istans uni laterum, & re- Τliqua secans ducatur ; & in triangulo simili linea correlativo lateri aequi distans ad eandem rationem secet
latera, ibit per centrum. SVnto similia triangula ABC, cuius centrum D, & EFG; & per centrum D ipsi
A C lateri aequid istas ducatur Κ D L. In triangulo autem E F G ducatur linea M Naequidistans lateri EG; quod correlatiuum eii lateris AC, dc secans latera F E, F G tria 'punct: s M, N ad eam rationem, ad quam I eantur latera AB, B C in punctis. Κ, L. Aio quod M N it per centrum grauitatis trianguli 3 EFG: nain si linea M N per centrum non ir; eat. si possibile est pcr centrum linea OP ipsi E G aeqvidi stans, critq; per 5. sicut F Uad OE, sic ΒΚ. ad K A: sed p rhypothesin, sicut iam B K ad K A. sic F M ad M E: Igitur sicut FMad ME. sic FO ad O E: Et conium, .ctim sie ut F E ad E M sic F E ad E U: Quare o E. EM aequales: pars ,&totum c quod est ' - . absurdum. Umnino igitur MN per centrum C trianguli EFG incedit: Quod erat demo strandum.
128쪽
Si ab angulo trianguli cuiuspiam per centrum ad oppositum latus linea
ducatur, linea in simili triangulo ducta ab angulo correlati- uo,& oppositum latus ad eandem rationem secans ibit per centrum. SVnto similia triangula A B C, cuius eentrix
D,& E F G, & ab angulis eorrelativis B , Foucantur lineae BR per centrum Di & FL secans latus EG in puncto Lad eam rationem, ad quam laeatur latus AC in pune o Ic. Aio iam quod F L per centrum trianguli E F G iacedit rNam si F L per centrum trianguli E F G no incedit; eat per centrum, si pol sbile est linea F M. eritque per ' huius, sicut E M ad M a sieA K ad K C: Supponitur autem sicut A K .id
EG ad G Mi inare L G. GH aequales et par di totum . quod eit impossibile: Astruitur ergoepropositum.
Si duo triangula inuicem a qui latera super eamdem lineam similiter posita sint; eorum centra,& commune centrum erunt in una recta aequi distante illi, super quam triangula sunt
posita, secante & reliqua latera. SInt duo triangula A B C. C D E inuicem aequilatera. quorum bases A CE sint
aequales,& in eadem recta. Item latus A B lateri C D,& reliqeum reliquo aequale ι de quorum centra grauitatum sint F.G: Aio quod F, c; centra sunt in linea aequid i-s.inte ipsi A C Et Coniugatur enim F G,quae si non aequidistat ipsi A C L aequi distet FH,de producta coincidat latetibus A B,C Dapud MLi Eritque ΑΚ LC parallelogram-mum: Et perinde A Κ, C L aequalest D K, D L aequales ; Igitur cum linea K P per centrum eat trianguli A B C,ςquid stans basi A C,& in triangulo simili C DE linea L Hcorrelativo lateri CE aequidistans ad eanderationem secet latus C D,ad quam latus A Rsecatur: Iam ideo per 8. huius, L Hibit per centrum trianguli C D Et quini est i inpossibiler Nam centrum per hypothesim est G punctum extra lineam L H: omnino igitur
linea F G aequidistabit ipli A CE sicut proponitur. Vel siciper centrum F ducatur ipsi Α C E aequidistans, lateribusque A B, C D apud
129쪽
M. N puncta eoincidens M F N linear eruntaque in parallelogrammo AMNC latera AM, CN aequalia :&ideo BM, D N aequalest itaque siuea MFN aequid istans basibus A C E ad eandem rationem secat latera A B, C D in punct s M,N,quae sunt latera correlaistiua similium triangulorum. Itque per centrum F trianguli ABC: Ig turpeν8 Aiuasillinea M F N producta per centrum G trianguli CD E ibiti & perinde centra F, G sunt in linea MFNGEqui/istante ipsi ACE, &pre 6. praecedentis centrum commune triangulorum A B C, C D E in linea F G, sicut proponitur demonstrandum.
PROPOSITIO XI. Si in quolibet Triangulo linea basi aequidistans secet reliqua latera per
aequalia, centrum grauitatis trianguli erit in trapetio ad basim relicto. SIt triangulnm ABC, in quo linea D Ebasi AC aequidistans secet AB, BC Iatera
singula per aequalia in punctis D,Er Aio quod centrum grauitatis triagnii ABCelt in trapetio AD BC: secetur enim AC basis per aequalia in puncto F,& coniungantur D F, FE: quae perseeuari amsexti Eu is, aequid, stantes erunt ipsis A B,BC lateribus , unde triangulum A B C secatur in quatuor triangula sibi similia, & inter λaequalia,&aequi latera. Itaque ster praecedentem, triangulorum A DF, FEC inter aequilater rum & super unam lineam A F C, similiter positorum commune centrum cst in linea aequid istate ipsi A PC, Se secante caereia triangulorum I tera : secabit igitur talis aequid istans ipsam AD
grauitatis parallelogrammi BD FE est in diametro D E aequidistente iam ipsi A FCi Cum igitur per centra partium eant duae aequid ista nistes,hoc est,quae perptinctum G,&ipsa DE qus scilicet per punctum G, per centrum commune triangulorum A D F.F E C tanquam . unius partis &ipsa D E per centrum parallelogrammi B F tanquam alterius partis: Iam per s. huius, aequid istans tertia, quae per centrum totius trianguli ABC media erit praedictarum: ibit igitur per medium pum tum inter puncta D,G quod sit Hi sed talis aequidistans ducta per puni tum H fertur intra quadrilaterum A DEC: Ergo centrum trianguli totius A B C,erit intra quadrilaterum A D E C: mod fuit demonstrandum.
Si per centrum grauitatis triangnli cuiuslibet basi aequid istans ducatur secans reliqua latera,portio lateris ad verticem trianguli recepta maior erit quam reliqua. IN triangulo ABC agatur basi AC aequidistans per centrum trianguli,& reliqui latera A B C secans linea D E: Aio quod portio B D maior est portione D A:
130쪽
DE MOMENTIS AEQVALIBUS LIB. II
Nam si B D non sit maior quam D A,erit aut ei aequalis, aut ea minor et si aequalis . tunc perpracedentem centrum trianguli ABC erit intra quadrilaterum A D E C: Quod est contrarium supposito, lappcinitur enim centrum in linea D E. Si autem n D sit minor . quam . D A, tunc eo magis ςentrum trianguli ΑΒ Cerit intra relietu trapeti u A D E C: .iod rursum aduersatur hypothesi: Non est ergo B Daequalis ipsi D A. neque minor ea: Maior ergo erit: sicut proponitur demonstrandum.
Si per centrum grauitatis cuiuslibet trianguli ducatur linea aequid istans basi, & secans reliqua latera; portio lateris ad verticem, recepta erit ad reliquam dupla.
IN triangulo A BC dueatur linea pereentrum aequiditans basi A C. & seeans reIia qua latera ut pote latus A B apud D punctum: Aio quod B D portio dupla est i lius D A: Nam ρονμMedemem, B D maior erit, quam D A : secetur ergo A B per
aequalia in purino G cadetque punctum Din linea AGi secenturite latera BC,C Aper aequalia in punctis E, F,&coniungantun E F, FG, G E : erumue saeta triangula inter se aequilatera.& aequalia i secetur itaque A D per aequalia in puncto H, eritquo sicut BA ad AG,sie iam D A ad AHi utraque enim dupla ad utramque,& permut tim,sicut BA ad AD. sie GA ad AH; de disiuncti sicut BD ad D A,sie G H ad H MItaqtie cum aequidistans basi AC duci Percentrum trianguli ABC, secet latus A Bapud punctum D: Iampo linea ducta per punctu Haequid istans correlativae basi A E, ibit per centrum trianguli A G E,de ideo per centrum trianguli E F C, & per centrum commune triangulorum AGE. EF C rex. huius, sed per 3.hοι us, centrum parallelogrammi BGEF est in diametro GF aequidistante ipsi A E C: Trium igitur aequid istantivi euntium per punia D, H quae per punctum D it per centrum totius trianguli sciIicet A B C: quae autem per puncta Gad eunt per centra partium.hoc est, quae per punctum H, it per centrum commune triangulorum AG E, E FC tanquam unius partis: quae autem per punctum Git per centrum parallelogrammi BGE Falterius partis: suntque partes ipsae aequales: muale est enim parallelogrammum B G E F triangulis Α G E, E F C simul sumptis: Igitur per coraliarium νιπιι huitu, segmenta G D. D H aequidistantibus intercepta sunt aequalia i , uales autem suerunt D H.H Ar aequales