장음표시 사용
141쪽
sso ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XXX.
Figurae aequilaterae, & aequiangulae propositae
grauitatis centrum comperire. SIt figura aequi latera,& aequiagula proposita ABC:
oportet eius grauitatis centrum comperire: sit e Nilum circuli figuram ABC circumscribentis punetum D, per doctrinam 4. Ea lidis nam per coram νιama. bums; ipsum est, & centrum grauitatis propositae sigurae ABC: QSd erat comperiendum. B
Trianguli propositi centrum grauitatis comperire. Sit triangulum propositum ABC oportet eius
grauitatis centrum Rauenire Secetur unum
laterum dati trianguli,ut pote ipsum A B in puncto D, ita ut BD dupla sit ipsius DA, &per punctum ducatur ipsi AC aeqiii distans D E, quae per aequalia secetur in puncto F,quod per. 18.huius , erit centrum grauitatis trianguli A B C. Qi'd erat comperiendum. vel se a quolibet dati trianguli angulo, ut pote B ducatur ad punctu G, in quo AC per aequalia secetur linea B G, quae ita secetur in puncto H. ut B H dupla sit ipsius H G, eritque punctum. Heentrum grauitatis quaesitum Mas. Vel sic duo quelibet latera dati trianguli AB, A C per aequalia secetur in punctis R, G, & ducantur B G, C Κ,quae se vicissim secabut in puncto H; Qiodρον 16. Mιas, erit quaesitu centrum.
142쪽
DE MOMENTII AEQUALIBUS LIB. II. PROPOSITIO XXXIII.
III Dati rectilinei cuiuslibet eentrum grauitatis comperire. Sto datum rectilineum A B C D E, oportet ipsius grauitatis centrum inuenire
Distinguatur datum rectilineundia.
A B C D E in triangula A B C, C A D, D A E ductis scilicet lineis AC, A D;&inueniantur per praecedentem , horum. triangulorum centra, quae sint puncta F, G H. deinde comperiatur ipsorunia A B C,C A D triangulorum commune centrum, quod sit Κ, rursum inter duo grauia ABCD quadrilaterum, cuius centrum Κ, atque triangulum A DE, cuius centrum H, comperiatur peras. praemiis Dbri, centrum commune,quod
sit L punctum;& illud erit centrum pentagoni A B C D E, quod erat comperiendum. Similiter,& in quolibet quo cumque laterum rectilineo grauitatis centrum inuenietur
PROPOSITIO .XXXIV. Datum rectilineum sic suspendere, ut assignatum in eo latus
aequependeat. Sit exempli gratia datum pentagonum rectilineum ABCDEoportet ipsum ABCDE pentagonum ab aliquo puncto ita suspendere,vi datum in eo latus, quod sit A B aequependeat,hoc est aequid istet horizonti: comperiatur per praecedentem reinctilinei A B C D E grauitatis centrum,quod sit L pumaum; a quo ducatur ad datum latus A B perpendicularis linea L M quocu- , que seratur ad ambitum redhilinei. Dico ita- A Mque quod A B C D E rectilineum a puncto M suspensum sie pendet , ut AB aequi distet horizonti. Nam si rectilineum ABC DE
Iibere pendeat a puncto Μ, iam per 2.ρν-- dentishbri,cetrum Lerit in linea,quae a pumcto M perpendicularis cadit ad horiaontem Ergo ipsa LM perpendicularis erit ad horia zontem; sed cum inpendicularis sit ad ipsam A B,iam aequi distabit A Bhorizonti, & ideo perdui ιιι-- aequependebit. Vel sic collocetur rectilineum A BC in ta-Ii situ,ut L M perpendicularis sit ad horitontem, & suspendatur a puncto M. Nanc per 3eracedentis libri sic pendebit ut locatu est, ipsa scilicet M L perpendieulari existente ad hortioni ein;& ideo sicut prius, suspenso rectilineo a puncto M aequependebit latus AB: Quod quidem proponebatur faciendum.
143쪽
Non exaetum pland mihi videbatur opus de Momentis aequalibus, nisi emtris
planorum,quorum inuentio in praxedenti libello traditur , subiungerem ea . quae de centro Paraboles demonstrat Archimedes praeclarissimus . Id itaque i clam in hoc tertio volumine, ut quidquid ille super hoc haud contemnendo in mathematicis negotio, distinctis propositionibus, atque praemonstratis necessarijs facilius innotescat. Itaque absolutis quibusdam super mentulae, cuius duo tantum lat i ra aequi distant centro, reliqua opportuna ex conicis elementis assumpta citantes ad inuentionem centri paraboles veniemus.
Propositiones, quarum multa sunt theoremata, non nulla verbproblemata.
si latera trapetii,aequidistantia singula bifariam secentur,puncta secti
num,& punctum coincidentiae reliquorum laterum erunt in eadem recta linea. E Sto trapetium A B G D, euius latera A D, B G aequid istantia singuIa per aequalia
secentur in punctis E, Z reliqua vero latera A B, D G coincidant in puncto HrAio iam quod puncta E,Z.H sunt in eadem recta linea, hoc est quod recta linea E Hincedit per punctum L, coniugatur enim E H,& incedat, si possibile est. per aliud,quam Z punctum, ut per T punctum ; eritque propter triangulorusii in ilitudinem B Tad Arist.
cui H T ad H E.& sicut H T ad H E. sie T G ad EDr Igitur sicut T Gad E D,sie B T ad A E; & permutatim sicut B T ad T G, sie A E ad E D Aequalis autem per hypothesmAE ipsi ED: Ergo&BTaequalis ipsi TG: fuit vero per hypothesim BZ aequalis ipsi ZGIgitur BZ,BT dimidiae sunt eiusdem B G, & proinoe aequales: pars & tot v. quod est absurdum: omnino itaque recta E H it per punctum Zt quapropter puncta L Z, H sunt in eadem recta: Q uod erat demonstrandum.
Quae trapeti j latera aequid istantia bifariam secat, rectalinea incedit per
centrum grauitatis trapet ij. TRapetii ABG D latera A D, B G sint aequidistantia,quae singula bifariam secen, tur in punctis E,Z: Aio quod coniuncta E Z recta incedit per centrum gravit iis Disilired by Corale
144쪽
tu trapetii A B GD: Gineidat enim reliqua A B, D G latera ad punctum Hi eruntq;
repracedentem, puncta E, H in eadem recta linea: Itaque EZ produω it per punctum H, eat,eritq; per ra.8racedemtis tibem, centrum trianguli A H Din linea E H . atque centrum trianguli BGH in linea ZH: Itaque clicentrum totius trianguli A H D, ¢rum partialis trianguli B G Hsint in una recta,erit,& centrum reliquae partis scilicet trapeti, A BG D in eadem recta E H: Quando quidem per γ.primi aqualium momentorum, recta per centrum unius partis, & per centrum totius ducta it per centrum reliquae partis: sed per vis imum ρ flulatum, Omnis figurae, cuius ambitus in eadem caua conlaterit; centrum grauitatis intra figuram esse oportet: Igitur centrum trapetij A B G D in linea E Z existeti Sicut proponitur demonstrandum.
Quae punctum bifaris sectionis alterius aequi distantium trapet ij laterum cum centro grauitatis trapet ij recta linea coniungiti producta, s cabit,& bifariam reliquum aequi distantium laterum. EIusdem trapetii A BGD unum a quidistantia laterrm A D , B G , quod sit A D bifariam socetur apud E punctum, quod coniugatur cum ce tro grauitatis trapetij,quod sit Orper 33. praeeri sis Melti repertom. Dico ergo,quod E O linea pr ducta secat latus B G bifariam: Coincidat ergo
Eo producta ipsi BG apud Z. Demonstrandua . est quod BZ, ZG sunt aequales; secetur enim si possibile est B G bifariam alibi,quam in puncto Z, utpote in puncto T, &coniungatur ET . Itaque per praeedentem ET incedit per centrum grauitatis trapetii A BGr quod est impossibile: Fuit enim centrum punctum O in linea E Z: restat ergo propositum.
Si duo trapet ij latera tantum aequi distent, & unum reliquorum laterum ita secetur, ut segmentum aequi distantium laterum maiori contiguum ad reliquum segmentum sit, sicut aggregatum ex duplo iequi distantis minoris, & ex aequi distante maiori ad aggegatum ex duplo paralleli maioris, & ex parallelo minori, & per sectionis punctum ducatur linea aequi distans ipsis lateribus parallelis;ducta ibit per centrum grauitatis trapetij. E sto trapetium A B G D,cuius latera A D.B G aeqvidistentialterum autem ipsora AB, G D,quod sit A B Iecetur apud E, ita ut Λ Rad E B sit sicut aggregatur
145쪽
DE MOMENTIS AEQUALIBUS LIB. III.
exduplo ipsius BG,&G AD ad aggresatum ex duplo AD, & ex BG; &per pumctum Educatur ipsis AD, BG aequiei stans EZa Demonstrandum est, quod ELincedit per centrum trapetij ABGierit enim ex tali prop'mone. linea B E plusquam dimidium AB: G-piatur ergo BT pam tertia totius AB.&lpnBT aequalis AH Vnde H Τ erit tam ipsi TR. qu1 ipsi AH aequalis; eritque E punctum inre T. H puncta: ducantur itaque HK. T L ipsis A D. BG aequidistantes,&odiametre B D ,eritque per I pracedentis obri, trianguli ABDeentium in ipsa ΗΚ linea,trianguli , .
Sicut BG ad AD sciam HE ad ET, sed/reprima xii etidis, Si ux BG ad AD Sie triansulum BGD ad triangulum ABD. Igitur S*ψx triangulum BGD ad triangulum ABD sie UE ad ET
intergo triangulorum A BD Booemrea MMinlineis ΗΚ,TL:&eoniungatur AEquae secet ipsam EZ in puncto O. Eritquem a.seat M O ad O N. sicut S ad ET,& ideo iam sieut triangulum BG D ad triangulum A B Dr Ita* recipro- iunt triangula B G D,A B D spatijs, quibus eorum cearra M. N absunt i puncto o 'recta M N posito i Quare ρer punctum Oerit cen- um commune trianeulorum BGD, ABD, hoc est centrum trapet ij ABGD: sed Q punctum est in linea EZ, igitur EZ incedit per centrum trapetiiABG. quod Me
146쪽
Contra si per centrum grauitatis ipsius trapeti j ducatur linea parallelus lateribus parallelis; ducta ita secabit unumquodque reliquorum laterum, ut segmentum aequidi tantium laterum maiori conterminum . ad reliquum eam habeat rationem, quam aggregatum ex duplo minoris aequid istantium laterum, & ex minori ad aggregatum ex duplo
Hoc est si per centrum grauitatis trapetii A B G, quod fit o punctum ducatur E Zipsis A D. BG parallelis lateribus aequi distis . Dico quod ΑΕ ad EBetit sicut
aggregatum ex duplo ipsius BG minoia ris, di ex A D maiori aequi distant iunia ad aggregatum ex duplo ipsius A Dmaioris,lcex B G minorii Sod sie ostendetur: per centra M,N triangulorum A B D, D B G ducatur H Κ, T Lipsis A D, BG p ralleli r Eruntquepero. primi momentoram Myoatam, cen- tra M.O,N in una rectar Et quonian b: per 27. 'radicti, glauia reciproca sunt distantijs, quibus eorum centra remΟ- .uentura communi centro, idquedisiis euilinea MO ad ON, sc triangulum: a s
qua ndoquidem H Κ, T L paralleli eunt per centra triangulorum
Sieut AE ad EF .sie BG ad BG. Upermutatim erus
147쪽
Ex bis iam manifestum est, quod si intrapetio , cuius duo tantum latera aeqnidiis stam,alterum ex reliquis lateribus in tria aequalia diuidatur, & media tertia rumsuin in puncto quodam secetur, ut segmenta reciproca situ lateribus aequidistantibus; linea ijsdem lateribus atquidistans dita per punctum illud ibit per cen m grauit ei struetij; hoc enim osteasum est inquarta harmidia . i
Conuasi pereentrum g auitatis trapetii dueatur linea lateribus patillesis aequia
distansi ducta sie secabit mediam tertiam utriuslibet resi quorum laterum tria Limam diuifi, ut segmenta reciproca sint lateribus equidistantib hoc estordine per minato proportionalis: Et inpraecedenti fuit demonstratum. : Hi, ita . . Alia demonstratio eiusdem quintae.
Estis perium A BG Dcuius latera AD, BG aequidistent; ductaque diametro BD,divisaque per medium in puncto X: in productis A X,X G punta sumantur M,N; ita vitam AM ipsus M X,quam&GNipsius NX dupla sit: eruntque peras.
M,N centra trianguloru ABD, DBG. itaque eoniuncta M Nrecta ponarur Μ O. ad O N ει cui BG ad AD, hoe est sicut triangulum DB Gad triang Ium ABD; eritque per ax' mi ma-: punctum Ocentrum aggregati ex trianguiniis dictis, hoe est ectruintotius trapezij A BG in ducatur ergo
ipsis A D, B G parallelus o E currens lateri AB in puncto E. Et demonstrandum erit quod AE ad EB erit sicut duplum ipsius BG una eum A D ad duplum ipsius A D una cum BG.hoc modo,ducantur ipsi o E paralleli ad di- ctum usque latus M AEN T. X P: eritque A P ipsi P B aequalis quoniam D X ipsi X Baequalis suit; & similiter tam AH ipsi H Rquain B TtRus T P duplar laeentur per
148쪽
directu: Sic, intra petio AB GD, cuius latera 'O, D a
iam A B ad B Pr aequales ergo sunt E B. B P,totum it pare,q dest absurdu*i ut ui tur ergo propositum: sic ex s. rursuin demonstratur sequod 'proponι t . L. Contra in eodem trapetio ducatur per centrum frauratis linea Ee aequisiita's ipsis AD, BG: Demonstrandum rursus est,quod A E ad EB est sic coligni ea di/pIo B G,& ex A D ad congeriem ex duplo A D & ex RG : Namque si θ diem rationem non habeati, secetur A B in puncto P, itaut hi ret tionem,&rper puncturnae ducatur P Qipsis A D,B G aequi distana: - ipsa PQ percenmim grauitatis trapetii A nta: modiis impolyibiIc: ram mi is ipsum sui in linea E Zr astruitur erysiimopositum,'ut scilicet AE ira i heant rationetri: si vicissim ex premisse, rarius demonstra; , quod . i φύ--sproposuerat. Di0ltlci d by Coos le
149쪽
DE MOMENTIs AEQUALIBUS LIB. III.
Si in Trapetio, cuius duo tantum latera aequid istant, unum ex reliquis ad dictam rationem secetur: & per punctum sectionis linea parallelus aequidistantibus lateribus ducatur, & per aequalia secetur, punctum sectionis erit centrum grauitatis trapetij. IN tripetio ABGD,cuius latera AD, BG aequid istant, &alterum reliquorum ut
AB secetur in puncto E,itaut AE ad EB sit sicut congeries ex duplo BG&ex AD ad congeriem ex duplo A D,& ex B GI & per punctum E ducatur ipsis A D, B G p rallelus linea E Z, quae secetur per aequalia in puncto oi Dico quod o centrum est grauitatis trapetii ABGDi secetur enim AD per aequalia in puncto R,&coincidant AB,DG in puncto H: PEruntque per rimaam huius, puncta ROH in una linea rectar Itaque R O producta ibit per H pun- D
ipsam BG apud S: eruntque propter similitudiisem triangulorum &ipsae BS,SG aequales. Qirare per a. haram linea R S incedet pereentrum grauitatis trapetij A B GeSed perpraecedentemsextam, siue flerat. linea ipsa E Z incedit per centrum trapeti, Igitur centrum trapeti, A BGerit in communi sectione ipsarum linearum RS, E Ziby iρ pun*q O, sicut proponebatur demonstrandum. PROPOSITIO VIII. Centrum grauitatis trapetii sic diuidit axem, qui per media puncta
aequi distantium laterum, ut segmentum maiori laterum contiguum eam habeat rationem ad reliquum, quam congeries ex duplo minoris lateris, & ex maiori habet ad congeriem ex duplo mai ris lateris,& ex minori. IN deseriptione praemissae axis trapetii A B G Dest linea RS, quae per a ualia secat tam latus A D, quam latus B G in punctis R S. Iraque per a. Aulus centrum grauitatis trapetii est in ipso axGR S,sit illud punctum O: demonstrandum est quod R O ad O S est sicut eumulus ex duplo ipsius B G &ex A Dad eumula ex duplo ipsius AD&ex BGr
150쪽
BG AD sex. Euclidis. Sicut A E ad E B,sic R o ad O S: Igitur sicut R O ad O S sie B G ad A D. AD BG iod erat demonstrandum.
PROPOSITIO IX. Quodsi axis trapetii addictam iam pridem secetur rationem; punctum
sectionis erit centrum grauitatis trapet ij. Hoc est si axis RS in puncto Oaddictam rationem secetur: Aio tune quod ipsumo punctum erit centrum grauitatis trapetij A B G D et sit enim, si possibile est in
axe R. S centrum aliud, quam Opunctum, ut pol pu nctum T; dc habebit per praecedente R T ad T S dictam rationem: Itaq; RS in duobus punistis T,osecatur ad eandem rationem. ut scilicet R T ad T Ssi: sicut Road US: Qaodest absurdum. Superest ergo verum esse,quod proponitur. vel sic, quonia per hypothesim o Rad O S dicta habet rationem, opera. 6. Euclidis, AE ad EB eandem seruat rationem: Ideo' . LE Z incedet per centrum trapetij A B C D: cumque pera. buos, centrum sit in axe R Si erit omnino illud punctum sicut proponebatur de
- . : PROPOSITIO X. Quod proposuit octaua praecedens aliter demonstrare. Ε Sto trapetium A B GD, cuius axis RS per aequalia serans aequidistantia laterc
A D. BG in punctis Risin quo centrum frauitatis trapetii sit punctum O, in axe enim est cecium per Qisu cc-trum potest, c sic determinari: coniungantur R B, B D, D s, & diuisa A B in tres partes aequales in punctis H,T, cantur ipsis in D, B G aequi distantes Η K, T L, quarum H Κ coincidat ipsis B R,R S. D G apud M, P, Κ DRctar Ipsa vero T L coincidat ipsis RS. SD. D G apud Q. N, L punctar eritqui
per 28. ρracedentis, cen rum tria iguli A B D, punctum M : centrum vero tria
guli B G o punctum N. Quare per 5
primi aequalium momentorum, centrum
commune triagulorum A BD, B G D. hoc est centrum trapeti, totius A B G D erit in linea M N: se er a. huius , centrum ipsius trapetii ABGDest in linea RS: Igitur crit in communi sectione linearum R S.
M N,quod sit O punctum: Demonstrandum est igitur, quod linea R O ad lineam O SEG AD est sicut BG ad Ao ii quidem modo. Pertrimam o. c u,sicut a Gad AD.