장음표시 사용
151쪽
DE MOMENTIS AEQVALIBUS LIB. III. 1 r
sie triangulum BG D ad trian ulum ABD; quado autemper 27. Wimi momentoramis ualium,reciproca sunt grauit distantijs,quibus eorum centra absunt a centro com
muni . Propterea erit sicut triangulum B G D ad triangulum A B D, sie spatium M oad spatium ON; & propter similitudinem triangulorum OMP, ON icut Moad ON, sie P o ad O in quare sicut P o ad Omic BG ad AD . igitur sicut PO O BG AD PO PO ad O ic erit BG ad A De verum P O simul aequalia sunt ipsi RO
ET haec est demonstratio Archimedis praeclarissimi, ex qua indirecth potest d, monstrari eius conuersa, quemadmodum in prima demonstratione praecedentis nonae factum est;& quoniam demoustratio hui*s decimae non indiget,quemadmodum octaua,quinque propositionibus praecedentibus octauam ipsam. 4dcirco ex hac decima rursum alio modo possent demonstrari propositiones praedictae
Trapetiorum, quorum latera aequidistantia sunt proportionalia: grauitatum centra similiter diuidunt axes D Vorum trapetiorum ABGD, E TH T. quorum latera AD, BG aequidistant; & latera E F, TH aequidistant; & quorumaxes KL,M NIecantes per medium aequidulantia latera, in axibus autem centra grauitatum Misitq.Mullatus A Dad latus BG. sic latus ET ad latus ZH: Aio quod est sicut RO ad OL, M MV ad. VN: Nam pracedentem Io. sue per g. est KO ad O L, sicut AD BG - ET 2A AD ad BG. Itemque sicut ET ad ΖΗ 'BG AD , TH ET sie M V ad N Ub Illae aute duae rationes sunt aequales quando per hypotbesim,sicut A D ad BG ET ad, ZH . igitur,dosicut M v ad y N,sic KO ad OL: Qiod proponitur demonstrandum.
152쪽
T Κ L apud eadem punista: Aio quod huiusmodi hexagoni A H E Z G D centrum est in
ipso axe T L: nam per 3. Luus, centrum trais
petij A H G D est in axe partiali Κ L: Centrum quoque reliqui trapet ij H E L G est ire
axe T K: sed centra partium,& centrum t tius sunt per 6. primi aq-tium momentorum, in eadem linea: Ergo centrum totius rectili
nei A H E Z G D est in linea Τ L. Quod fuit demonstrandum. Et similiter idem demonstrabimus de rectilineo ex quotcumquυ trapetiis composito , dum axis aequidistantia trapetiorum latera lingula secet bifaria.
In rectilineo ex trapetiis aequidistantium laterum, & ex triangulo ad summum,axe a vertice trianguli secante latera aequidistantia sinsula bifariam, composito, centrum grauitati1 est in axe.PAtet similiter: nam per pracedentis
libelli, centrum trianguli est in lineia, quae a vertice ad medium basis, quae linea est pars axis ipsius rectilinenVndeprequoties opus fuerit, assumpIam, constat id, quod proponitur demonstrandum.
Rectilineorum, quae ex trapet ijs numeri eiusdem, siue ex trapetiis numeri et iisdem, &ex triangulis singulis ad verticem, qualibus d ctum est, componuntur, s si a quid istantia latera responde tia ipsorum fuerint proportio, alia,& axes responde tium trapetiorum proportionales : centra gra . t . ii uitatum similiter diuidunt axe S. Sunto duo rectilinea A B G, D E Z, quorum ipsum A B G componitur ex trapetis
duobus ΗΚ, KL,&eκ triangulo LB: Ipsum autem DE Z ex duobus trapetiis T M, M N. & triangulo N E, itaui licui est latus A G ad latus D Z, sie caetera lateria aequi distantia in rectilineo A B Gad extera latera aequidistantia in rectilineo D EZ, singula singulis correlativis conferendo existante Item , sicut est axis HK ad axem TM,sic KLad M atque sic LB ad NE,to ales autem axes B H, ET per aequali 'secent unumquodque aequidistantium laterum in trapet ij j harum itaque duorum re ctilineorum A B G,D E Z centra grauitatum, per pram sam i 3. vel antep ramissem x ,. erunt in axibus B H. E T: sint ergotelitra puncta Ο, V, in axibus. Demonstrandum
puni simili mriboc est adeandem rationem secant axes, ut scilicet Disitiam by Coos le
153쪽
eut est B OadU H, sie omnino sit E V ad VT ild enim sequitur,quoniam centra pamtialium trapetiorum proportionaliter diuuiunt partiales axes'r t r. huius, de centra trianguloriinproportionaliter secant axe spera ρυ-entis obem, sint citim centra triangulorum P, centra trapetiorum L MN puncta R,Srirentra trapetiorum K H.
M T puncta Y. F. eruntque portiones axis B H proportionales partibus axis E TrNam pera macedentis, lixariangulis ipsae 3 P dupla ipsius P L.&Eintupla ipsius QN,&per tr. huius, in trapetijs, sicut est L R ad R sic NS,ad SM, &sicut K Y ad Y H,sic M Fad F T quo fit ut Iegmenta axis B H lamentixaxis E T sint proportionalia, singula singulis: quandoquidem axes partiales trapetiorum, & trianguli axibuςrritalibuytraptatorum.&trianguli proportionales uapponuntur: Vr igitur.B Pau sic PL d Q. sis L Rad N S, sic RK ad SM, sic SYad.MF, sic Had FT. Et quoniam proportionalia supponuntur, latera a quid istantia trapetiorum,& proportionales axes : Ideo sicut trapetium Hst ad trapetium K L; sic iam traperium T M ad trapetium MN. Trapiniorum liaqueHK, KL centrum commune sit X trapetiorum vero T M, M N centrumcommune sit C de quoniam per a et famis,gravia reciprecasunt distantiis, qui bita eqrum centra absunt a c0mmuniceptro , ideo erunt sicut quadrilaterum H K ad quadrilatςrum K. L, sic lii; ea R X ad lineam X V, & similiter sicut quadrilateruin TM ad quadrilaterum MN,sis ii Ui H llinea SC ad lineam CP, sed eadem sit tralio i ibi rapptiorum: Igitur sicut lineal X ad XY, sielinea SC ad lineamCP. Vnde sequitur ut pu- tipcta KC cadant intur correlati puncta, utqἰ ad eandem rationcindividantaxes B H. E 3 quoniam igitur trapetiarum HiΚιΚLrauaqua unius centrum est X,& trianguli L B tamquam unius centrum P, sit ci rum amborum commune eritque ut prius scian aggregatum ex
trapet ijs H Κ, Κ L ad triangulum L B. sic linea P O ad lineam O X. & similiter sicut aggrega tum ex trapetijs TM, MN ad Iriangulum NE . se linea Q v ad lineam VC Quan quidem V est cultum coi unestiora rauium, hoc
est trapetiorum T M, MN tanquam visius. &trianguli N E tanquam Ialterius, hoc est totius rectilinet D E Z . sed sicut aggregatum tra Petiorum II K. R. Ladtriti pigulum L B, sic trapetia TM, MN limul ad triangulum NE, quan- ni v N Pi l η .ii lea: dii hi
doquidem proportionalia supponuntur lato a . equidistanti v a..ς. Igitur sic it linta P O ad lineam o X.sie linea QV ad lineam V C: Vndeloqui tui qdmi ct Ο, V cadat inter correlativabunti, utque ad eandem ranionem, siuit ArK ess H. LT in amobrem ex tali diuisione proportionali,erii sicut B O, d LUM . --: tau
proponitur demonstr*ndum . . ..
Quod autem trapetium Ps Κ ad trapetῖum Κ L sit sis uI trapetium Tu It aperium
MN: patet quoniam eorum latera aequid istantia ii msuae propor is sit di & axes item proporti ales, ex Drum ratIQue compo missiarςarium ratiOmis: Nqmquit rapetii area producitur ex axe in diis idium aggreg ti ex aequi distantious la:eribus.
Similiter illud idem stendemus de eis, citiae eκ quotcumque tr petiis tantu, vel ex quotcumque vqpeti de singulari A triangulis , sub dictanuatur; Nam tali aequutistocium laterum,' exaxi in proportioncha via sequeri-
154쪽
tur sitnilis axium diuisio. ut scilicet proportionales sint inter axium segmenta . inter correlativa centra iterum,atq; iterum receptar sicut propohebatur demonstrandum. alando autem axes non sunt perpendiculares lateri,is,tunc pro axibus sumantur perpendiculares inter latera aeqvidistantia, tales enim perpendiculares sunt propo tionales axibus aeque inclinatis ι de trapeti, area producitur tune ex perpendiculari inter aequivis tantia latera in dimidium aggregati ex ipsis aequidistantibus.
Si intra sectionem vocatam Parabolen triangulum inscribatur habens eandem basim cum sectione,& verticem eundem, &rursum in sus ceptiS periseriae proportionibus triangula inscribantur eas. dem cum portionibus bases,& vertices habetia; Itemque in relictis portionibus eadem triangulorum
inscriptio cotinuetur; figura in sectione hoc modo inscripta, , hoc est perspecte inscribi dicitur ab Archimede.
MAnifestum est autem, quod in huiusmodi figura lineae rectae . quae iungunt anagulos proximos a praecipuo vertice,& binos per ordinem hinc inde sequentes. aequiuiitabunt basi para les,& crescent a prima secundum crementum aequale primae,& sinSulae per aequalia diuidentur a praecipua diametto, & vicissim ipsae diametrusecabunt. itaut ab ipsis ad verticε , receptae portiones diametri sint in
rium per ordinem sumptorum ab unitate; Vnde diameter sectionis est & axis sigurae inscriptae. Sit conica sectio vocata parabole A B G basim habens rectat lineam A G atq; diametrum B l . in qua inscribatur triangulu ABG, ruri umq; diuisis per medium rectis A B. B G in punctis E. Z ducantur aequid istantes ipsi B D lineae utrinque ad periferiam,&basim productae H E F, T Z C: tales enim lineae diametri erunt per a 6. primi eonicorum inmemorum ἔ & per s. secundi eorumdem, lineae tangentes sectionem apud H,T puncta aequia
dict ibat ipsis A B,B Gae ideo H Truncta vertices erunt relictarum sectionum A H B,B Τ GIn his itaque portionibus inscribantur rursus triangula A HB,BT G,& similiter diuisis per medium rectis AH. Η B, B T.TGinpuuctis K, Ο,L:&per talia puncta produclis ad aequidistantia ipsius BD praecipus diametri tertin diametris utrinque ad peripheriam, & hasin MXV. P X., QO ,NLIi similiter atque tertio in relictis portionibus quatuor i
iidem re gula inscii tur A M H,H P DB RS, T N G: Itaque figura rectilinea ex
155쪽
DE MOMENTIS AEQUALIBUS LIB. III. 1 s
nouem lateribus AMI PBQTNGintra peripheriam paraboles ABG inscriptaddicitur ab Archimede perspecte, siue cognite inscripta. Similiter pentagonum A H BT G figura note inscripta in parabola vocatur, & omnis alia eodem Ordine continuato descriptat diuisis scilicet deinceps chordis singulis bifariam ; ductisque per puncta diuisionuiti diametris, triangulisque per relictas portiones distributis. Demondum estigitur , quod coniunctae lineae PQ, HT, MN, aequid istabunt ipsi basi A G; quodque H Test maior quam PQin quantitate Pin sic deinceps; quodque ilia punctis R,S,Y bifaria seca
metri BD ipsae scilicet BR,R S, S Y, Y D, sunt ad inuice in proportione imparili
numeroru ab unitate ordinatorum.Sic,quonia per hypothesim H X aequalis X B. aequid istant autem P. BD; Ideo & F , aequales, quando ijsdem intermnuntur aequid istantibus, quibus ipsae H X, X B: Nec non dc ipse D C aequales,quip pe quae ijsde intersunt aequid stantibus,quibus ipse ΒΟ, Ο Γ, per hypothesim equales. Item quoniam per hypothesim A K, K H aequales, & T L. L G aequales, iam cum simili rat ne ipsae A U. V F inter se aequales,& ipsae CI, I G inter se aequales erunt: Adhuc quoniam per hypothesim aequales sunt A E, E B. Item. & aequales B Z, Z G; Ideo A F, F D aequales inuicem; & D C, C G a uales inuleem erunt di Cum igitur A G secetur apud D in dimidia, apud F.C in quartas; secabitur iam apud reliqua puncta V Φ, Ι in odia uas,& perinde octo portiones Ay,VF, Fo, ΦD, D', 'C, CI, I G inuicem aequales erunt: quoniam ergo ΦD, Det aequales t Ideo &ΡR, R injsdem aequid istantibus incteriectae aequales erunt i & similiter quonia F D, D C aequales, ideo de H S, S T aequales; Ideo,&M TYN aequales erunt. Itaque PQ T, MN per aequa secantur in punistis R, S, Y: Quamobrem diameter cum sit B D linea tangens sectionem apud B, aequidi stabit unicuique ipsarum P H T, M N, A G per s. secundi Conicorum elementorum,&idcirco ipsae P HT, MN, AG aequi distantes erunt. Itemsicut AG quadrupla est ad Pp, ita, & quadrupla ad PQs sicut V I tripla ad 4 P, ita & MN tripla ad PQ &sicut FC dupla ad os , sic HT dupla ad Pin. Itaque PQ, HT, MN, AG,
sunt ad inuicem in proportione numerorum ab unitate, & per unitatem crescentium; sed pe o. primi conicorum elementorum, sicut sunt ad inuicem quadrata linearum
P IT, MN, AG; sic sunt in proportione lineae BR, B S, B Y, BD: igitur lineae
B R, B S, B Y, B D sunt in proportione quadratorum numerorum, qui fiunt a numeris ab unitate naturali ordine crescentibus. Et perinde talium linearum differentiae scilicet ipsae portiones BR,RS, STYD, sunt in proportione illa,in qua talium quadratorum numerorum differenti aer sed quadratorum ab unitate dispositorum differentiae sunt impares numeri ab unitate ordinati, sicut ostendit Ibrdanus in Arithmetiacm. Ergo, & portiones B R, R S, S Y, Y D sunt in proportione imparium numerorum abynitate ordinatorum; & haec fuerant in propositione demonstranda.
156쪽
ET notandum quod lineae A B, H T, P . secant se super uno puncto,super quo quidem ipsae E B, H S singulae per medium secantur. Item lineae B G, H T, Q. e super vilico puncto se inuicem secant, super quo ipsae B Z , S T se singulae per aequalia dispescunt. Item attendendum, quod in praesenti demonstratione virum B D diameter praecipua sit axis in laetione: hoc est ad rectos ipsis P H T, MN, A G ordinate ductis. an non sit axis, hoc est non ad rectos ipsis ordinate ductis,non referto Nam protpositiones conicorum adductae ad omnem diametrum faciunt.
Si in duabus conicis sectionibus, quae vocantur parabolae inscribantur perspecte duo eiusdem numeri laterum rectilinea easdem cum sectionibus bases habentia talia rectilinea componetur ex si gulis ad verticem triangulis, & ex eiusdem numeri trapetijs aequid istantium laterum, in quibus correlativa latera squidistantia erunt proportionalia ,& correlati ut axes proportionales , & axes rectilineorum totales per medium secabunt singula aequi distantium laterum. SInt duae parabolae A B C, Xo P, in quibus inscribantur singula rectilinea nouem laterum, ut in praecedenti dictum est, habentia easdem bales cum parabolis,qus sint A E FGBHI-ΚC, cuius axis BD:
dc coniungantur GH, FI, ΕΚ, quae perstra. cedentem, aequid illa
bunt basi AC. Item coniungantur inZ, Y V. LT,quq si in iliter equid istabunt basi X P. Dico igitur, quod huiusmodi rectilinea constabui ex
singulis triagulis G RH, QD Z ad verti ces, & ex ternis trapetiis, scilicet F GHI, E FI Κ, AE KC, & reliquum ex Ipsis YCLV Z L YVT, XLT P, in quibus correlativa latera aequidistantia erunt proportionata, hoe est GH ad L, & Flad Y V,&ΕΚ ad LT,&AC ad X P, eandem . proportionem habebunt, & axes correlativi proportionales, hoc est B Nad o S, &- NM
157쪽
OX,&LD ad Ream iidem rationem habebat; quod ex praecedentis . . . a is stat, nam ut est ostensu. Proportio aequi distantiu est sicut numerorum ab unitate ordinatorum n, n turali ordiae procedestium,& proportio axium est sicut numerorum in parium ab unitate ordia . ianatorsi in omni tali re
Iineo perspecte in qua-uis parabola insa to Item axes bisu iam lecabuit singulas a qui distantes Quippe quae demonstrindauproponuntur.
' Figurae rectilineae in sectione vocata parabola perspectὰ inscripta centrum grauitatis est in axe , quae diameter est sectionis. Sit iii parabola ABC rectilineutri ABC inspectd inseripturi. euius dimicter B D
quae de diameter erit lactionis per i s. Mius. Aio quod rectilinei ABC centrum est in axe B D: Nam peras. MFam, tale rectilineum conflatur ex trapetiis aeauidi- Matium laterum, & ex triangulo ad verticem, axe latera ae uidistantia singula per medium secante. Quamobremmy II. centrum grauitatis talis rectilinei erit in axe rectilinei: Qisd fuit demonstrandum.
Figurarum rectilinearum in duabus conicis sectionibus, quae dieuntur parabolae perspecte inscriptarum eiusdem numeri laterum, centra similliter diuidunt axes.
SInt in parabolis A B C. Xo P duo rectilinea A B V X O P perspecte inscripta, &eiusdem numeri laterum: Dico quod rectilineorrum A B C,X OP centra grauitatum similiter, hoe est ad eandem rationem diuidunt axes B D, o R, nam pre r 6. pra-cedorreri talia rectilinea constituuntur ex singulis triangulis ad venires,& ex eiusdenumeri trapetin quorum correlativa latera sunt proportionalia ,&correlativi axes proportionales axibus singula aequid istantia per medium secantibus, quare per I haias, in huiusmodi rectilineis emtra grauitanam similiter, hoc est ad eandem rati nem latabunt axes. Quemadmodum proponitur semonstrandum.
158쪽
PROPOSITIO XIX. , t Centrum grauitatis sectionis conicae, quae vocatur parabola, est in diametio sectionis: ESto parabola ABC, cuius basis AC, diameter BD: Aio quod centriam Maaitatis paraboles ABC. erit in diametro BD, sit enim centrum, si possibile est, extra diametrum,in puncto E: sitque EF ipsi B Darquidistans,& inscribatur sectioni triangulum ABC habens eandem axem, & basim ; & sicut estCF ad F D. sic sit tri gulum ABC ad quadrilaterum K:&inscribatur parabolae figura perspeetinita vir lietae portiones sint minus, quam quadrilarerum X; critque fer 37. h as,inscriptae figurae centrum in diametro BD: Sit itaque cen- - . trum ipsum punctum H, tum coniungatur HE,dc ll Hl 33, producatur;&CL aequidistet ipsis BD,EF,qui eb Ieicu . bus in i .maior erit ratio figurae inlariptae ad i I ij relictas portiones, quam triaguli A BC ad qua- .drilaterum Κ, hoc est, quam C FUFD, hoezit, '. L.
quam L E ad EH: sit ergo sicut figura instripta i Mad relictas portiones, sic ME ad Eii; de quonia . A . . t E eentrumlesttotius stilicet paraboles: Centrum '' autem unius pariis, scilica figurae inscriptie est H punctum . Ideo er 3 I. primiaqualium momento- Crum, eri z- - 'ἔmM reliquae' tisi i i lic antis Imuri Fhqς oportionum relictar . Verum si M punctum est centrum Druinresidiarum portionum, sic centrum grauitatis est extraambitiam gravis Quod per, est Me uenietur saperest ergo ut centrum sectionis ABCoiha o mihiq diametro p. sicut proponitur demonstrandum.
Si figura perspecte inscribatur in parabola sectione, centrum commune: l . Mis mi usuelictarum portionuni erit in diametro sectionis. IN parabola ABC perspecte inscribaturirectilineu BA K B L C super eandem basim A C, eandemque Moiamςῖς δε se ,--io um quod commi ne grauitatis id centrum soli um portionum est in diametro B Nam i,Macedem miae iitrum totius sectionis ABC est i*.6 naeta' si Da r. autem ibi M. centrum
unius parti . lolicet figurae in lariptae A Κ B LC est in
159쪽
DE MOMENTII AEQUALIBUS LIB. III.
Centrum grauitatis sectionis conicae, quae Vocatur parabola, propinquius est vertici, quam centrum grauitatis figurae
perspecte inscriptae insectione. E sto parabole A B C. euius basis A C diameter B D, in qua super eandem basim.
circaq; eandem diametrum triangulum describatur A BC, sitq; sectionis cetrum rianguli A B C centrum Ε, in diametro enim est utrumque, per I9. huius. dc per demonstrata in praeedenti libro . Dico itaque quod Q propinquius est vertici,quam Ernam sectis per medium rectis AB, BC in punctis F,G. ductisque diametiis FK,G L; eruntis. batur, centra portionum AKB, BL C in diametris ΚR LG. sint talia centra puncta H, L&coniuncta HI secet ipsam diametrum BD in puncto inde coniuncta F G secet eandem in puncto N eruntq; H QIU aequales. Et quoniam A Κ B, B L C,portiones aequales,dc spatia H QI aequalia: idcirco per t6. primi, aqualium momentorum, inpun in erit commune centrum ipsarum portionum A K B, B L C. Cum autem Esit centrum trianguli ABC erit per 24. praecedentis tibri, D E pars tertia ipsius B D, cuius dimidium est D N; Itaque inpun-- ctum propinquius vertici, quam E punctum;& ideo cum portionum AKB, BL C tanquavnius partis eentrum sit in trianguli autem A BC tanquam alterius partis centrum sit T
trum totius hoc est ipsius sectionis ABC centru erit in linea E Q coniungete centra pallia, & perinde propinquius erit vertici qua E centrii trianguli ABC: Quyd erat demsistrandu Rursum inscribatur in eadem sectione ABC perspecte pentagonum AKBLC e rursum, i, dico quod pentagoni A K B L C centrum
propinquius est vertici, quam centrum trianguli A B C remotius vero a vertice, quam ce trum sectionis ABC. hoc modo, cum centra
portionum AKB, BL C sint puncta Η,I, iam ut dudum ostensum est, centra triangulorum A K RBI. Cerunt insertora ipsis H. I, punctis; sint Ο, M puncta;& coniuncta O M secet B D apud Τ, eritque per I 6.ρνι mi, dictam T centrum commune triangulorum A Κ B, B L C. tanquam unius pariis: Sed centrum trianguli ABC ranquam alterius partis est E i digitiit totius compositi figurescilicet rectilineae AKBLC centrum est in linea E T, si in puncto R. eritque per a 7. primi . aquatium momentorum sicut TR ad RE, sic triangulum A BC ad triangula A K B. B L C. Item portionum A R B, B L C tanquam unius partis commune centrum fuit Q; trianguli ABC tanquam alterius partis centrum Er igitur totius compositi, sect onis scilicet AB C totalis centrum in linea EQ sit in puncto S; eritque per 27. praedictam. ad S sicut triangulum A b C ad portiones A K B. B L Ci sed maiorem habet rationem triangulum A BC ad triangula AK B. B L C, quam ipsum idem triangulum A B C ad portiones A K B, B L C: Ergo maior est ratio T R ad R E.
160쪽
fortiori, maior est ratio Τ E ad E R,quam Τ E ad E S. Igitur maior E S quam E R &propterea Scentrum sectionis ABC propinquius est vertici, quam Rcentrum pentagoni perspecte inscrrpti in sectione; estque centrum pentagoni inter E centrum . trianguli ABC, &S centrum sectionis; sicut erat demonstrandum. Id ipsum de omni rectilineo intra parabolam perspecte inscripto demonstrabimus. unde si nouem laterum rectilineum in parabola Λ BC perspecte inscribatur, per eadem ostendemus talis rectilinei centrum imeriacere puntiis R, S; & similiter deinceps in reliquis.
Notandum, quod in libro Archimedis de quadratura parabolae ostensum est. quod omnis portio sub peripheria parabolae ,& recta linea comprehensa est sesquitertia ad triangulum super eandem basim,& sub eodem vertice constitutuma; Hoe est,quod sectio A R B L C sesquitertia est ad triangulum ABC. Itemque sellio AKB sesquitertia est ad triangulum AKB: de similiter sectio BL C sesquitertia ad triangulum B L C. Et quoniam triangula A Κ B, B L C sunt inuicem aequalia,quando eorum utrumlibet est trianguli A BC pars octaua, sicut in dicto libro ostenditur. Ideo,& portiones ipsae A Κ B, B L C sunt aequales,& viralibet earum totius sectionis A K B L C pars octaua. Vnde ambo triangula AKB, BL C sunt quarta pars trianguli ABC . Et similiter
quatuor triangula in relictis portionibus perspecte inscripta sunt quarta pars triangulorum A K B, B L C :& octo triangula in relictis facta, sunt quarta pars quatuor triangulorum praecedentium,& sic in infinitum. Relictae autem ultimo portiones semper sunt pars tertia triangulorum postremo inscriptorum: & sic fit ut tota sectio sit iasesquitertia trianguli primi: nam sit fuerint quotlibet magnitudines in proportioni continua qu drupla, congeries earum,cum tertia parte minime semper est sesquitertia ad maximam: Quae cum singula in libello superius memorato sint demonstrata ἀ inde sumenda sunt: sicut dc ex conicis elementis quidquid oportunum est, hic add.
PROPOSITIO/XXII. iDatae sectioni conicae, quae parabolla vocatur, figuram rectilineam per- specte ita inscribere, ut linea centro sectionis, & figurae interiecta sit quocumque dato spatio minus. SIt data parabola ABC datumque spatium F, oportet parabolae ABC inscribere,quale dictum est, rectilineum. Inscribatur parabolae ABC perspecte triangulli ABC, sitque centrum parabolaeper primi,
momentorum, compertum H,&sicut est B Had
F spatium,sic sit triangula A B C ad quadrilaterum R. Inscribatur deinde parabolae rectili neu AKB LC,perspecte itaut relictae portiones sint, minus ipso quadrilatero R; sitq; intcripti rectilinei centrum E: erit enim per pracedeutem, Hpropinquius vertici B quam punctum E: Dico itaque quod linea H E minor est dato spatio Finam maior erit ratio rectilinei A Κ B L C ad telictas portiones qua triangulum ABC ad qua-