장음표시 사용
171쪽
DE MOMENΤIS AEQVALIBUS LIB. IV. 161
ctum Fr Itaque coniuncta CF, erit per 6. ρωπι momentorum aqualιum; centrum totain
lis prismatis ADBE in ipsa recta CF; sit ipsum G. punctuine igitura . primi momenurum erit sicut prisma A B ad prisina D Ei sic linea F G ad lineam GC: sed sicut est triangulum C ad triangulum P, sic est prisma AB ad prisma DE. quandoquide prismata sunt basibus proportionalia ): Ergo sicut linea F G ad lineam . G sic triangulum C ad triangulum P. Quare per a8. primi momentorum c centrum est quadrilateri C F: Quod & centrum totalis prismatis A D B E fiuiti sicut proponitur demonstrandum. Idem similiter demonstrabimus deprilinate super basim pentagonam, hexagonam, aut plurium, dc quotcumque laterum luperficie erecto. modest propositum.
si iidi ex octo triangulis constructi, quorum bina opposita aequidistant,
semper,& alterum alteri aequi latera sunt, hoc est octa hedricose poris: centrita est in communi sectione trium axium. INtelliinatur planum parallelqgramma A BC D, euius diametri A C,B D se vieissim
raro ualia secantes in puncto Gipo turq; EGF perforas planuvi sim G E,G Faeduales,&coniungantur puncta A, B, est extremis E, F ι sic erum fiet Octahediu solidu, uuale proponitur A B C D E F, in quo binae quaeIibet oppositae bases triangulaeaedui distant,de aequilaterae sunt altera alteri, & in quo tres axes A C,B D, E F,se inuicerifaria lacant in puncto G; Demonstrandu est igitur quod centrsi grauitatiis octahe
inde cogruat parallelogramu H Κ L M pa- parallelogramo A BC R., sic enim propter aequalitatem laterum,& aqguloru cogruentsingula latera octah dri HKLMNO singulis lateribus octahc
singulae vertices singulis vertieibus,& singu-l i axes singulis axibus,& octahedrum Octa-hedro coaptabitur, ut ex duobus unum fiat: congruent itaque persextumpesta uirmoctahedrorum centra. Rursum congruat parallelogrammum H Κ L M parallelogrammo A B C D commutatis angulis: sic enim congruent rursus axes axibus commutatis extremis: & rursum octahedrum octahedro coaptabitur: &rursum per dictum postu- Diam, solidorum centra congruent: Ondo igitur centra grauitatum congruunt in utraque coaptatione; nulla autem puncta solidorum in utraque coaptatione congruunt praeterquam puncia G, P quae sunt communes inium sectiones, propterea omihino ipsa G, P puncta erunt soli Drum centra: Qusd erat demonstrandum.
172쪽
Alia demonstratio huius septimae. SIt octahedrum solidum λ habens oppositas quasque bases parallelas: sitque x
viruin parallelogran morum,quod balis est communis duarum quadrangulatum pyramidum B, C componentium ipsum octahedrumi sitque parallelogrammi A centrum punctum A: Aio quod etiam A punctum erit centrum solidi octahedri A; quod 'sic ostendam. Sit pyramid is B centrum punctum B. dc coniungatur B A,& produeatur in rectum, ponaturque i psi B A aequalis A C. eritque punctum C centrum pyramidis C per viri num postulatum, quandoquidem pyramides A, B sum similes. & aequales, di punctum A centrum balis earum communis, atque A B , A C lineas correlatiuas,& aequales habeant, sintquς invicem aequales. itaque puncta B, C sunt centra grauium aequalium pyramidum scilicat A, B: Quare per i 6. primi momentorum. aequaliter distant a centro totius ἱ erus sm, centrum totius estinis eii BC: sed punctum in recta B d, a quo puna eta B, C aequaliter distant est punctum A. Igitur pulictum Aest centrum tinius Oetabedra icilicςς .i, A: QDd fuit Oitendendum. Similiter 'stciadam. Od centrum Oct hydri. j hA est incentio cuiuslibet alterius para Ioyam-ὶ I ami cx lateribus octahedri constituti. P-, i, f vel sic seu pera scundi oeniρr hη , 2 Ἱ π cetrum A parallelosia mi A E in lectisne piis it --. . 'diametroium eius u parallessigrammi: atq; i ,
dem diametti lint & diametri reliquqrum si um ex Aliquis bctahedri Iaterib*s e6. stitutorus' parallelogradi morum: . onstac iam quod Apunctam est cent ae tam Octahedri, quam uniuicuiusque parallelogrammi exoduhedri lateribiue' ituti COROLLARIUM ' HIne& illud insertur, quod octahedritalis centrum est semper in communi sectione axuam solidi: Nam axes lunt, qui coniugunt oppositos solidi an Sulos, α proinde ipsae parallelogrammorum diametri, in quarum sectione centrum octahmori luisse demoniicauimus.
Si per centra partium, & centrum totius ducantur tria parallela planae quod per centrum totius, medium erit planorum ; portiones a tem cuiuslibet rects inter aequi distantia plana receptae sunt i parti alii s grauibus, ordine permutato, proporti nates: Vnde sigrauia sint aequalia portiones
.. . α dictae erunt aequaleS ,&e contrario. . . . O ...
SInt centra grauium partialium A, B, centra commune amborum C,per quae ducatur tria plana, inter plana vero receptae portiones cuiuslibet rectis sint, D p,F E . Demonstranda est, quod planu, quod per pu heium C ducitur cadit inter plana, quae per
173쪽
per puncta A, B: Quodque linea EF ad F D est sicut graue I ad graue B: coniungantur enim A, B,eritque persi primi momentorum aquatium, Cin ipsa A B linea:&pr inde planum quod per C erit inter plana, quae per A, B pumsita: Item per i 7. XI. EMlidis, sicut linea E F ad linea F D, sie linea B C ad lineam CA,m 7. autem primi momentorum aegiratium, sic graue A ad graue B. Igitur sicut graue A ad graue Β, sic linea EF ad lineam PD, quae iuerunt demonstranda.
Si pyramidis triangularis hypothemis a quaelibet, ita secetur, ut portior . ad basim recepta sit tertia pars portionis ad verticem rclictae: per punctum autem sectionis, ducatur planum basi aequi distans; ductum planum ibit per centrum grauitatis pyramidis. E Sto pyramis A B C D super basim triangulam A B C, habens verticem D,& quae
uis hypothemiis a vertice ad basim, ut pote DA secetur apud M punctum, itavi A M portio sit pars tertia portionis MD, atque per M punctum ducatur planum, aequi distans basi A BC: Aio quod tale planum incedet per centrum grauitatis Pyramidis ABC Di Quod sic ostendo. Secentiae pyramidis ABCD singula sex latera per medium in ipsis punctis E, F, G, H, R, L: quae punista coniungantur ductis duodecim lineis in ipsis qua ι
tuor pyramidis basibus di sic enim . relinquentur ad vertices pyrami- ' . t
dis quatuor pyramides inter se aequales, de totali pyramidi similes:
solidum autem in medio relictum erit octahedrum contentum sub mcto triangulis , quarum bina qua que opposita sunt alterum alteriae-
qui distantia , & aequilatera, & similia uni basium pyramidis: Itaque planii aequi distans triangulo ABC ductum per punctum M , cum secet ipsam A K per aequalia secabit si gula octa hedri latera, & axes per aequalia e dc proinde ibit per communem sectionem axium octali dri: Sed per praecedentem 7. huiusmodi communis sectio est centrum octahedri: Ergo planum praeflictum ibit per centrum octahedri: Quod si tale planum non eat per centrum pyramidis A B C D, sit, si possibile est, centrum pyramidis in alio plano parallelo basi, & ducto per aliud punctium, quod sit N in hypothemis a AD: sit item centrum coinmune ouatuo pyramidum partialium ad vertices relictarum in plano basi parallelo ducto per punctum O. . emquepertractaeentem, planum per N. inter plana per M,O puncta: Qiandoquidem planum per N ductum it per centrum totius pyramidis ABCD: plana vero per M,Opuncta eunt per centra partium, quarum una est octa hedrum, astera congeries quatuor pyramid uin ad vertices relictarum et Sit autem commune centrum trium pyram
174쪽
dum partialium super planum A BC positarum in plano parallelo ducto per P punctuin. Et quoniam latus pyramidis magnae D A duplum est lateris A K pyramidis pata uae: Idcirco per 7. dupleκ erit linea M A lineae A P Sit ipsi AP aequalis linea K eritque centrum pyramidis partialis ad verticem in plano basi parallelo per
punctum inducto. Itaque quoniam trium planorum aequi distantium per puncta U, P. duetorum, quod per punctum O ducitar, it per centrum totius, scilicet quatuor pyramidum partialium:Quod . autem per punctum P it per centrum unius partium , sci licet per centrum trium pyramidum super ABC positarum et Quodque per punctum iacit per centrum reliquae partis scilicet pyramidis ad verticem: idcirco per precedentem, hOrum planorum medium erit quod per punctum O; & quoniam una partium tripla est ad reliquam,hoc est congeries trium pyramidum ad basim ad pyramidem verticis: idea
per praemitam, linea QO tripla ipsius O P. Igitur O P quarta pars ipsius PQ, & perinde quarta pars ipsius AR,&ob id dimidium i p. sius AM e Fuit autem PN dimidium ipsius NA: maius autem M A ipso AN duplum duplo: Maius ergo dimidiun dimidio, hoc est maior linea U P ipsa linea P N: pars toto Quod est impossibile: non el 1 igitur centrum pyramidis ABCD in plano basi parallelo per punctum N: & similiter arguetur quod in nullo alio basi ABC parallelo plano, quam per punctum M ducto, existet; de hoc proponebatur demonstraudum. .
Alia denion stratio eiusdena nonae. F X pyramide ABC D sumo hypothemilam AD, quae secetur in puncto M, ita ut
9 A M sit pars tertia ipsius MD,& per punctum M ducatur planum pat alle liὲ-bali Λ B C: Dico quod in tali plano erit centrum pyramidis ABCD; secetur enim, ut in nona, pyramis A B C Dinquatuor pyramides inuicem similes,& aequales, relicto Octahedro pyramidibus contiguo, ut ibi: & secetur linea A Dper aequalia apud Κ: dc rursus AK per aequa apud MDemum A M per aequa apud P: itaque A P erit pas tertia splius P K: Sit ergo & K Q.
pyramidum partialium ad basim in plano basi parallelo per punctum P, dc centruncpyranudis ad verticem in plano per punictum inquare centrum commune talium quatuor pyramidum erit in plano per punctum M per a . primi, cum tres pyramides basis sint triplum pyramidis ad verticem ; & spatium M Qtripluin spatij Ρ M: Centrum autem relictio hahedri in plano per punctum M in . quani: Congruit itaqu ratio ponderum supposito. Non enim aliter se trabere centra possibile cst: Sit cnim
totalii ABCD prrimis centrum in plano per punctum R&tunc per dietum post v
175쪽
DE MOMENTIS AEQUAUBUS LIB. IV.
urum, erit in plano per plinctum O citaui Μ O pars sit ipsius M N spatij sit ipsar uviquatuor partialium pyramidum centrum, cum dimidia sint earum latera late rum pyramidis totalis: sed per 7. centruna octahedri relicti suit iam in plano per punctum M: Igitur N centrum totius non statuetur in medio ipsorum M, V centrorum, quae sunt centra eartium: Quod est absurduin: Constat ergo propositum.
Si per centrum grauitatis pyramidis triangulae ducatur planum basi parallelum : ductum planum ita secabit hypothemiserum unamquamque, Ut portio ad basim sit tertia pars portionis ad verticem receptae. PYramis esto ABCD basim habens triangulam ABC, verticem vero D; in qua ducatur planum per centrum pyramidis parallelum basi A BC, secans qi iam uis hypothemissarum ut pote ipsam A D apud punctum M. Aio quod A M linea est ipsius M D pars tertia : iod si non sit: Esto si possibile est linea ARpars tertia ipsius RDi α ducatur per R punctum planum basi A B C parallelum: quod per praecedensem,ibit At
per centrum pyramidis ABCD: itaque centrum py- riramidis non est in plano basi parallelo per punctum M ducto: quod est contra breothesim astruitur erga propositum.
Quod ante praemissa proposuit aliter demonstrare. REpetens eandem descriptionem ex d iuisione pyramidis ABCD, sumemus pyramidem verticalem H Κ L D, dc unam ex pyramidibus tribus ad basim.q iae iit BGFL; reliquum vero diuidemus mduo Prismata serratilia, quorum v nuin bases triangulas habet AE F, H Κ L; alterum au te basim quadrila. tera EFG C, quς serratilia per Eu-esidis, inter se aequa lia sunt,& simul supta sunt triplum pyra midum BFGL, ΗΚ ALD simul iumptaruοῦ 'Quadoquidem una,& viralibet dictarupyramidum est pars B
octava pyramidis totalis i & ambae sunt simul quarta pars pyramidis totalis: itaque diuisa ut antea per medium linea A K in puncto M. demonstrandam est, quod centrum pytamidis ABCD est in plano basi
176쪽
ABC parallelo ducto per M punctum: Sit enim A N tertia pars ipsius A K, eritque
MN sexta pars ipsius A K, secetur per medium MN in punct Q, cumqueserq. huius, centrum serratilis AEL sit in plano per punctum bt:.ccntrum autem serracilis EG Hlit in plano per pyneium N, atque serratilia sint qualia. Iam per 8. huius, commune centrum huiuimodi serratilium crit in plaBo pH punctum O: intelligendo semper piana aequidistantia basi ABCὶ polito aureis centro totalis pyramidis A B C D in plano per punctum M : sectaque per medium A M in puncto P: crit per 7. centrum pyramidis BFGL in plano per punctum P; sit ipsi AP aequalis Rui Eritque centrum pyramidis HKL D in plano per punctum insecetur per medium P apud R; eritque commune centrum pyramidum dictarum in plano per punctum R, atque unaqueque linearum A P, P M, M R, R K, Κ et pars quarta ipsius
AK : Igitur RM tripla est ipsius M Ue&triplum cst aggregatum serratilium, cuius centrum in plano prr punctum O, aggregari pyramidsim, cuius centrum in plano per punctum R: conuenit itaque per 8. huιui, It centrum totius scilicet pyramidis totalis ABCD sit in plano . per punctum M. Alibi enim si ponatur, sequetur absurditas,
punctum O; cum tria eodem plano sit c mune centrum serratilium: erit per 7. primi, in eodem, &
pyramidum: inare punctum P cadet vltra puncta A,ddide
BFG i cadet extra;psam pyramidem, quod est absurdum per thimam positati ἔν Librtiori accidet, si ecurrui'wamidis totalis ponatur in plano per aliquod puis eiu in interruncta A, O . si autem ponatura puncto Oad partes D, ut pote id pus per punctum sint ex ipsa O, M puncta: Tunc pre 7.ρη iatum; puncta P, Q. Iranferenti ir versus partes A per spatium dimidium ipsius M S, cum in similibtis soIidis centra similiter, hoe est proportionaliter sint disposita; & proinde punctum R. quod in dium est ipsoruin P, Q antundem recedet ad partes A, hoc est per spatium simidium ipsius M S, si tale spatium RT: maius crgo erit spatiu ST spatio M R. Itaq cupa per centra partium,scilicet serratiliu tamquam unius partis,& pyramidii taniqua alterius partis ducaetur plana, quae per puncta O, T: atque per centrum totius scilicet pyramidis toralis ABC D,ducatur planum: quod per punctum S; sitq; pars partis tripla,hoc est aggregatum serratilium triplum aggregati pyramidum: erit iam ;pers. huius, linea TS tripla ipsius Sor sed & tripla ibit R M ipsius Mo. maior autem fuit T S ipsa M R triplum scilicet triplo; Ergo de limplum simplo maius, ipsa videlicet S O, maior ipsa OM; pars toto: quod est absurdum: Non ergo erit centrum pyramidis A BC D in plano per punctum S: similiter ostendetur non esse in ullo alio basi ABC parallelo plano, quam per punctum M ducto; sicut suit demonstrandum. Hinc ergo rursum quod decima proponit, demonstrari potest, sicut iam ex non praecedenti demonstrata fuerat.
177쪽
DE MOMENTIS AEQVALIBUS LIB- IV. I 67
- Alia demonstratio eiusdeis undeclinae RVrsum ex pyramide A B C D sumo eandem hypothemisa in A D,sitque A M pars
tertia restitui M D; ductoq; ut in nona) plano: Dico qu Q in tali plano et it ce-tcuai pyramidis : secetur eni in pyramis ABED utan a r. iii duo serratilia aequali , duas Que pyramides aequales vi. ibi: &l mea A D per aequalia apud Κ; unde & A K
per aequalia apud M fiet; sed A N sit dimadium ipsius N B i unde P N fiet Drs duodecima iplius A Κ.& M N pars texta eiusdem, qua per mediiis a diuisa apud O fiet via u. quodque trium spatiorum PN, NO.UM pars duodecimae totius A.Κ. Item ipsi A Paequaι is ponatur Κ , eritque P inequalis ipsi A dc diuisa PQper aequa apuit R, sic
stabit pondeturn ratio: Nam . .
centrum serratilis super basim A N Μ - , Η
trum commune dictorum serratilium in plano per Oper i si primi, centrum pyrgnudis partialis ad basim in plano per P centrum pyramidis p rtialis ad verticem in plano per punctum caservisimum pastuiarum. Centrum commune i lium pyramidum duarum in plano per per punctuin Rcongruit itaque ponderui' ratio sue p*sito, qu*ndo serratilia inter se aequalia,& centrorum parrialium 1 centro communi distantis aequalis; nec secus in pyramidibus partialibus; Item centrum tot lis pyramidis punqum M , dc centra partium O, R, bene habent ; Nam Vna partiti r scilicet aggregatism terratilium tripla est ad reliquam scilicet ad aggregatum pyramidum spatiuR R Mtriplum ad ipatium Mo, quandoquidem MR aequalis ipsit PM: nectite alit pie habere hanc centrorum dispositiopem, postibi epst: Nam secu4 sicut in praemissa δε sequetur impossibile e ira vi lcilicet spatia ponderibus eciproca esse nequeant. constat ergo propolirum.
In Pyramide qualibet triangulari, ducto, ut praxe dcns, & nona huius proponit, plano ; centrum facti trianguli eri centrum pyramidis.
siin triangulam A B C. ae fa strugiOD: secetur quaelibet hypothemiularum ut pote A D in puncto M,ita- ut Α M sit pars tertia ipsius M D,atque per punctum M ducatur planum basi A BC aequid istans, de faciens triangu lum M L H. Aio quod centrum grauitatis trianguli ML Hest 3c centrum grauitatis ipsius ABC D pyramidis: quod sic ostenditur. Secetur rursum A D in puncto Q. itaut D it pars tertia ipsius Q A. sc enim D in erit dimidium ipsius Q M.& proinde ducto per punctum Q plano aeqv idistante ipsi basi Disjlired by Coos e
178쪽
C D, & faciente triangulum Q F E, & secate triangulum L M H, ut sit communis se
et o lecta GK, erit LGlιιm, centrum trianguli LM H erit
linea GK: adhuc secetur CD in puncto P, itaut D P sit pars tertia totius P C, di per P punctum ducatur planum aequi distans basi A BD iaciens tertium triangulum 'PR S; cuius item cum triangulo L M H comunis lectio sit linea N O secans ip-um G Κ in puncto T: Et ostendetur similiter L G linea dimidium esse i sius OH: Vnde permemo aram I pulictum T erit centrum trianguli L Q H. Verum per praecedentem ter Omptam, centrum pyramidis A BC D Est iti Wiloquoque trities a ductis planis factorum triangulorum, hoc est tam in triangulo L M H qu1' in triangulo cUE, quamque in triangulo P RS: omnino etgo erit in puncto tribus talibus triahgulis commune nul lum autem punctum tribus ipsis triansulis est conimune, nisi punctumT: Igitur pun 'ctum T. quod trianguli LM H suit, erit centrum pyramidis ABCD: Quod ζr t
Centrum grauitatis in pyramide triangulari est in linea, quae verticem cum centro basis hόniungit , iisque tu eo lineae puncto , quod portionem ab basim suscipit, quae tertia pars est res duae. PYramis esto ABCD super b
sim triangulam ABC, sitque trianguli ABC centrum V, & coniungatur D V, quae secetur apud Gita ut D T tripla sit ipsius T Vt demonstrandum est quod T punctum est centrum grauitatis pyramidis ABCD ; ducatur per T punctum planum ipsi ABC basi aequidistans, de faciens triangulum L Μ H, & co- iuncta C Vr producatur, & concidat ipsi A B apud P, & coniungatur FD secas LM apud G,&co iuncta G H: haec erit coin unis sectio trianguloram L M H, C D F; & quoniam D V linea est in plano trianguli C D F. ideo secabitur a linea G H in ipso plano trianguli L M H, hoe ea in pur Ao T:
179쪽
DE MOM TIS AEQVALIBVs LIB. IV. 16s
Iinos A saeuualis est ipsi F B, cumque L M aequi distet ipsi A B; erit & M G aequalis
HG-Igitur&HT dupla ipsius T G. igitur Te LM H sed trianguli L M H planum sic secat ipsam D v,& perinde hypothemisas, uto ortio .d basim sit tertia pars relictae id verticem: Ergoprepracforem, T punctum, quod centrum est facts trianguli L H est & eentriam pyramidis AB C D. Qiu, diuit ostendendum. -- ψτουν .
PROPOSITIO XIV. . . , Rem,quae avertice pyramidis in eius cen
trum agitur,producta cadit in ceu ,-trum basis triangulae. : 'δC P.
IN pyramide ABCD per basim triangulania
ABC posita, sit centrum grauitatis T punctis; i J iα eoniung tur DT, productaque cadat in basim . . ABVapud V punctum: Aio quod V punctum est hcentrum grauitatis trianguli A B C: .sit enim si pos- i. sibile est, trianguli ABC centrum studi quam vPunctum, ut puta Ypunetiim; dcconiungatur DT 'Acritque per pracedentem, eentriam pyramidis AB i bC D in linea D Y, qtiod est contra hypothesim Supponitur enim T rumstum; astrukur ergo prae
. ' PROPOSIΤIo XV. si ab angulis quatuor solidis pyramidis triangulae totidem lineae descedant incentra singulae oppositarum basium, omnes quatuor se inuicem in uno euncto, quod centrum est pyramidis secabunt,itaut po tiones earumaeemro ad angulos receptae sint triplae reliquarum sim rutae singularum .' Contra, si ab angulis pyramidis per centrum quatuor lineae ducantur productae in centra oppositarum basium cadent.
P Rima pars huius patet, quoniam unaquaeque huiusmodi linearum, per i 3. repramissam, incedit per centrum pyramidis, & sie secatur ut portio a centro ad angulum suscepta tripla sit reliquae; altera vero propositioni pars sequitur ex pracedems I quasi corollarium.
Si fuerint quatuor grauia aequalia, quorum centra non in uno plano p . ,.sita coniuncta per sex rectas conficiant pyraesidem trilateram;
centrum sectae pyramidis erit commune centrumi quatuor grauium. SVnto quatuor grauia ςqualia A,B,C,D,quorum centra A, B,C,D,non in uno planmconiungantur per sex rectas continentes pyramidem trilateram AB C D. cu-Disilired by rate
180쪽
Ius centrum sit T. Demonstramlum est, quod Tpunctum est commune ce trum grauium AiB,C, D tanquam unius: coniunga P. enisu D T. pr0 u-
A B,C,&Dgrauium crit in linea DV: sed pre 13. linea D T tripla est ipsius T V; &per bypothesim, aggregatum grauium trium A, B,C triplum. est grauis D: Ergqρα et 8. primi, T centrum )6mmune est ipsorum 'Ai,C, D grauium. Qiod erat demonstrandum
Si in qualibet pyramide ducatur planum basi aequi distans, de it, sectas
unamquamque hypothemiserum, Ut portio ad rissim recepta . . sit tertia par reliquae s centrum facti rςcti linei erit oentrum p ramidis. . E sto exempli gratia pyramis A B C D E super quadrilatera bacm A B CD,&subi vertice E, atque ducatur planum aequid istans basi ABCD,&secans una qua- auu hyporticinissa ruin, ut pN ipsam A E in puncto F; itaui portio E F sit tripla ipsius I A. & faciens in pyramideiquadrilaterum FGHK iamprsdem simile ipsi quadrilatero A B CD dc monstrinuum est, quod centrum iacti quadrilateri FGHK st de centrum pyramidis ABCDE Gniungamur enim BD. CN,& intelia ligatur pyramis tota diuisa in duas l)yramides triangulares , quZ qm bases tri tiguli A B D , B CI)ieritque Zer 1 2. b Nys, centrum pyramidis ABDEcentrum ipsum Itianguli FG R , lir illud L pumnum. Itemque cent ii m pyramidis A C D E centrum ipsum trianguli G HK, sit ipsum M punctum; de coniuncta
s G ΗΚ ini mea L M: si illud N: eritq; per a7.ρradicti, sicut trianguluk G RG ad mangu u G H sioli. nea M Nad I ineam N Lisicut autem triangulu F G Κad triangulum G H K sic triangulu A B D ad triangulum BCDidi perinde sic' pyramis AR DE ad , pyramidem B c D E : igitur sicut pyramis ABDEad pyramidem MCDE, sic linea MN ad lineam . N L. inare per a8. memaratii quando partialium pyram um centra sunt ML: erit totalis pyramidis AB CDE centrum N punctum, quod iust quadrilaterr FGH Κcentrum. Quoid fuit demonstrandum. Similiter idiplum ostendemus de pyramideis pentagona, hexagona, & quodlibet deinceps laterum basim habente. Quemadmodum proponitur demonstrandum. .