장음표시 사용
181쪽
DE MOMENTIS AEQVAUBVs LIB. IV. triCOROLLARIUM.
ando igitur mi 3. ιμ-s,s entra pyramidum triangularium sunt in lineis,quae centra basium trigonarum cum vertice coniunMnt, atque in ipso recit timeo FGHK per i a. iam necesse est,¢rum totalis pyramidis ABCDE esse in linea, quae centrum totalis rectilinei A B C D cum ipso vertice coniungit,atque incentro facti rectilinei FG ΗΚ, hoc est in ipso puncto conium, lineae, quae porti nem ab basim suscipit tertiam partem existentem residuae. Et e contrario necesse est, yt linea quae vitticem pyramidis cuiuslibet cum centro pyramidis coniungit, producta cadat in centrum basis, hoc est ut linea E N producta cadat in emtrum A B C Drectilinei. Namque bases triangulae, & omnes bases partiales tam in rectilineo ABC D, quam in rectilineo F G H Κ sunt ad inuicem, sicut pyramides, quarum sunt bases,& perinde 'centra basium in facta rectilineo FGHκ semper sunt eadem cunia centris pyramidum, quarum sunt bases, & lineae a vertice E per talia centra ducta cadunt in oentra basium dictis pyramidibus respondentiu in i plo rei tilineo A B C D. propter similitudinem triangulorum superiorum cum inferioribus, & proporeion linearum; Unde,&linea a vertice per centrum totalis pyramidis cadet in centrum totalis basis.
Si in quolibet cono ducatur planum basi aequidistans, & ita secans coni
cum axem,ut portio ad basim recepta sit tertia pars reliquae: cenaum facti circuli erit centrum coni.
SIt conus ABC, cuius basis A B eirculus; vertex C punditam , laeetque eonum arquidistans AB circulo planum faciens circulum DE, secansque conicum latus AC in puncto D Itaut AD sit pars ter ia)psius D Et sitq; centrum circuli*Epu .ctam F. Aio quod F centrum est.κ coni AB C .coiungatur enim CF,
& producatur, erit enim axis coni, cadetq; in centrum basix A B.quod
sit Gi Itaque si F non est centrum, coni ABC; sit,si possibile estialiud quam F punctum, quod sit H, ubi cumque cadat, & coniungatur F H. di producatur, donec ipsi A L. quae axi coni eo CG aequid istat apud L punctum coincidat, & ulterius: Item coniungatur A G, eui apud Κcoincidat ipsa HK aequi distas ipsi C Gi quibus peractis,sicut est linea AK ad lineam KG, hoc est similia ..i- - l lanea L H ad lineam H F. sic stet py- ου
tra conum deseripta ad solidum M; & rursus sectis arcubus circuli A B singulis bifariam, iterum, atque iterum, inscribatur intra conum pyramis laterata, donec relictae portiones inter superficiem pyramidis, & coni sim minus solido M: Quo facto pyramis talis, quae sit A B C habebit rationem maiorem ad relictas portiones, qu*m Iinea
AK ad lineam ΚG, hoc est quam L H ad Η F, sit ergo sicut pyramis ipsa A B C ad
182쪽
relictas portiones,lic linea N H ad lineam H F; cumque centrum totius coni sit H,cent trum autem unius partium; scilicet pyramidis A B C: sic F per prae quandoquidem Fceutrum circuli D E est per corin νιumsecuis da fecundi momenιorum, centru rectilitiet D E necesse erit ut centrum reliquae partis, scilicet relictarum portionum sit N punctui
secus ensin non essent gravia recl- proca diitantijs, quibus eorum cetra absunt a cetro communi : tydesset ablurcu per 27. Wιmι mamentorum a natium. Et si N centruest relictatum portionum , sic matrum i. grauitatis eis extra ambitum grauis. QAod per utramam ρ ιωum, eit inconue mens: Similiter demonstrabimus,quod centrii coni A B Cnullum aliud esse potest, quam ipsum p punctum: erit ergo ipsum F punctum ; sicut proponitur demonstrandu'. , . 3
:ι i co ROLLARIUM. Manifestum est igitur, quod 'eratrum grauitatis Coni estin illo puncto unici am cquod sic secat ipsum, ut portio ad basim recepta sit tertia pars reliquae.
Si in libra serie continuata suspendantur aequalia ; & similia triangula rectangula, similiter applicata super libram, ita ut latera hos loga librae aequi distent: punctum suspensionis ex centro communis grauitatis omnium triangulorum distabit a medio puncto librae versus illorum bases sextante lateris unius triangulorum aequi distantis librae. IN libra A B. secta bifariam in C,suspendantur triango M. N, Κ. P. Q, R similia, de
aequalia inter se continuata serie , similiter posita; ita ut latera homologa F AN L,LS,ST, T G, GL aequi di-
1tent librae A Bi atque ex C versus bases triangulorum abscindatur C H, quae sit pars sexta unius lateris homologi EX. Aio Hesse punctum suspensionis ex centro communis grauitatis omni utria. gulorum. Secemur AI, E O, &c. trientes laterum triansulor u FX, X L die. patet per i setηndi aqua Dum moment. I, O&c, esse puncta suspensionu triangulorum excentris Srauitatis eorum: quare o
183쪽
nia mangula suspensa erum continuata serie in libra I O; & quia C A aequalis est C B.&o B dupla ipsius Alrergo CHuperat Co excessu aequali eidem Ald, igitur si ipsic o addatur H C semissis A l, quae est sexta pars lateris F X,vel A D, erit H o aequalis HI, & ideo H punctum erit suspensionis totius librae Io eum triangulis appensis,
ex centro communis grauitatis eorum,quod erat ostendendum. Non est necesse, ut praedicta latera homologa triangulorum coaptentur librae A Blarie continuata; dummodo latera praedicta homologa parallela simi ipsi librae A B, di praedicti triangula serie continuata sibi ipsis succedant.
Si triangulum rectangulum ab uno eius latere horizontali pendeat, eique ascribantur duae figurae scalares ex parallelogrammis aeque altis compositae: punctum suspensionis centri grauitatis totius figurae inseriptae distabit a trianguli basii minus triente, figurae vero circumscriptae maius triente totius librae, eritq; defectus,vel excessus aequalis sextanti altitudinis unius rectangulorum. SIt triangulum ABC rectangulum in A, quod pendeat ex latere A Bhorizomisi
eique alaribantur duae figurae ex rectangulis aeque altis compositae, inscript A Q E i r circumscripta A C Κ P B; sitque A D tertia pars lateris A B, secςnturque hinc inde D R, D Ssngulae aequales sextanti ipsius QE altitudinis cuiuslibet rectanguli A E. Aio punctum suspensionis ex centro g auitatis inscriptae figurae esse punctum R; & locus suspensionis figurae circumscriptae ex eiu centro esse punctum s. secetur libra bifariam in V,sumanturque hinc inde V X, V Z singulae aequales sextati ipsius altitudinis unius re agulorum. Quia in libra
duntur sit nilia, & aequalia triangula rectangula QC E, T E FΔα quae si in liter applicantur super libram horizontalem, ut latera homes D , Υ F dee. aequi distent ii brae δε nergoper pracerin rem punctum suspensionis ex
centro communis grauitatis omnium triangulorum distat - eis. a. . ov
a medio puncto V versus bases sextante Unius lateris QE, scilicet cadit in puncto X. Similiter ostendemus,quod locus suspensionis per centrum grauitatis omnium triangulorum C E K, E F L . I BPcte. cadet in puncto L. Pestea quaelibet portio librae aequalis altitudini unius rectangulorum quarum una TBintelligatur diuua in sex parte. aequales; iam productum ex numero senario in multitudinem partium librae, leuin numernm triangulorum suspensorum, aequale erit multitudini particulariam totius librae, quarum medietas erit A V, tertia vero pars eri; A D: unde earum differentia V D erit sexta pars totius librae; ideoque continebit tot particulas, textas unius latein iis trianguli, vel portionis librae, quot sunt altitudines rectangulorum, vel triangui
184쪽
rum suspusorum propterea quod numerus ille productus efficitur ex senario in mulatitudinem praedietarum partium, ideoque hic toties libram A B metitur, quoties unitas numerum senarium mensurat, ut deducitur ex 39. o IS. Isseptimi Hemotorum Euttidis & quia portiones V X & R D sunt aequales quaelibet enim sexta pars est unius portionis, seu altitudinis Q E rectanguli A E estque D X communisi ergo X Raequalis erit V D. quare X R sexta pars quoque erit totius librae , nempe continebit tot particulas sextas unius portionis T B quot sunt portiones eiusdem librae A B. modo quia triangula BIT, & B C A sum similia, & latus B T metitur mesogum latus B A; ergo ex I 9.sexti Euclid. triangulum B IT ad triangulum B C habebit eamderationem, quam quadratum viritis B T ad quadratuor multitudinis partium librae AB ; suntque triangula suspensa C QE, E Υ F, I ΤΒ &c. tot numero, quot sunt portiones librae ABI igitur triangulum ABC ad triangula fuspensa C , ΕΥ ITR&c. eamdem rationem habebit, quam numerus quadratus partium librae R Bad eius latus,seu quam habet latus ad unitatem ex des i8.septimielement. Eselidis:contine bat vero XR tot particulas i : sextas unius portioniS T B in ἰ 13 est I ri
Tandem pro figura circumscripta aduertendum est, quod punctum Z est locus suspensionis centri grauitatis communis omnium triangulorum C Κ E. E L F, F N Η,&c. eltque Sis aequalis Z U igitur Z S aequalis est V Di mpQ continet tot pani DIas sextas unius portionis , seu lateris C Κ quot sunt portiones librae: habet vero tria-gulum A BC ad omnia tri Ingula appensa CK E, EL FSNH, . eamdem proportionem quam quadratum numeri multitudinis partium librae ad eiusdemiarus , seu quam Z S ad SD; suntque Z & Dpuncta suspensionum ex centris grauitatum partiufigurae circumscriptae, nempe una pars, quae est triangulum ABC pendet ex D pu elope 43δcco, aequia. mement. reliqua vero pars, quae est aggregatum triangulorum C K E, E L F, F N H, &e. suspenditur ex puncto Z. igitur pix 28. pri moment. punctum S erit locus suspensionis centri grauitatis communis ambarum partium, nempe totius figurae circumscriptae A C R P B.e instat ergo propositum.
FAcile ex hac propositione deducitur; quod si super triangulum AB C. desuper figuras adscriptas ad eandem altitudine eleuentur ptismata: tunc constat e 6.
185쪽
quarii, est ρηεment. quod punctum suspensionis ex centro grauitatis pris iis triansularis ABC sit idem punctum D, ubi olintriam libra in proportione dupla secatur. id ipsum veriticatur de omnibus parallelepipedis aeqvh altis, & aeque- Iatis copponentibus figuras adscriptas, prinndeque figurae lalid inscriptae punctis suspensionis per centrum grauitatis eius erit punctum R,non secus ac in nsura plana contingebat: fisurae rό circumscriptae punctum suspensionis erit in s.
Si ex duabus libris, a qualibus pendeant ex aequalibus distantiis pondera proportionalia similiter disposita: suspensionum puncta ex
centris grauitatum uniuersalium abscindent ex libris
- portiones aequales similiter dispositas.
SInt duae iserae aequales AB, CD;&ex distantiis ualibus A, E,Fa &QGM,D pendeatit pondera proporitonalia, similiter disponta, ut scilicet I ad K sit sieut o ad P, & sicut K ad bl ,sie Pad atque sicut M ad N, ita dad R. siue pondera librae A B sint eiusdem generis eum ponderibus librae CD, siue non, sitque Y punctum suspensionis centri grauitatis omnium ponderum sit punctum suspen. sionis centri grauitatis omnium ponderum 9S,Qic Aio tectas C & A Y aequales inter se esse . sit punctum Scentrum grauitatis librae A Epressae a ponderibus I, Κ ; α
punctum T sit centrum grauitatis librae C G eum ponderibus appensis o, P; & sic re-
Ieriantur centra grauitatum equentium trium correlatiuorum ponderum, quae sint
V. X. & quia sicut I ad K, se est O. ad P, & coniunctim sicut IK ad K,se erit o P ad Pict per a8.secundi aquia. --ment.sicut IK ad K ita est E A ad A S.& sicut O Pad P. se GC ad C T. ergo sicut EA ad A S, sie G C ad C T, suntque antecedentea E A. GC oequales Argo consequenes AS, CT aequales quoque erunt: & quia duo ponderat, Κ pendent ex Spuncto,& duo pondera P pendent ex puncto T, non secus ac prius ostendetur punctum V centrum esse librae FScum tribus ponderibus appensis I, Κ.M,&abscindere distantiam S V aequalem ipsi TX factam 1 centro trium ponderum o P, Q in libra TH.&tandem quia pondera sunt proportionalia habebunt ad pondera N,& R relativa correlativis comparando eamdem proportiorem, quam librae V B. X D ad dista tias VY,&XZ;& ut prius UTVZ aequales erunt a sed actenus AS, CT aequales fuerunt, nee non S V,Τ X aequalest ergoomnes simul,scilicet A Y aequales crunt Omnibus Icilicet distantiae Z C, & hoc fuerat ostendendum PROM
186쪽
PROPOSITIO XXII. Si conoidi i, rabolico ascribantur diis figurat ex cylindris scalatim que
altis compositae: centrum grauitatis figurae ininiptae in axe distobit a basi conoidis minus triente , figurae vero circumscriptae centrum grauitatis distabit maius triente totius axis; eritque defectus, vel excessus aequ lis sextantialis hidinis cuiuslibet cylindrorum.
ESto conbis parabolicus CBD, cuius axis AB, basis vero circulus radio AC descriptus ; huic vero solido ascribantur duae figurae ex cylindris aeque altis compositae inscripta AI K M H; circumscripta veta A o P B; seceturque A V pars tertia avis A inde abscindantur poletiones VX, V Z singulae Qual ex Aqxi msius HBaltitudinis nempe vallis cylindroni m. Aio quod punctum X est Frymgrauitatis figurae inscriptaes Z vero est ce trum grauitatis figurae circumscriptae. Expo natur triangulum E F G rectangulum in Ecuius latus EF aequalest ara conoidis AB; seceturque E F in totidem partes aequales, ac dissectus fuerat axis A B; astribanturque triangulo ditae figurae ex parallelogrammisse. alatim dispositis, & aeque altis,&tot nu-incro, quot sunt cylindri in conoidali; sitque inscripta figura E Yo a, circumscripta vero EBS F; seceturque ex libra E F portio E N tertia pars totius, di N R, atq; N S aequa. les sextanti altitudinis cuiuslibet parallel grammi. postea quia in conoidali bases a scissae, quae bases quoque sunt cylindrorum aequalium altitudinum L H, M B, &e. circuli sunt nempe descripti radiis Δ L , & H Μ, hi
vero circuli eamdem rationem habent quam quadrata radiorum re a. terrνdecimieuint.
Eseliae δέ in parabola sicut quadratum Δ Lad quadratum H M sie est 'ou. portio axis ΔΒ ad id B, estque X Fad a F in eadem ratione, cum sint aq-les hae illis, sethcet sicut Tr ad AO, nempe ut parallelog minum Ya ad parallelyg m naum αε cum sint eiusdem altitudinis .igitur eylindrus HI ad ut indrum H Peamdem rationem habebit .. quam parallelogrammum a Y ad parallelogrammum a stidem ostendetur dereliquis omnibus cylindris, & parallelogrammis figurarum inscriptarum.& circumscriptarum correlativa semper comparando. cum igitur sint duae librae aequales AB,&EF in partes aequales disse in quibus suspenduntur exaequalibus distantisis pondera pro Ῥrtionalia nempe cylindri in conoidali,& parallelogramma in triangulo similiter disposita,nempe consequenter a terminis B&Fcr sceado iuxta seriem numerorum ab Initate igitur per myst. M. praced, centra..
187쪽
i miram correlativa infigarat uin abi indent ex libris piritiones aequales , smi F- υτ dispos ast sed ex s.centium grauitatu figurae inscriptae in triangulo suspendi turm puncto R. igitur figune inser ae in contactili centrum trit X pudebun i quandoquidem ambo puram X, d amualitur recodunt a basibus cum A V,&EN sint tertiae partes ammtioni labrarum Ad di EF, atque V .dc Nitiam si arantes minavim ait, tudinum ΗΒ,&a Reodem ratiocimo intendentur punctaZ S suspensiompa loca τι se centrorum figurigya circulinscriptarurn , Urapropin prolistio verificatur.
Uri ConciliparabolicusCn. cuius axis AB, qui diuidatur in E, ut AE torti
parsst totius A B. Aio quod puncta ii E est centruin grauitatis tofidi par. bc lici Cno. Si eritii hoc verum non eit i cadat centrum conscidis aut supra, aut infra puna E in eodem axe A B, primo ead t infra si possibilem n pu Uo X. de intellia satur figurat ascripta conuidi ex cylindris aeque aliis c iisposea, cuius pare sexta atria. tudinis unius cylindrorum minor sit pia Ei ponatur Usu EF. & quam pro pomi --αhabet A F ad F X, eamdem hab missus iiii concidale ad spatiuin G: deinde alia figuraex cylindris aeque altis eidem cono Malia batar maior praecedetate , quae coinponere rex maiori sistitudine cylindro. . mmmmis his. ideoque eorum lcxtantes m n πminores erunt quaen EF, quare sumit : aeuia i futurae inscriptae, centrum Irauitatis ca- l
minorem rationem quam idem conoidalo
ad spatium H minusquam G;&disu ictim A X ad XI minorem p postipnemi bit, qua figura postrem. inscripta conoidi dei complemetum ib. Ri 2 inu, . ,
quo minor est conoidali augeatur et go
istum X est centrum grauitatis totius conoidis C B D, nunciam vero, test trums uitatis unius partii, nempe figurae inscriptae ex cyl moras aeqile altis composila ἔ&sicut LX ad XI sc est a inscripta,ati Α, alium Hi a sectum a conuid'. 'rgo per prι- mom M. 67-. putactum Κ erit ccntrum grauitatis praec; idii defcctus aconoidc: undecem rum K cadet castra ambitum cessus noulis lupra figurami scriptam, quod est absurduna per vit timposiauium : Non igitur fieri potest ut cellamus grayitatis cod discUMmiva putQttim Evellus A.
Ponatur 4ςundo, si fieri,potest centrum graui istis conoidi s r pon iis' 'inpartes ut in M: & faeta consiimu constructioine ,eircus, seribatur ic indi ii in iis lindris aeque alti compostae, cuius centrum grauit ris sit Ne& quam lationem a
188쪽
batur eidern missi alia rax e cylindris aeque altis eomposita, minor praecedente, conitam nimirum exmaiori multitudine cylindrorum haec protecto habebit centrum auara is vicimus puncto quam praecedens maior figura circumscripti; cadet ergo eius cecitato inter ta sit illud o punctum: patet quoque cxcessum quo haec figura circumscripta condidem superat minorem esse spatio G, sit illud Ha, hine eonisAO ad O iu inorem proportionein habere, qui t AN N M; seu quico Male CBD adG,&ad- - 3 mc minore qua conois C BD ad spatiu Hi fiat erisgo Κ O maior quam A Oado M, sicut eones sale BD ad spatium H,&quia in recta linea ΚMpu- et imi Oinceturumgrauitatis totius figur e ex cylindris a que altis commisitae conoidi circumscriptae. & punctum Mesicctrina grauitatis unius Pa tis eiuMein figura circumscriptae, icthcet condidis C h D i di stetit KO ad O M, sic se babet idem co-noidale ad spatiam id, scibot ad excessum figuraei ciccumscriptae supra eo a idem, 'μgo 'tra trimi aquae momem. pimetum K crit ntrum grauitatis p dicti excessus figurae circumscriptae supra cinnoidem, hoc autem cadit extra ambitum piaediciti excessiis; quod est in pol sibile, rem R. uis non ergo possibile estut centrum conoidalis cadat supra punerum Ead partestra sed neque uista puduim Ereperiri posse ostensum est, sequitur ergo ut centrum Navitatis conoidis praecise existia in pu Laxim diuidente ut B Edujasit ipsius Et quod pio situm luerat.
Dati solidi tegularis centrum inuenire. Circumscribatur dato solido sphaera perdoctrinam Is elementorum Euem , fiat' talis sphaeraeeentrum rit me s. dato selita grauitatis e rudi rquod
Daunilaratu centrum inuenire, iDVcatur in pris te planum utrique basium aequidi n ,& ab utraque aequestibus spatijs remistum, deinde in plano facti rectilinei centruper,s serundi m -ntis maga sum, eomperiatur: Nam tale centrism erit, & centrum grauitatis inis prismate dato, pers. videm datum pri a sit parit lepipedum:pero a yemn sit triangulum oper i vero, si fit multi lateras bases habens: QDd Dauebatur.
189쪽
inti octahedii, cui M bina γάibet oppositae bain aequidistanc
centrum inuenire. DVeantur in octahedro duae diametri eopulantes bina, bi na verticalia puncta rnam sectionis punctunt, in quo huiusmodi diametri se inuicem secant, crit centrum solidi prop'si p e r. . Quod erat comperiendum.
Datae pyramidis centrum inuenire.
laceps laterum: Quod quidem erat comperiendum.
inii Gai, vel Concidis parabolis centrum inueni CApianir conicuis axis, qui sic secetur, ut eliquae r&conoidis axis sic secetur ut pars ad basim reςςpygψz:
nuae; Nam sectionis punctum erit centrum coni per corollarium a I. .ec c-, acidis , per propo tionem a s . cedentem, quae quaerebanturq
Dati solidi cuiuslibet centrum inuenire. CApiatur solidi punctum quoddam interius, a quo dueantur lineae f
rutos sic enim intelligeetur solidum distinctum in tot pyramides, quot solidum
dum contra; deinde aereast. prim , comperiatur commune centrum Dinarum py Imidum & mox, per ea-em, commune centrum trium, quatuor, & deinceps,uo
mi he' k pyramidibus, hoe est dati solidi centrum comperiatur: quod in
190쪽
Centrum grauitatis nunquam nisi in centro uniuersali naturaliter quiescit. N qm per a. possistitum, centrum gratuitatis quantum possibile est, ad centiu F
uniuersale accedit; itaque dum non potest accedere,inipeditur, & idcirco ii dilnaruristitor, sed impeditum qu: scit iduni au in non impedibur semper accecit centrum uniuersalc, doncc m ipto uaturalitet quid scat: Quod est pi Noli um.
Si centrum grauitatis in centro uniuersali consistat; partes graue ςrunt ditianti js, quibus centra partia tu ablunt a centro uniuersat hordine pei inutato prcportiori e
I cum centrum commune partiti ti sit per hypote in ipsum uniuersale c*trum cxa' prImι momentorum arara itium, malit testinia cit quod
Libri arti, & vltimide Momentis Aequalibus. Panormi. XXIII. lanuar i MD X vli I.