장음표시 사용
191쪽
Resaini edes Dos hc o bcnc agere, Cononem quidem decessisse grauiter doluiuius, tibi aut in Inobis tam amico, Sinniat tui iratibus ciuilito mirabile, ν quoddam, quod praeconati sumus, nunc ni ittimus quoiriadniodum Cononi ibere consucucramus; demonstrauimuSeni in quod omiars portio contenta a recta. & a scctioite rectatiguli coni est epitrita trigoni canddin balian,& altitudinem habentis, opus nulli priorum tent rum demonstrauimus inquam primum per mathematica, & inde per geometrica, sumpto ad demonstrationem hoc fundamento. Inaeqii alium spatiorum excessum compositum possibile esse cxcedere omne propositum finitum.
SIt rectanguli coni portio A BG, quae quidem B Dpenes,seu aequidistas diametro, vel ipsa diameter; quae autem A G penes ea, seu aequid istas et,quae apud B contingit sectionem Aio quod aequalis est A D ipsi GD. Nam si BD sit ipsi diamotor, constat hoc ex
conuersi proris t. s. lib. secvn. comed . 'o mi penes diametrum ostenditur in tropos . o. ob.prami toni-
Contra si BD penes diametrum, vel ipsa diameter, ipsae autem A D, D G aequales . Aio quod parallelus est A G et,quae si ctionem apud B contingit i quod patet σκρ opinitionib- Ορειον re praecedenti est.rtis.
SIt rectanguli coni portio A BG, quae B D penes
192쪽
Sit rectanguli coni portio A B G, quae B D penes
cliata tiruaa,vel ipsa diatneter; quae autem A G,dc lux E L penes eam, quae apiid B contingit sectionem: Aio quod erit sicut DB ad BZ longitudine, sic potentia, quae AD ad EZe ostenditur hocinae .polcorum ou. ' . .
SIt portio contenta a recta, S sectione rectam guli coni ABG, quae quiclem B D p escii.tiiutrum sectans AG bifariam, vel ipsa di, meter;&a puncto quolibet lineae A G, ut pote apuncto Zeducatur penes BD ipsa ZH ad periphe ia, & producta occurrat ipsi G B productae ad signum T. Rio quod erit sicut G D ad D Z; sic Z T ad T H. agatur per Η penes ipsam A Grecta Η Κ, secans B D apud Κ, S ipsam B G apud
I,erit lue perpriemissim sicut quaciratum D G ad quadratum H Κ, vel D L, sic D B ad B Κ 1 de ideo per a .sexti EucI. sic G B ad Bl: sed.per eiurdiaa, sicut quadratum G B ad quadratum B T, sie quadratum GD ad quadratum D L. erro sicut G Bad B l, sic quadratum G B ad quadratum B T. Itaque dupla est ratio G Bad B Ieius, qiuae G Bad B T. Qta re ipsi GR. BT, Bl, sunt continuae proportionales, coniunctim igiti ir si Z signum ea dii intra A, D; si vero intra sigila D , G,me
SIt portio con: enta a recta,§ione rectanguli coni A BG, & ducaturA L penes diametrum, quae autem GTcontingens sectionem apud G,& secta AG bifariam iii pu acto D, ducatur penes diametrum D BE: Aio quod scutcst A D ad D G, sic D B ad B E. Nam cum AD, DG sint aequales ;&quae DB pcnes diametrum, erit per a. quae Ac pestes eam, quae sicctione contingit apud B.Quare te s.quae D B aequalis ipsi BD Ergo sicut AD ad D G, sic DB ad BD inodcst propostum. Rursum a quolibet alio puncto lineae
193쪽
AG utpotδη dueatur penes AZ linen KT L. Aio rursem, quod leue est AK ad
ibusdemonstratis , sit libra A BG, cuius medium B, trigonum autem B D G,
rerim habens angi nn, qui apud P; suspendatur, a signis B, G, suspendatur quoquς,&syatium L ex alia parte librae apstd A, Saequaliter repat spatium Z apud A siaspensum, trigono 2 D G sic iacenti. Aio quod triplum est trigonu B D G. spatijZ, seceturςninin , in Epuncto, itaut dupla sit GE ipsius EB, & agatur penes
BD linea ΕΚ,quae secetur inaequalia apud T,eritquc,win loro de Momentusibiis, sustinensum. T punctum.cem
trum grauitatis trigoni B DG - it que si trioni BD G, quae quidem , standum B, G appenso soluatur, desispendatur secundum Ε, matri tr uonum, ut nune se habet ; Namquove in dicto libio ostendijus recta I T iET, quae signum appensionis ci in 'certum glacitatis rei appensae eon ne , Qthetus est ad horizont 'di ideo perpendicularis ad ipsam AG. quη parallelus est horirantia sic ergo niami trigonum BGD B
pensum a siris G, sicut suspensum a signo E, & aeque repit spatio E se penso a signo A : Verum 'epensa aequε repetiti reciproca sunt spatijs, a quibus pendent ostensim est enim hoc ha -- mentis ae a ibus. Igitur sicut q A B ad lineam B E. sic trigonum BG Dad spatiunt A ipsus BE quoniam BGmnia eiusdem; Ergo&mgonum B D G triplumest lesius L spatii: quod est propositum. Contra si tritium sit trigonum ΗDG ipsius L sparii, trigonum ,&spatium aequalis
ter repente quoniam scilicet quae A B tripla ipsiux B E. Si dis Diuam a uatiu-m --ntorum, appensa longitudinibus, a quibus pendent,reciproca aeque repunt.
SIt rursum libra AG, cuius medius B, trigonum autem DG Hamblygonium, habens angulum, qui ad Hobti sum ;& Iatus D H perpendiculare ad A G, de pro
ductum eurrat ipsi AG ad divestillare GD alti xinoni sit librae dis,dium 'suspendat dia A muae repati set: Aio qum mphim est trigonum H D G spatij ia apponatur enim spatio L sputumia quod ni trisni BGΗpgra te imi&aeque repet per eaminiam praemi . , spatium L tremo B H G, sed ipsum Z
194쪽
SIt rursim libriA EG, cuius medii , R trigonini antein E DG tectis ΜScium,qui apud V appendatur se idum, GL utcunt incto interes Diis
195쪽
QUADRATVRA PARABOLAE.1 PROPOSITIO X.
trigonum autem K D G amblygonium, habens angulum, qui apud Κ obtusum: Alitia tudinem aute E G existente E inter B,G pum ω ι & suspendatur ex libra secundum E aspatium autem Z secundum A, & aeque repat cum trigono KDG sic se habente, ut nune iacet sieut autem est A B ad B sic sit trigo. num KDG ad spatium L. Aio quod spatiuZ maius est spatio L, minus autem triangulo Κ D G i haec non aliter demonstratur, quam Praemissa, per centrum grauitatis Τ trianguli
Κ D G penes E D ducta T H, ut pendeat triangulum a Quo Is solo , yt hunc iacet
SIt rursum libra A B G, cuius medium B,trapetium autem D B H Κ habeat eos, qui apud B, H angulos rectos 3 latus autem D Κ vergens ad G; spatium autem Z sub Pensuit apud A, aeque repat trapetio B Κ: Item sicut est A B ad B H, sic sit trapetium ΒΚ ad spatium L. Aio spatium Z minus esse spatio L isecetur enim, quae B H apud E,
haut H E ad E B sit sicut dus um ipsius B D iunctum e-H Κ ad duplum ipsius H K
iunctum cum BD. de penes B D duc turlia Nnea E N, quae secetur bifariam apud T,erit ι ' . . . . trapetij B Κ centrum grauitatis T, sicut oste- - - - ditur in aquati s si igitur trapeti u i i L, ii ,
R K a signis B, Η solutum apud E su Maturi
pendebit, ut 'unc iacete quandoquidem i . oportet ET Eat lietiam esse ad horizontemῆ . 'I . .
Itaque tripetion B K suspensum apud E, & spatium L suspensum apud A aequaliter re punt; erit ergo sicut AB ad Bri sic trapetion ΒΚ ad spatium Zi fuit aute sicut AB ad B H,
sic trapetion ΗΚ ad spatium L, maior igitur' i i: s A si est ratio trapeti, ΒΚ ad spatium z, qua ad . v spatiuiniata arenrio; quinta Eιμι passuis . ci . . A lΣ minus est spatio Laino destri'positum.
Quod si latus D Κ non suerit vergens ad Gi nihilominus propissit utri verum esti nonCnim reserti quorsum vergat latus D Κ dum recti sint, qui apud B, H anguli; sie enim semper sigilum appensionis Ecad jnter ipsa B, H puncta.
196쪽
SIt rursum libra A B G , cuius medium B.
trapetium autem D K T R, ς uius latera DK. RT, vergant ad G ; latera vero D R. 'Κ Τ kathetos ad B G. dc producta occurrat ipsi AG apud puncta B, H; mox spatium Z sui pensum apud A aequaliter repat cum trapetio D T sic se habente, ut nunc iacet; de sicut est A B, ad B H, sic sit trapetium D T ad spatium L. Aio spatium Z minus esse spatio L. quod quidem non aliter demonstrabitur, quam praemissa sumpto videlicet cetrograia uitatis in trapetio D T,dc per ipsum centrum ducta linea penes ipsa D R, Κ T latera.
Sit rursum libra A BG, cuius medium B, trapetium autem EDΚH, euius, qui apud E, H anguli rect ; latus autem DK vergens ad G; inde spatium Z apud Rsui ponium aeque repat uapetio E Κ sie se habente, ut nunc supponitur: & sicut est A B, ad B H, ite sit trapetium E K ad spatium M. Item sicut A n ad n E sc sirma petium E K ad spatium L. Aio spatium Z ipso quidem L.
maius, ipso aure raminus esse: sumatureni in sicut in nona trapetii EΚ centrum quod sit
T, & pencs DE ducatur TI . & trapetium a signis E, H solutum,&apud I, suspensum pE- debit, ut nunc iacet ob dictam in pta missistrationem: Itaque trepetium E K suspentum apud l, spatium autem Z apud A aeque repunt: erit ergo scut AB ad Bl, sic trapotium E K ad spatiu Z: fuit autem sicut A B ad B H. sic trapetium ΕΚ ad spatium 11;&scue A B ad B sic spatiu E Κ ad spatium L; ma- 'ior est ergo ratio per 8. quintι Euclid. tra P t ij Et ad L, quam ad Z;&maior ratio ad Z quam ad M. inaret O. eius , Mmaius quam Ζ,&Z maius quam L. Quod est propositum. ira
trapetium autem Κ D T R, cuius latera Κ D, T R. vergant ad G. latera autem D T. K R sint Κatheti ad B G. & suspendatur a libra Iecundum, EH, spatium autem Z suspendatur secundum. A, & aequaliter repat cum trapetio T Κ sie iacente. & sicut est A B ad sic sit trapetium TN ad spatium L; sicut
197쪽
auteni AB ad ΒΗ, sic idem rrapetium ad spatium Mi Aio spatium Z ipso quidem Lmaius, ipso autem M minui esset Quod non secus ostendetur ac praecedens sumpto scilicet centro grauitatis trapetij T Κ, & per ipsum centrum ducta linea penes ipsam E D, vel H Κ, donec occurrat ipsi E H in aliquo puncto , unde pendeat trapetist T c
HIs opportund praemissis, sit portio BTG contenta a recta, & a sectione rectan insuli eoni; sitque primo B G ad rectos angulos diametroὲ quae B D penes diametrum, quae autem D G contingens sectionem apud Geritque trigonim B D G rectangulum,§a B Gin partes ut cumque, ut pote in signis Ε, Ζ, H,l, ducantur penes diametrum ipsae E S, Z C, H Y, IX ad latus D G seeantes peripheriam sectionis insignis F,T,RO, quae singula connectantur cum G, & connexae educantur , donec se quenti singulae parallelo occurrant,videlicet ad puncta Κ,L,M,N. Aio itaque trigOnum B G D trapetiorum quidem K E, L Z, M H, NI, & trigoni X lG minus esse qua triplum: trapetiorum autem Z F, H T, I P, & trigoni I OG maius esse quam triplum. Intelligatur enim libra A B G, cuius medium B, ex qua suspendatur trigonum B G D secundum B G. & secundum Asuspendantur spatia R, V,λι' di aeque repat spatium R cunia trapetio DE, spatium Q cum trapetio Z S, spatium V cum tr
petio C H, spatium . cum train petio Iri spatium in cum trigono XI G, sic se habentibus, ut iacenta Itaque totum spatium RV- δ aeque repet cum trigono B G D: Qitare pre 7.triplum erit
per s. autem sicut B G. vel A B
sicut trapetium D E ad trapetiu
petium K E spatio R. Item per ε. sicut est B G, vel AB ad B Z. se C Z ad Z T, & ideo sicut trapetium S Z ad trapetium L Z ,&Dcut AB ad BE, sic SE ad EF, & ideo fie trapetisi S Z ad trapetium sat ergo fler ra. trapetia quidem L Z maius, trapetisi au- .
te F Z minus est spatio in similiter'er s. ct i 3. ostendam,quod trapetiu quidem M FImaius trapetium autem T H minus est spatio v ; quodq; trapetium NI maius, trape-' tium verti Pimhius est spatio, & quoniam per6. sicut est BG, vel A B ad B I. sie XI ad Io: Se ideo sicut tria liguluin XI Gad triangulum o I G: Ideope p. trianguin um XI G maius , triangulum OIG autem minus cmpatio δεοῦ Itaque trapetia Κ E, VL Z, M Η, NI, de trigonum XI G coniuncta maius sunt toto spatio R Q.V ω: at ira Pelia FLTH, PI,&trigonii ol coniuncta minus sunt toto spatio RQ.Vωδ: sed trigonum BGD triplum est spatij R V ω Igitur trapetia ΚE, L Z,MH, NI.&triangulum XI G sunt maius quam tertia pars trianguli B G D, de trapetia FZ, TH. PI, dctriangulum OIG sunt minusquam pars tertia trianguli BGD. od est pro-
199쪽
SIt rursum portio B T Geontenta a recta. & sectione rectanguli consi quae B D penes diametrum, quae G D contingens sectionem apud G; N autem trigoni B D G tertia pars spatium Z. Aio portionem B T G aequalem esse spatio Z ; nam si non est aequalis, est aut maior, aut minor: Sitergo portio B T G spatio Z maior, inquam, alia quo excessit, qui multiplicatus, siue compositus sibi ipsi poterit, mron. amemulat prima V. tam , excςdere trigonum B G D;multiplicetur igitur excessus,quo poserio B T G superat spatium Z toties donee excedat trigonum BD G,&in totidenia parte secetur BD aequales, quae sint B EH, HI, IK, KD.&diuisionum punctata connectantur cum puncto Gi connexae aurem secent portionis peripheriam in punctis F,R,T,S. Itaque quoniam tota pars est trigonli BEG trigoni BDG quota pars est excessus quo Artio B T G superat spatium Z suae multiplicationis exeedentis trigonum B D G ; ideo minus est triangulum B E G excessui quo portio superat Z; tunc ergo portio B T G maior est quam aggregatu ex spatici Z, de ex triangulo BEG sortiori trapetia BR ' - x M G
Z sed spatium Z per hypothesim est etianguli BCG i in rapars tertiar Ergo triangulum B D G minus est quam triplum trapetiorum A F, XR, PT,& trianguli GPS, - - quod per alteramρ Medemram, est impossibilet Non est ergo maior portio BTG spation . Sit autem nunc minor, sitque in prius triangulum B E G minus excessu, quo spatium Z excedit porti ne B T G, eritque tunc spatium Z maius quam amre-
fatum ex portione B T G, de ex triangulo BGE pes trapeti a B F, M R, A T, de triangulum P G o ,
per asterampramissarum, sane maius. quam. spatium Lir u V
quod est pars tertia trianguli B D G: igitur a sortiori trapetia BF.ΜR, AT, XL detrix gulum PGΟ-- ον ius sunt quam hortio B T G. de triangulum B G E: de-
matur ergo utrinque portio ipsa BΤG, desupererunt
inde quidem segmenta trapetiorum B F. M R. A T. X S. de triangulum P G o relicta
extra peripheriam portionis, hine autem triangulum BGEr maius ergo sunt di segmenta relicta extra peripheriam . quam triangulum RG E dised triangulum BG Eper mi i uexili aequum est trapetijs BF. F R,RT, Trudi triangulo SG o. Igitur diacta tegmenta tripetiorum B F, F R, R Τ, Τ S, de triangulum S G Ο maius sunt quam ipsarrapetia, dctriangulum: pars videlicet toto, quod est impossibile: Non est ergo minor portio BTG spatio Z; truitque ostensum, quod nee maior: aequalixer est ρογtiq B TG spatio R. quod est tertia paratriaoguli B D G: dc hoc erat proposuum
200쪽
SIt tandem portio BT G contenta areista,§ione rectanguli coni, cuius verto sit signium T , quod connectatur cuni subtensa B Gi Aio quod portio B T G ernit:ta est trigoni B T G: Nam cum T sit portionis BT G, vertex erit .ipsa B G peoU La. quae sectionem apud T contingit. Ducatur ergo penes diametrum recta T siticipia diameter; eritque per prι--3lmus quae BE ae- aequalis ipsi EG; ducatur item penes di metrum ipsa B D, cui apud D punctum occurrat, ipsa G D sectionem apud G contingens et ipsi autem GD apud Κ oecurrat & produeta; dc quoniam E T diameter,vel penes diametrum, &quar BG penes eam, quae apud T contingit sectionem, & GK laetionem apud G contingens ipli ET concurrit apud Κ.Ideo per 3. aequaliseit E T ipsi T Κ. Quare per 38. prini ι elementorum, aequale est trigonum K T G trigono T G E,& pereandem aequale est trigonum T GE trigono ET Biposito ergo communi trigono T G E,fit trigonum X E Gaequum trigono B T G. Sed per 3 7.sexti elemea tremmi trigonum DBG quadriiplum trigoni Κ EG sibi simi- Iis, quoniam latus later duplum. Igitur dotrigonum i DBG quadruplum erit trigoni B Tasuit autemper praemissam, trigonum D BG triplum portionis BT G:
Ergo portio B T G cpitrita est trigoni B T G: & hoc est quod a priacipio demansis Mum promiseramus.
ITaque triplum est triangulum ET Gaggreget Ires ,
triangulum ΚΤ G,& ideo triangulum ET G triplum est portionis T G: Ergo tria gulum B T E residuum triplum est portionis B Tresiduae r Cumque triangula B T E, ET G sint inuicem aequalia, erunt dc ipsae portioues B T. Τ G aequales. Hactenus tamen hoc demonstratum est interueniente doctrina aequalium moment rinci i