장음표시 사용
201쪽
nVADRATURA PARABOLAE. Is Is ECUNDA PARS LIBELLI.
Portionum eontentarum a recta,&curua linea Basim quidem voco rectam, Altit dinem autem maximam rathetum a curua linea ductam ad basim portionis. Verticem vero signum, a quo maxima Κatlietus ducitur.
si in portione, quae continetur a recta, & a sectione rectanguli e ni, a medio basis ducatur recta penes diametrum, vel ipsa diameter: vertex portionis est signum, secundum quod ducta penes diametrum secat coni section .
SItenim portio ABG contenta a recta AG,§ione rectanguli eoni ABG.§a bifariam AG in puncto D. ducatur BD penes diametrum, vel ipsa diam ter. Aio quod B signum vertex est sectionis ABG: Nam cum ipsae A D, D G sint aequales,& ipsa B D diameter, uel penes diametrum: erit per a. huius labri, quae A G parallelus ipsi B ta seeundum B signum com tingenti sectionem di Unde manifestum est, quod Κathetorum a petipheriae A B G ad rectam A G cadentiam . maximus erit, qui a signo B eadita Itaque pom . tionis A B G vertex est fignum A: quod est proposita. A
i PROPOSITIO XX. la portione contenta a recta; & sectione rectanguli coni,quae medio basis penes diametrum, siue ipsa diameter ad peripheriam eius; quae a medio dim id ij ad peripheriam ducitur, epitrita est longitudine. i
S It epim portio A B Geontenta a recta A G, & sectione rectanguli coni A B G, &sic a bifariam AG in puncto D. ducatur penes diametrum, siue ipsa diameter D B: rursum secta bifariam A Dapud E ducatur ad peripheriam pestes diametriam ET: Aio quod DB ipsius EZ- epitrita isti ongita ne . Ducatur enim penes AG ad ipsa , D B ipsa Z T. eritque per φ huius libra. Mut longitudino D B ad B T sie potentia A D ad ZT: sed quadratum A ad quadratum Z T quadruplami Ergo, & linea D B ipsius B T longitudine quadrupla: Quare B D ipsius D Τ,& ideo ipsius ΕΖ e uita est longitudine: Quod est propositum
202쪽
ARCHIM. EX MAUROLICO PROPOSITIO XXI.
Si in portione contenta a recta, & a sectione rectanguli coni trigonum, inscribatur trabens basim eandem cum portione, & altitudinem eandem ; maius erir inscriptum trigonum dimidio portionis.
SIt enim portio A BG, qualis proponitur, cui inscribatur trigonum ABG super ipsam basim A G, & sub eadem altitudine: Aio quod trigonum ABG maius est quam dimidium portionis ABG: Nam cum per hypotiae sina B sit vertex portionis ABG parallelus erit AG portionem contingenti apud B: sit ergo talis eontingens Z B E, cui ad signa Z, E occurrant ipsae AZ,GEpenes
diametrum duetae, atque ob id extra portionem cadentes critque er t. pramielm 'eηxorum, trigonum ABG
dimidium parallalogrammi AZEG. sed portio ABG minor parallelogrammor Igitur trigonum ABG maiusquam dimidium portionis ABG: Quod est propositum.
PAlam ergo est, quod in tali portione possibile est inscribere polygonium rectili-ncum, ita ut relictae portiones sint minus omni proposito spatio: Nam intra Portione na descripto triangulo super eandem basim, eande Re altitudinem, eri triap-guluna maius dimidio portionis ; item intra duas relictas portiones inscriptis similiteri riangulis duobus, erunt duo triangula nutua dimissio portionum: Adhuc intra quatuor rclictas portiones inscriptis quatuor similiter trianguris, erunt quatuor triangula maius dimidio portionum hoc autem toties potest fieri, donec per primm derii ielamentorum, rel:ctae portioncs sint minus quocumque quamlui libet exleuci Duo:
PROPOSITIO XXII bSi in portione contenta a recta, & a sectione rectanguli coni trigonum inscribatur basim habens eandem cum porciose, & 1ltitudine . eamdem: in scribantur autem, S alia trigqna in relictas pollionis eandem basim habentia portionibus, &alotudinem eandem utrius-jil, ct trigonorum inscriptorum in relictas portiones:octuphim est trigonum, quod in tota portione inscriptum est.
203쪽
per 2. sext/, secet apud T, eritque per 19. ho/us, punctum Z vertex portionis A L B; describatur triangulu A Z 5,eritq; trigoni cum portione A Z B,altitudo una, & basis una; non aliter laeta bifariam D G apud Κ , ductaque penes diametrum Κ H, describatur triangulum B HG; quod cum portione B H G eamdem cellitudinςm, candem
que basim habebit. Aio itaque trigonum A B G trigoni A Z B, siue trigoni B H Goetuplum esse. Connectatur enim EB,&quoniam BD ipsius quidem ZEperro. ha-ias, epitrita est, ipsius. vero E T dupla;.quando scilicet D A ipsius A E dupla: propterea Z E ipsius E T sesquialtera est;& ideo E T ipsius T Z dupla. Qisere'er primasexii, trigonum A E Τ trigoni A T Z duplum,& trigonum E T B trigoni T B L duplum. Itaque totum A B E trigonum totius A Z B trigoni duplum: Sedper prima exti, trigo num A BD, trigoni AB Eduplum: Ergo trigonum ABD trigoni AZB quadruplu adhuc irrigonum A B G trigoni A B D duplum: & ideo trigonum A B G trigoni. AZB octuplum. Non aliter idem trigonum ABG demonstrabitur ipsius trigoni BI Goctuplum: Quod est propositum.
COROLLARIUM.Ι Taque trigonum ABG quadruplum est trigonorum A Z B, B H G. PROPOSITIO XXIII. Si sit portio contenta recta, & a sectione rectanguli Coni; & spatia
ponantur consequenter quotcumque continue in ratione quadrupla, sit autem spatiorum maximum aequale trigono habentibasim eandem cum portione, & altitudinem eamdem; uniuersa simul spatia erunt minus portione. SIt enim portio A D B E G contenta a recta, &a sectione rectanguli cones; sintque,
spatia quotcumque ut puta A, H, T, I, quorum unum quod'ue sui sequentis sit quadruplum maximum autem sit Z. quod sit aequale trigono ABG cum portionGA B G basim eandem. idemque fastigium habenti. Aio itaque quod portio ABG maior est congerie. spatiorum Z,H,T I .lint enim ipsarum A D B, B E GPortionu vertices signa D, E, & describantur trigona A D B, B E Geritq; per coroαρracedentis, trigonum ABG trigonorum A D B B E G quadruplum: sed per hypothesim spatium L, ipsi A B G triangulo.
aequum,lpatij H quadruplum: ergo aequum est spatium H trigonis A D B, B EG: non aliter ostendam quod spatium T aequum erit quatuor trigonis de scriptis ad easdem bases, eademque fastigia intra is Τquatuor portiones A D, D B, B E, E G nec secust concludam quod spatium I aequum erit octo trigonis similiter descriptis intra octo posterius rebictas sectiones : Quare spatiorum Z H,T,I congeries qualis erit cuidam rectilineo intra portione A B G descripto; tale autem rectilineum minus est portione, quoniam scilicet pars eius; ergo
λ congeries spatiorum Z, H, T, I, minor est portione ABG: Quod est propositum.
204쪽
Si fuerint quotcumque magnitudines in ratione quadrupla consequenter dispositae: omnium earum congeries cum tertia parte minimae epitrita erit maximae. 'SVnto quotcumque magnitudines, ut pote quinque A, B, G, D, E, quarum Unaquaeque sit sequentis quadrupla; sitquel tertia pars ipsius E, quae ema nitudia 1 u minima: Aio quod congeries ipsarum A, B, Υ G, D, E, magnitudinum cum ipsa I epitrita est ipsius Amasnitudinum maximae; sit enim Zipsius B. & H iplius G, & T ipsius D, & I ipsius E pars tertia; Itaque cum B sit ipsius A pars quarta, ipsa autem Z ipsus B pars tertia, erunt B,Z simul imsus A pars tertia: n5 aliter ostendam, quod G, Hii mullunt ipsius B pars tertia; quodque D, T simul iunt ipsius G pars tertia; & quod E , I simulsu fit ipsius D pars tertia; estque I pars tertia ipsiusE. Istitur omnia simul B, G, D, E, I, cum omnibus, i a p - vm A, B, G, D, E, simul pars tertia: Cumque ipis a. H.
T. I, simul sint ipsarum B. G, D, E, simul pars tertia; erunt & relicta scilicet B,G,D,E I.
i Omnis portio contenta a recta, & a sectione rectanguli coni epitrita est trigoni habentis basim eandem ipsi, S altitudinem . equalem. SIt enim A DB E G portio con
tenta a recta, & a sectione reis et anguli coni . Tr1gonum autem .
A B G sit super eandem basim, sub eodemque fastigio cum portione,& ipsius trigoni A BG epitritum, sit spatium K: Aio quos spatium Ic aequum est portioni ABG;s
cus enim est, aut maius, aut minus:.
Si maior sit portio A BG spatio Κ, tunc sit portio A B G aequalis spatio R cu spatio L, &per torom at portioni A B G inscriba-' tur reetilineum A D B E G , it aut relictae portiones sint minus spatio L Itaq;polygoni u A D B E G maius est spatio Kr Sed polygonium A D B E G est cogeries magnitud, num
205쪽
num in quadrupla ratione dispositarum, quarum maxima est triangulum ABG; sequens ipsa congeries triangulorum ADB, BEG; tertia congeries triangulorum in. sequentes portiones inscriptorum, & sic deinceps: spatium autem K est epitritum . fi ianguli A 'B G, quae est maxima magnitudinum: Ergo congeries magnitudinum in quadrupla ratione dispositarum est maior , quam epitrita maximae, quod per praeed avem, est impossibiler Nam talis congeries minor cst, quam epitrita maximae: Non
est ergo maior portio ABG ipso K spatio: Sed nec minor: Nam si minor sit portio ABG spatio Κ, tune sit portio ABG cum spatio L simul aequalis spatio Κ . Sitque spatiun in aequum Rigon BGadi ipsiusR sit pars quarta spatium H; ipsi autenia Η μs quarta spatium. Τ; α huius quarta spatium I; quod toties fiat,dovec postrema fiet minus spatio L: Sitque iam I ininus spatio L. Cum itaque portio ABG eum L spatio sit aequalis spatio Κ, quod est epitrisum trianguli ARG;& ideo spatij Ri&ριν R, H, Τ, I, cum parte tertia ipsius Isimul sint epitrita ipsius Rmaximi, propterea portio ABG una cum L spatio aequalis est ipsis simul R. H, T. Leum parte tertia ipsius I.Igitur demptis inde quod ipso L spatiinhinc autem tertia paris te ipsius I, quae minus est quam L hratium: supererunt intia R. H. T, I, maiora, quam portio A BG; quod per 3 a. Misu, est impossibile, cum ipsa R, H, T. I, spatia sint in ratione quadrupla, &spatiorum maximum R sit aequum triangulo A BG eandem eum portione A BG sim, idemque fastigium habenti; Non est ergo minor portio ABG spatio Κεisitque ostensum quod nec maior: erit ergo aequulsi Sed spatium K fuit epitritum trianguli ABG: Igitur portio A BGepitrita est trigoni ABG; & hoe estiquod in praesenti propositione, & in principio libri demonstrandum propotitur.
' Libelli Mehimedis Demadratum Para Iati H Ie Archimedis De Quadratura Parabolae Libellus ex eorruptissimo , quod etiacumfertur, exemplari, labore, deindustria Francisci Mauroli et Mathematicaediseisinae studiosissimi eorrectus, ct restitutus est: eui tamen prius sust necessarium aequalium momentorum libellum praedicti authoris, de Apollonij conica elementa imeredibili metrix inspicacia reparare, si quibus tota praesentis libelli structura cooruet, utpote quae illis tamquam fit amentis innititur Μesianaeia Frem Sicula 23. Jssi 813 , , b
206쪽
1 C ILinea recta in plano ducatur,&quiescente altero eius termis o aegirali vel citate circumferatur, donec ad locum unde moueri cepit redeati & interinio punctum a termino quiescente aequali tenore in linea circulata versus relis quum terminum moueatur a punctum tale per duplicem motum describit in plano lineasti spiralem, quam quidem coclearemuo eant. 4 a Terminus autem quιehens lineae cimulatae vocetur initiumlineae spiralis. . a Positio vero lineae, aqua linea recta ineipit circumferti Initium circulationis. - Linea recta, quam panctiun motum in prima reuolutiolae permeaverit, Prim
s Et ea. 'uam dictum punctum in laeunda reuolutione permeaverit, Secunda, &reliquae similiter a numero reuolutionisti minentur. 6 Spatium autem com Et sensum a linea spirali in prima reuolutione descripta, &1 lilaea recit i. qtiae prima dicitur, Primum vocetur. 7 Compraebensum vendia linea spirali se erandae revolutimisi di iiii Ne eund.i, viscetur Secondum; a Rc reliquatietae s0atricti I I Dii Hi, 8 Item si ab initio lineae0stalis eaturitae, recta ei uim spes, exi hi ua 'vi spiraletii prae denti relicta sequens dicatur. '- Circulus quoque destriptus super taurum lineae spiralis ad Matium linea primae,
io Descriptus autem super idem eentrum ad interuallum duplum priniae secumdus dicaturii & eodem ordine deinceps reliqui. Priusquam attrem demonstrentur ea, quae circa spirales demonstranda sunt quaedam ad demonstrationem pet necessaria, quasi lemmata Permittentur.
ΡROPOSITIO PRIMA.Lineae a puncto aeqtie velociter delato peractae, sunt ad inuicem sicut temporum spatia, in quibus peraguntur.
PVndium quodddam aequali vel citate latum per lineam AB pera- A C D T Dp t spatia CD, DE; ipsum quide CD 3 ε- an tempore FG, ipsumque D E in tempore G H. Aio iam quod sicut est linea T G H L. C D ad lineam D ta sic est tempus F Gad tempus GH o quod sic ostenditur. Ponantur A D linea ipsius C D lineae, & Κ G tempus ipsius P G temporis aeqvh multiplicia . itemque B D Ilaea ipsius D E tam multiplex, quam multiplex tempus G L tempo-Diuilirco by COR le
207쪽
temporis G H. sequitur ex hypothesi, ut punctum propositum peragat lineam A D in tempore ΚG, lineam vero BD in tempore GLeverum si linea AD maior sit quam linea D B, & tempus K G maius erit tempore G L: & si minor minus ; & si aequalis aequalet quandoquidem supponitur punctum ipsum in maiori tempore maiorem linea; di in temporibus aequalibus ae luales lineas peragere. igitur ex alsi. proportionati magnis. sicut linea C D ad lineam D E . sic erit tempus F G ad tempus GH. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO II si duo puncta, quorum unumquodque sibi ipsi a quὸ velociter de
seratur, duas lineas uno tempore, itemque duas uno tempore peragant; lineae ab illo puncto peractae erunt lineis ab hoc puncto peractis proportionaleS. Punctum quodpiam unifbris tenore delatum peragat lineas A B, BCι item p
ctum aliud, tenore eodem seruato, peragat spatia DE, EF; ita scilicet ut lineae A B, D E peragantur in temporibus aequalibus;&lineae BC, E F, in temporibus aequa- δlibus. Aio quod linea A B ad BC, est si- G . . H cui linea DE ad lineam EF; quod Mosten- ditur. Sit enim tempus G, quo peragitur tam λ rata
linea AB , quam linea DE; itemque tempus . . . . . H quo peragitur tam linea BC , qua linea i. C UE F L nam utraque harum uno tempore ; & ' utraque illarum uno tempore peragi supponitur . eritque preman m, linea ABad li- , .
meam BC, sicut tempus G ad tempus Hi&linea DE ad lineam EF, sicut tempus G ad tempus H. igiturper ra. quinii liaea R Bad lineam bC,.estsicut linea DE ad lineam E F. quod est propositum q. PROPOSITIO III. . , -,
A centro circuli ad lineam rectam, quae circulum tangit ducῖ potest re-- ω, ita ut ductae pars inter tangentem, & peripheriam adscφidi
si . li , metrum circuli minorem habeat rationem,quam perip riae pars inter contactum,&ductam intercepta ad quam- cumquae peripheriae partem. FStoeirculus A BC, centrum Mia
gens DF, punctu contactus B;d tur quaecumque pars peripheriae, quaea
potest sumi recta linea maior quae sit E;& recta A K G mauidistet tangeti; & H Gponatur ipsi E aequalis.& tendens ad pi,ctum B, secans peripheriam in H;&per Κ & H ducta Κ H F oecurrat iesi D F ad punctum F: itaq: propter similitudinem triangulorum sicut F H ad H Κ,sic B H adH G. igitur minor est ratio FH ad HK,
208쪽
quam ΒΗ peripheriae ad HG; & a fortiori minor est ratio FH ad HK qitari AH peripheriae ad datam peripheriam; quandoquidem H Ghoc est ipsa E maior fiat, quam data peripheria.
A cmitro eire uti secans collocatam in circulo recta linea, potest duci ad peripheriam, ita ut pars duetae ipter peripheriam ,& collocatam ad lineam connectentem terminos illarum in peripheria rati nem habeat datam.Oportebit autem rationem datam mitinorem.existere ratione quam habet dimidium collocetae ad perpendicularem a centro ad collocatam. E sto circulus ABC, centrum Κ, collocata AC per medium secti apud H;&habeat F ad G minorem rationem quam C H ad FI K; sit Κ N aequidistans ipsi A Qanguini CL rectus; quare propter ι similitiidinem tri rum sicut est C Had H Κ, sic K C ad C Li igitur Κ C ad
C L maiorcm rationem habet,quam a
F ad G. itaque sicut F ad G, sic sit Κ C
ad BN, quae utique maior erit, quam
C L. & ideo B N ducta per punctium C ita locari poterit,ut ipsi K N occurrens apud N rursum peripheriae incidat apud punctum B. & ducatur ΚΒ secans ipsam A Capud E. de quoniam fuit sicut Fad G sic KC, hoc est ΒΚ i. i.
PROPOSITIO V. . Iisdem, quae in praemissa suppbsili ,&linea collocata extra circulumί' ducta: potest a centro ad ductam cxtra circulum recta linea protrari, ita vi pars eius inter peripheriam, & ductam extra circulum ad cho dam peripheris inter ductam,& protractam inclusq,habeatrationem data ui oportebit autem datam rationem esse maiorem chquam h bet dimidium colloeatae ad perpendicularem 4 cetro ad collocatam.
IN eadem descriptione 3ponatur data ratio F ad G maior quam ratio C Had Η Κ ; & ideo maior quam ratio Κ Cad C L: itaque sicut F ad G sie sit Κ C ad B N; quae utique minor erit, quam C L, di perinde peripheriam secans occurret ipli Κ L, occurrat apud N, peripheriam secans ad B, C , sic enim locari potest B N inter peripheriam,& rectam Κ L, ut producta circulum secet,ipsique puncto Gmcurrat. iSitur cum propter similia
209쪽
tudinem tri rum EB ad BC, sit sicut ΚBad BN, hoc est sicut ΚCad BN; do ideo sicut Fad G; iam possibile factum est, quod proponitur.
Iisdem suppositis, si recta circulum tangat apud terminum collocatae; potest a centro lineam collocatam secans educi per tangentem, it ut pars eductae inter collocatam,& peripheriam ad partem tangentis inter contactum,& eductam, habeat rationem datam. Oportebit autem datam rationem esse minorem ea, quam habet dimidium collocatae ad sibi perpendicularem a centro. ΙN eadem descriptione.ratio Fad G sit minor, quam ratio C H ad ΗΚ: & ideo mi
nor quam ratio Κ C ad C L. protendatur L C tangens circulum apud C,litque su= cut Fad G, sic KCad CX: quare maior erit CX, quam CL: describatur circulus per puncta L, X;&quoniam XC maior quam CL, suntque ad rectos ipsi KCM; ideo potest duci linea I N aequalis ipsi C M, quae producta coincidat puncto Κsecans peripheriam ABC apud B,& ipsam A C apud E. eritque per 33. teri. et men. ree lum X I,I L aequale re lo ΚI, IN; & propter similitudinem tri-rtimis ΚIL, Et C sicut ΕΚ ad K I, sic iam CL ad LI. igitur per is exi. elem: rec-lum Κ E, IL aequu erit rec lo KI, C L; quare sicut rec tum K E, IL ad re lum XI. I L, sic ree tum K I, C L ad rec-lum ΚI, IN a & ideo per prima exiti sicut Κ E ad XI. sie CL ad IN, hoc es CL ad C M: quandoquidem C M, IN lineae aequales; sed CL ad C M est sicut C Κ, hoe est ΚΒ ad CXρον 33. tert. Eacl. & Ixsexti; de per Θρ.the ,κ C, hoc est ΚBad CXsicut F ad G: igitur sicut F ad G, sie Κ E ad XI; quoniam itaque sicut totum Κ B ad totum C X, sie ablatum Κ E ad ablatum XI; erit,& reliquum E B ad reliquum I Caicut totum ad totum,& ut ablatum ad ablatum;& ideo sicut F ad G. & hoc possibile fore proposuimus.
Iisdem suppositis, &producta extrorsum collocata: potest 2 centro ad ipsam linea educi, ita ut pars eductae inter peripheriam, S collocatam comprehensa ad partem tangentis inter contactum, eductam , babeat rationem datam. Oportebit autem datam rationem esse maiorem ea, quam habet dimidium collocatae ad sibi perpendicularem
IN eadem descriptione,ponatur data ratio P ad G maior, quam ratio C A ad H Κ, di ideo maior quam ratio Κ C ad C L; sit ergo sicut F ad G,sic Κ C ad C X; eritq;
210쪽
C X minor quam C L. describatur circulus per puncta L, Κ, X: & quoniam X C minor est quam C L, & utraque ad rectos ipsi K C M ; ideo potest duci linea IN aequalis ipsi UM, quae producta cadat in punctum K, secans peripheriam ACB apud B; ipsa inque A C productam apud E. eritq;ter D. tert1 element. rec-lum X I,I L aequa-
rec tum L Ι, ΚΕ aequum est ipsi rec lo ΚI, L C. igitur sicut est rec tum L ii K E ad rec-lum XI, I L, sie est,& re lum ΚI, L C adrec tum K I, IN. sed per primam sexti, sic citam est linea K E ad lineam XI, &sic linea L C ad linea IN, hoe est linea L C ad lineam C M; per 33. reris,acter II .sexti, sicut Ita C ad C M, sic iam Κ C ad C xi hoc est K B ad C X. igitur sicut Κ B ad C X, ablatum ad ablatum, sic erit iani.&K Ead XI,totum ad totum; quare,&sie erit EB ad C Iresiduum ad residuum, hoc est sicut F ad G. & hoe iam possibile fieri demonstrandum erat. Sequuntur alia duo lemmata circa magnitudinum progressionem.
Si lineae quotcumque crescant eodem ex cessu, qui sit aequalis mirumae; tunc quadrata Vno plura facta ex maxima una cum contento sub mianima, δe sub congerie linearum crescentium, triplum conficiunt aggregati quadratorum a singulis crescentibus factorum.
SInt quotuis lineae ut puta A, B, C, D, E, P. G. H continuo, Scariuali excessu sese iexcedentes; sitque excessus aequalis ipsi H minimc: his autem omnibus excepta A max:ma dij ciamur totidem lineae singulae singulis aequalis, sed conuerso ordine, ut minima maximae,& vicissim maxima minimae a- l isdij ciantur: hoc est I aequalis ipsi H ad ijciaturipli Iue; K aequalis G ad ijciatur ipsi C; L aequali F adiiciatur ipsi D; M aequalis E adiiciatur eidem E; N aequalis D ad:jciatur ipsi F;Xaeq a- i Alis C adiiciatur ipsi G: Daequalis B ad ijeiatur lH. Sic omnes lineae ex his adiectionibus con- A Br se satae crunt singulae aequales A longissimae. Est j j Ll eigitur ostendendu,quod qua ta ex his lineis i l .
aequalibus omnibus A BI.CK, DL,EM, FN, lGX, HO cum quad-to ipsius A, una cum j lrec lo ex H minima in congeriem ipsarum A, B, C, D, E, F, G, H, triplum faciunt quadratorum ab ipsis A, B, C, D, E, F, G, H, singulis historum. .