장음표시 사용
211쪽
mee igitur qua a A, C, D, RG,H cum qua tis Ι,Κ,L,M,N,MO; cumquoqua to A,omnia h dupla sunt qua rum A,B,C,D,E,F, H; quare ad concludendum propositum superest demonstrare, quod reliqua supplementa una cum contenis eo sub Η , & linea aequali omnibus A,B, D,E,F,G,H lineis sunt aequalia cumulo qua rum A, QD, RGM. hoc enim ostenso statim astruitur propositum. ostendendum est inquam, quod re la BI, CK, D L, EM, FN, G X, Ho una eum re lori in aggregatum ex lineis A, B, C, D, E, F, G, H sunt aequalia qua tis
BI H in duplum B quandoquidem H,&I aequales sunt. C Κ Η in quadruplum C quoniam Κ uupla ipsius HRe Ia DL Equalia sunt in sex plum D quoniam L tripla ipsius HEM re la H in octuplum E quoniam M quadrupla ipsius HFN H in decuplum F quoniam N quincupla ipsius HG X H in duodecuplum G quoniam x sexcupla ipsius HHo H in quatuor decuplum H quonia Oseptupla ipsius H.
Et similiter qua eumque supplementa duplicata aequalia essene contento sub minima, di multiplici cuiuslibet secundum partes numeros sequentes. Adde utrobique re tum H in linea aequalem omnibus A, B, C, D. E, F, G, in eruntq; dupla rec-i rum BI, CK, DL, EM , FN,GX, Ho,re Io exH intactam ex A, B, C, D, E, F, G, H, aequalia contento re lo sub H, & sub linea facta ex omnibus his, a tripla
multiplici seeunda impares numeros sequentes. Sed qua tum A aequale est re loH in aggregatum ex omnibus aequalibus ipsi A, quoties enim H ipsam A, toties Amensurat dictum aggregatum , di ideo qua um A aequale est rec lo H infactam ex A duploq; ipsarum B,Ca ,ES,GM.quandoquidem tale duplumfacit omnes aequa
212쪽
mare constat qua ta ipsarum A,B,C,D, E,F,G,H simul aequalia esse reevio sub H contento, & sub composita ex his omnibus scilicet ex A triplo B, quincuplo C. septuplo D. nonuplo E, undecuplo F, tredecuplo G quindecuplo Η,& deinceps multiplici per impares, ubi opus fuerit sequentes; fuit vero tale rec-lum contentum sub H dictaque coposita ia aequale duplis rec-lum B I,C D L, E M, F N,G X, HO, una curec lo H in copositam ex A,B,C, D,E, F,G,H. Igitur dupla re la BI, CK, D L, E M,F N,G X,H U una cum rec-lo H in compositam ex A, B, C, D,E, F, G, H, aequalia erunt aῖSreSato qua ru A, B, D,E,F,G,H, quod restabat dmostrandum.
IGitur manifestum est quadrata simul omnia linearum aequalium longissimae, quadratis simul omnibus linearum sese aret ualiter excedentium minus, quam tripla est e. Quandoquidem assumptis quibusdam tripla essiciuntur illis.Reliquis vero deminto longissimae quadrato plusquam tripla inueniuntur a quandoquidem assumpta ipsa sunt minus quam tripla ad qua-tum longissimae. quod & verum erit de similibus similiterque constitutis super ipsas lineas formis: quandoquidem similes species suntia ratione quadratorum. .
Notandum quod id, quod presens octava demonstrat de limis referri potest adnumeros ipsis lineis proportionales: quidquid enim de ductu ex ratione linearum agitur, potest ad numeros transferri : sicut& vicissim quidquid de ductu,& ratione numerorum demonstratur, idem omnino de lineis concludi potest. Itaque ex hac octaua elicitur haec regula progressionis. sunto quot uis numeri per crementum primae crescentes: capiatur qua tum maximi. & multiplicetur semel pluries, quam sunt nu .neri, & producto ad ciatur is numerus, qui fit ex ductu minimi in aggregato omnium numerorum. Compositum autem ex additione secetur in tria; nam tertia pars est aggregatum quadratorum ab assumptis numeris singulis factorum. Exempli Gratia i , a, 3, F, horum qua i as ι quoniam numeri assia mpti sunt quinque; capiatur sexies numerus qua-t maximus scilicet a , dc fiunt a Io. ex minimo in aggregarum assumptorum, hoc est ex a in is fiunt x s. hic adiectus iso. f cit i63; huius pars tertia 3 3. congeries scilicet qua tum. Rursum sint assumpti numeri 3, 6, 9, 13, ι . horum vero qua ii 9, 36, 8r, I q,aa , maximus a as sexies facit
I 3 o. productum ex 3 in s congeriem assumptorum scilicet i 33 adiectus ipsi laso facit I 83 ; huiua tertia pass49 congeries quadratorum.
Si lineae quotcumque continuatim sese excedentes excessit aequali dia sponantur; quadrata longissimae uno pauciora, quam lineae ad quadrata linearum in sese excedentium, dempta breuissima minorem rationem habebunt, quam habet quadratum longissimae ad duo haec simul , scilicet ad contentum sub longissima, breuissimaque una cum tertia parte quadrati eius, qua longissima excedit breuissimum: Ad quadrata Vero linearum sese excedentium,dempta longissima, habebunt maiorem praedicta rationem. SInt quotquot lineae A B, C D, E F, G H, IK. L M. N X sese excedentes excessu aequati: his suppleantur OC, P RG, SI, TL,ΥN,rt sint O PER IJ, SK,
213쪽
T M, Y X, sinistae ipsi A B longissimae aequales. Est ostendendum quod qua ta A B. OD, PF, RH,SΚ, T M simul ad qua ta AB, CD, EF, GH, IK, L M, minorem ratione habent, quam qua- tum A B ad rec tum A B in N X cum tertia parte qua tiN Y: Sed ad qua ta C D, E F, G H, IK, L M, N X maiorem rationem eadem. Nam sicut qua tum AB ad re lum AB in BV cum tertia parte qua tiAV; sic lai sunt qua ta OD, P F, R H, S Κ, I M, Y X ad rec tum sub N X. & sub composita ex OD, P RRH, SK, T in YX una eum triente qua rum O Q, P Z, R ς, S .. T 6, Y N positis scilicet B U, D Z F, yHπ Κ, 6M singulis aequalibus ipsi NX itaque si o
stenderimus rec lum ex NX in compositam praedictam una cum triente qua rum
dictorum minus esse, quam qua ra A B, C D, E F, C H, I K, L M simul sumpta: m ius vero quam qua ta C D, E F, G FI, I Κ, L M, N X simul sumpta propositum oste
sum erit. Sic vero ostendetur. Nam per eumem. re tum N X in compositam ex o D, PF, RH.SΚ, TM,YX una cum triente qua rum OQ, PZ,R9, S m
Cin EZ, Gy, I ri L 6,&qua tis eorumdem O munia itaque sunt utrobique qua ta linearum aequalium N X. Sed rec tum N X in compositam ex
In L6: quandoquidem hae lineae sunt aequales his C O. EP. GR, IS,LT, NY residuis autem maiores:& per coroliam praemissa, qua ta A V, C Q. E Z, G s, I ri L 6. maius sunt quam tertia pars qua rura O PZ.Rs, Sae,T 6,YN. igitur qua ta AB, CD, E F, G H. IK, L M, simul maius laut quam re lum N X in compositam ex O D, P F, R H. S Κ, T M, Υ Κuna cum triente qua rum Ο , P L R ς, S . , T MIN, superest nunc ostendere , quod qua ta CD, EF, GH, IK. LM, NX G-xius sunt quam rec tum N X in compositam praedictam una cum triente qua-rum Praedictorum. Rursum itaque per .secun/. emnenti qua ta C D, E F, G H, I Κ, L Μ.Nxaequantur qua tis C Q EZ,G9. I , LM&qua tis Q. ZR9H, ' Κ, 6 M. NX,&re lo Νx induplam harum simul CQ. E Z, GRI L6. Communia sunt utrobique qua-ta QD, Z F, 9 H. Κ, 6 M, NX. Sed re tum N X in compositam ex o Q. Pa R9,S' T6YN maius est, quam rec-lum N X in duplam harum simul Ca,EZ,G9, In L6.& qua ta O .PZ,Rς,Ss , T 6. X N pereoratiar πρυ- misi e , maius sunt, quam triplum qua rum C EZ.G9, Im L 6. Igitur qua in C D, E F, G H, I R. L M, N X minus sunt quam recinium N X in composita ex O D. PF, RH, SMTM, ΥZ cum triente qua rum O ILR9, Sm TO, YN. QDr constat propositum.
SVppositis antem iisdem eodemque modo dispositis lineis si similes formae, similia
terq 'ie describamur ab his, quae sese excedunt, & ab his, quae aequales sunt longissimae: tune & formae,quae ab aequalibus longissimc describentur minorem rationem habebant ad krmas linearum se se excedentium c dempta breuissima quamqua
drsum longissime ad haec duo simul, scilicet ad eontentum sub longissima,& breuis- Cc a sima. Diqiligod by Cooste
214쪽
sima,& ad tertiam partem quadrati lineae, quam longissim breuissimam excediti ad formas autem earumdem linearum dempta longissima rationem habebunt dicta maiorem ; nam similes formae sunt quadratis super easdem lineas descriptis propor
Si ad spiralein lineam in quavis circumuolutione descriptam ab initio spirae ducantur quotquot rectie continentes angulos aequales: . ipsae sese continuatim aequaliter excedent. ESto spiralis linea euius initium A , peripheria BCD, ad quam AB, AC, A D.
A E, A F, A G lineae rectae sint duetae comprehendentes singulae duae laterales angulos aequales. Aio quod A B minor est, quam AC,& AC minor quam AD, de AD minor qua AE eode excessu &sic deinceps. Nam ex diffinitione spiralis lineae, linea A B breuior qua A C,& A C breuior qua A Dabscinditur ex A C ipsi A B.tqualis A H; deq; A D ipsi A C aequalis A K. itaq; quo tεpore linea A B permeauit in AC eode & A C linea permeauit in A D. Naex dissinitione linea circumducta aequalibus teporibus,aequales angulos pertransit. Sed in thidem temporibus punctum describens spiram pertransit spatium H C,&inde sp tium K D. igitur per a. baius, spatia H C, Κ D sunt angulis B A C, C A D proportionalia. Sed per hypothesim, aequales sit tanguli; aequalia igitur sunt spatia H C,
H D, qui sunt excessus linearum ,&similiter alij excessus aequales ostendentur. Vel sic quoniam punctum describens spiram pertransiit spatia H C, Κ D in temporibus aequalibus, quibus utique linea AB permeat angulos aequales a&ρον' mam huius, spatia H C, Κ D sunt temporibus proportionalia I propterea spatia sunt . inuicem aequalia ' MVe Iste quoniam piincti praedicti motus supponitur uniformis ex diffinitione; ideo spatia H Q Κ D aequalibus peracta temporibus a puncto sunt aequalia, quod propositum est. Idemque de reliquis excessibus. Quod si lineae deductae ab initio spirae comprehendant aequales circumserentias de eirculo super initium spirae descripto . idem sequitur, ut linearum excessus sint inter se aequales.: nam anguli super aequales circulorum periphetias ad cetrum constituti sunt
Item si ad spiralem lineam ab initio spirae quotuis rectar ducantur, quoslibet angulos continentes siue quasvis peripherias: linearum ductarum excessus erunt angulis, siue - - peripherijs proportionales. IN eadem utique descriptione. quanticumque sint anguli B A C, C A D. Aio quod is 3g5 Dent si angulus BACadangulum C A D. Nam
215쪽
cum A B linea angulum B AC, siue peripheriam circuli super centro A descripti a Llumpi in; eo tempore permeet, quo punctum spiram descitians peragit spatium H C.& linea ips ni C A D angulum, me debitam illi circularem peripheriam eo tempore, quo punctum lineam X D perambulet, iam per a. buor, C Η, Κ D spatia erunt ipsis angulis B A C, C A Di siue peripheriis circularibus assuptis proportionales sicut proponitur.
Si rectas et per aequalia trianguli rectilinei angulum; latera, quae a gulum illud continet, sunt plusquam duplum lineae secantis.
IN trian lo rectilineo ABC, recta B D secet angulum A B C per medium. Aio quod atera A B, B C simul sumpta sunt pluiquam duplum lineae B D; nam si line rum A B. B C utraque sit maior quam B D, vel una aequalis, & altera maior a constat Propolitum ambae enim minores nequeunt esse.ὶ Si autem linearum A B, B C altera minor, altera maior sit quam B D : tune sit minor A B, & maior B C ι & super centrum B, spatiumque B D circuli peripheria describatur E D F, secans quidem ipsam B C apud F,ipsique B A productae occurrent apud E. & aequidistans ipsi BC ducatur A G; & ducatur GDH. eruntque trian la ADG. CDH similia: cumque D id sit longior quam chorda D F. & perinde longior, quam chorda DG; erunt & caetera latera tria li CD H eaeteris lateribus tria liA D G singula singulis maiora: & ideo C H lo gior quam A G; & a sortiori longior quam A ta& eo magis C F longior quam A E. maior igitur excessus lineae B C super lineam B Duam excessus ipsius BD super lineam B A. quare AB, BC simul sumptae lineae coi cluat plusquam duplum lineae B D. quod suit demonstrandum.
PROPOSITIO XIII. Si linea recta contingat lineam spiralem, in uno solum puncto
SIt spiralis linea A B C D, cuius initium A,& A D recta initium circum-ouctionis. & recta E F tangat spiralem. Aio quod in uno solum puncto tanget. Tangat enim si possibile est in duobus punctis G, C: & iungantur A C. A G, &secetur per aequa C A G angulus per li
sus A H super A C aequalis excessui A Gsuper AH: Itaque AC, AG simul duplum iacient ipsius A H terminatae adspiralem in H puncto; sed per praecedentem in trian lo rectilineo A C G ipsae C A . A G fimul plusquam duplum faeiunt lineae bifariam secvittis angulum C Α G, & in basim tria li terminatae: igitur pun-
216쪽
riouo AH incidit in basim trian li cadit interpuncta A, Hi hoe est intra spi- 'x, i ieci E F recta secat spiram; cum aliquod punistum eius cadat intra spiram; 'ii resteontra hypothesiisu supponitur enim EF non secare. sed tanser
I inee recte ab initio spiralis ad spir m primae reuolutionis eductae, sunt ad inuicem sicut perffctae ab ipsis circulares pcripheriae, a scilieet reuolutionis ad ipsas usque extentae. ' in --:. 4 A C D E R ; eius initium punctum A, initium reuiarae, quatit circulo a spirae quidem in punctis D, E ; circulo autem inpunctis G, F. Aio iam quod ABE alA BD est sicut peripheria H GF ad .H G peripheria in; nam cum, ex dim-nitione Spirae linea AH uno semper tenore per circuli peripheriam circumuoluatur, de punctum in ipsa linea una velocitate feratur : & quo temporc punctum H peregit peri- Dbcriam HG, eodem,& punctum Rperegit lineam A D ; itemque quo tempore punctum H permeauit peri plueriam Id GF eodem,& p mictum ρ petmeauit lineam A E; idcirco per 2. huius, lineae a puncto Aperaestae erunt proportionales spatiis a puncto H peragraris; hoe est, sicut , MCp oeripheria ad HG periphς . .
,m se A E linea ad A D lineam : quod est propositum.
Lineae rectet ab initio spiralis ad
spiram secundae reuolutionis eductae crunt ad inuicem, sicut dictae peripheris una cum tota peripheria circuli sumptae.
SIt ut prius spira primae reuolutio. nis H L M in quam incidant rectae A E.A L. Dico, quod linea A E acilineam A L est sicut periphetia H Κ G
217쪽
euli peripheria: nam quo tempore punctum H peregit totam circuli peripheriam, &insuper peripheriam HKG, eodem, dipunctum A permeauit lineam AEt item quo tempore punctum H peragrauit integram circuli peripheriam, & insuper ipsam peripheriam H Κ F, eodem, & pumstum A percurrit lineam A L, quare per a. huius, erit sicut HKG peripheria, riam tota peripheria, ad ΗΚ F peripheriam cum tota circuli peripheria; sicut linea A E ad lineam A L i quod erat demonstrandum.
SImitter & lineae inspiram tertiae reuolutionis cadentes erunt ad inuicem,sicut di ctae peripheriar, cum tota singulae circuli peripheria bis sumpta. Inspiram quarta reuolutionis, cum circuli peripheria tersumpta. In spiram quintae reuolutionis, eun eis si per heria quater sumpta, &eodem deinde ordine, secundum numerum,uniis tale Minorem numero reuolutionum. Idem demonstrabitur, si altera eductarum linearum in terminum spirae inciderit.
Si recta spiram primae reuolutionis tangat, & a pum to contactus ducatur recta ad initium spirae: ducta cum tangente ad pra cedentes spirae partes obtusum facit angulum. E sto spira A B C D H primae reuolutionis; eius principium A; initium reuolutionis
linea AH; circulus primus HKG; linea tangens ED F; punctum contactus D. Ostendendum est, quod angulus ADF obtusus est. ducatur A DR&supercutro A ad spatium ADdescribatur circulus D TN; & quoniam per x o. huisu, rectae a centro adspiram continuatim crescunt; ideo cireuli D T N peripheria ad partes spirae praecedentes intra spiram cadet, ad partes vero sequentes extra. itaque cum angulus A DF sit maior angulo portiouis lemicirculi ita procul dubio no erit acutus; sed nec rectus. Esto enim si possibile est angulus ADF rectus. igitur per I rert, element. E D F contingit circulum D T Hquamobrem per 3. Mius ab A puncto potest educi tecta, quaesit A R LSI ad tangentem, secans cireulum D T N apud R, tangentem apud I. it aut RI ad A R minorem habeat ratione, quam Dripheria D R ad peripheriam D N Tugitur eoniunctis ratio to tius A I ad A R minor erit,qua ratio totius R D N T peripheria ad D N T peripheria; hoc est,qua SGΚH peripheria ad G ΚΗ peripheria: Sed per i huius, sicut S GK Hperipheria ad G H Κ peripheria sie A L ad A Di Ergo maior ratio A L ad A D, qua
AIM A permutatim mai. ratio A L ad A Lquam A D ad A R; Sed cu A D, A R
218쪽
sint aequales, erit A L maior, quam AI pars toto quod est absurdum . Non est igitur langulus A D F rectus, sed nec acutus fuit: superest ergo, ut sit obtusus. id idem ostendetur, si punctum contactus fuerit in termino lineae spiralis.
Quod si recta spiram secundae reuolutionis contingat: illud idem eueniet. SIt spira seeundae reuolutionis Η Κ D; linea tang& E R punctum eontactus &eetera, ut prius. Iam enim & similiter ostendetur quod angulus ADF non est aemi us, Quoniam ut antea, peripheria circularis D R intra spiram, & perinde intra linea D P cadit sed nec rectus. Sit enim si ρossibile est angulus A D F rectus: tunc a tem fler Ια rerιν element.linea E F tanget circulum R D N in pucto raducatur A G D. ducatur item A C S R LI secans spiram apud L, di circulum apud Ri ita viter a.
lineam minor sit,qua ratio D Rperipheriae ad totam hirculi R DN, peripheriam, una cum peripheria D N Τ sumptam ; dia
tius lA Iineae ad A R. minor quam ratio peripheriae it DN T cum tota circuli R D N peripheria ad . ota circuli R DNperipheria in cuin DNT periplaeria sumptam, hoc est minor quam S G K peripheria G K Hperipheria sumpta. Sed per Is .husus, sicut est periphetia S GK H cum toto circulo ad perbpheriam GK H cum toto circulo,sic est linea A L ad lineam A D. Igitur maior est ratio lineae A L ad lineam A D, quam Iineae I A ad lineam A R;& pe mutatim maior est ratio lineae A L ad lineam IA, quam lineae A D ad lineam A R; Sed A D, A R sunt inter se aequalest igitur A L longior quam AI, pars toto, quod est impossibile. Non est igitur angulus A D F rectus, sed nec acutus, itaque obtusus erit, quod est propositum.
Smiliter in quacumque spira tertiae, quartae,& quot aecumque reuolutionis, tecta spiram tangens cum recta iungente initium spirae, & contactum demo abitur, obtusum comprehendere angulum ad partes ubi spira φlatatur.
219쪽
Si recta spiram primae reuolutionis contingat in termino silmis; &ab initio spirae perpendicularis excitetur ad rectam, quae Rineislum
reuolutionis est: excitata coincidet tangenta,& quan az- - que est inter initium spirae,atq; coincrdentiam inter- cepta aequalis erit peripheriae primi circuli. ESto linea spiralis A B C D Hi eius initium A; priscipium reuesutionis linea A tacui ad rectos excitetur A F , ipsa autem H F tangat i piram in puncto ire quaeco curret ipsi A F: cum peν ast ramissam, angulus A H F sit aeutus, conccxrat ad punctum F, & H F secet circuli peripheriam in duobu pupciis H, & G. ostendendum cest itaque lineam A F esse aequalem peripheriae cirςuli G H K. Mcus enim erit aut maiaior, aut minor. Prim5 sit AF maior, quam peripheri sirculi HKG. ring tWqe linea A L minor quidem quam A F, maior a
tem quam peripheria circuli HKG; eritque ra- . .li 2P
tio H A ad A L maior quam semiss subtensae γHG ad perpendicularem a puncto A ad lineam Ii G quippequar est sicut H A ad A F, propter
simi litudinem triangulorum: igiturperpotest educi linea ARN secans cireurum in R, spira in tangentem in N; itaui R N ad chorda iciu radi . . H R sit sieui H A, vel A R ad A L eritque permuser: a. tatim sicut RN ad AR, sierecta H Rad AL; sed ratio H R ad A L minor est, quam HR arcus ad tLi.: ltotum ambitu G HKeirculi, quandoquide HR n-
chorda breuior, quam arcus HR,&AL m ris . . s. pii ambitu circuli ergo ratio N R ad R A minor est, ni aliquam H R arcus ad totum circuli ambitum e M ieoniunctim ratioWA ad A R minor est ratione arcus H R cum toto ambitu circuli ad totum. bt mcirculi ambitum: sed per i s. huias sicut FIR ar- icus cum toto ambitu ad totum ambiunt, sic re-
cta A QD A is, quae inspirali terminantur ἔν igiatur ratio N A ad A R minor est quam A Q ad .: di V AH; & permutatim ratio NA ad Amnincirin:: quam AR ad AIq; quae cum sint aequales, se. A rubi V: l quitur ut A Q sit longior quam A N; pars toto, quod est impossibile. Non est igitur AF minor ambita eprculi c ΗΚ Si autem A F minor fuerit, quam periptaria circuli G ΗΚ, yonarii itemALit,aior quidem, quam A F minor autem, quam ambitus tirculi, deducatur H Maequid istans ipsi A F, & perinde tangens circulum apud Hi eritque proportio H A ad A Lminor, quam semissis chordae GH ad sibi perpendi eularem a centia si coniunctam, hoc est minor, quam H A ad FA, quippe quὰ est sicui H A ad AF, propter simiIita-dinem triangulorum Η N A, H A F. igitur per s. μι- , potest duci linea' A QN R PDeans chordam G H apud N, circulum apud R, ipsamque H Mapud P. di spiraten apud di it aut R N ad H P, sit sicut H A ad A L, hoe est sicut A R ad A L, itaque fiet permutat fm NR ad R A sicut H P ad AL; verrum mi H Pad AL maior est quam. Dd arcus Djsilia res by Coos le
220쪽
arcus HR ad ambitu totius circuli G H K quadoquide H P maior arcu H R, & A L minor toto ambitu: igitur triaior erit ratio N R ad R A, qua arcus HR ad totum ambitum; quare conuersam, & euersim, ratioli A ad RNmaior, qua totius ambitus ad peripheria H Κ R. Sed peras. hmus, sicut est totus ambitus ad peripheria HKR, sic AH ad A quae in spiralr terminantur. igitur - ratio R A ad 'A N maior quanta AH, ad A Q.; sed RA, AH sunt aequales tergo A ongior est qua A NI; pars toto, quod est impolubi-- le. Non est igitur A F minor, quam peripheria circuli G H K; suitqVGo steti sum quod nec maior: aequalis crgo erit ilicut proponitur.
libro spiralium linearum. sq.&7. propositiones, quae sunt de iΚ numero lemmatum ad demonstra- Itionem spiralium necessariae non . , videntur: quandoquidem necubi
citantur , ut citamur prima, z. S. S. 6.8. propositiones, quae sunt ex eodem numero cun reliquis: verumtamen superuacuae non sunt: nasicut 3. &6. usu ueniunt demonaeationi 18,&duabus sequentibus ; ita , & 7 ad earumdem demonstrationem oportunae sunt, hoc pacto: in prima parte demonstrationis i S. & in prima descriptione, sicut ducitur per quintam, linea A RQ, secans circulum apud R , spiram deinde, apud Q, & tangentem spiram apud Ni ita ut R N ad chordam H R sit sicut A R ad A L; atque ita per argumentationem aduersarius deducitur ad impossibilitatem; similiter & pet quartam duci potest linea qu*dam, ut pura A QNRadareum G H, quae de circulo abscindat lineam R H. S lineam Nid tangentem spiram a quae quidem linea A N Rdum educitur a punisto A lacat spiram apud Q. deinde ipsam FH .hoe est
chordam arcus HGapud Nepostremo arcum
ipsum H si apud R; it aut R N linea stilicet cades
inter chordam, & arcum ad chordam RH, sit sticut A R ad A L ; de per similem 3rgumentatione com