장음표시 사용
221쪽
compellitur aduersarius ad absurditatem. utroque enim modo, siue oviaris, ut inta exemplaribus apparet, siue adhibeas; ibi ducendo lineam A R QN ad chorda farcus HGextra circulumproductam: hic vero lineam A N Raddictim chordam intra circulum , eodem penitus syllogismo, ad hoc impossibile deuenitur, ut cogatur. aduersarius fateri lineam A longiorem esse linea A N partem scilicet . Archimedes ergo contentus uno modo reliquum, qui similiter tenitus procedit omisit. id idem intellige de prima parte demonstrationis tam is, quia zo: propositionismam hae duae propositiones non aliter, quam I 8. demonstrantur. In secunda autem parte demonstrationis eiusdem i8, dcin secunda descriptiones: sicut ducitur per o, linea A QN RP primum secans spiram apud Q; deinde chordam G H pars est ipsius F Η tangentis spiram apud N, postea arcum G H apud R postiemo apud P iriam M H, quae tangstcireulum apud Hi ita inquatis ducitur, ut Rad HP,sit sicut AR ad AL; atqueo is ita per argumentationem deueni- . V htur ad hoc impossibile, ut A Qionc ἡ Ll Igior si quam AN pars scilicet to- - ito similiter per7. duci potest li- . . t I. L 'r . nea quaedam, ut puta A R P QN Al secans ipsam GH extra circulum . . i
productam, sed primum quidem . Auli 4 t
secans circulum apud R; Secundo ipsam M IJ, quae tangit circulum in i 1 i I ;P. Tertio spiram apud inristrem apud Nipsam GH extra circulum i T. t extensam, quae tangit spiram ;itata , . An ii inquam duci potest, ut RN inter Fὶ I .. circulum,&chordam GH, cxtra i C: ll. D lcirculum extensam recepta, ad H P isit sicut A R ad A L, de per eumdem ' argumentandi processum ad illud . D Iidem impossibile deueniri, ad a-
struendum , contrariis destructis, . .
222쪽
ARCHIM. EX MAVROLICO PROPOSITIO XIX.
Si recta spiram secundae reuolutionis contingat in termino spirae & ab initio spirat perpendicularis excitetur ad rectam, quae initium reuolutionis est: excitata concurret tangentis& ab initio spirae ad concu sum usque recepta dupla erit ad peripheriam circuli secundi.
Esto spira primae reuolutionis ABCH; seeundae autem HETι&HΚGela lux primus; & T N Μ circulus secundus; linea reuolutionis A H T, cui perpendic latis instet A F tangens spiram in puncto T sit linea STF; quae concurret cum A Fc nter a T. Mius,angulus A T F sit acutus. Ostendendum est itaque ipsam A Fa pu cto A, usque ad talem videlicet concursum receptam,esse duplamad peripheriam ci
culi TMN. Secus enim ipsa A F erit aut maior, aut minor,
qua dupla ipsius circuli Τ M Nambitus. Sit primum maior, &ponatur A L minor quam A F. maior autem , quam duplae praedicti ambitus; eritque proportio T A ad A L maior, qua semissis chordae TN ad perpendicularem a puncto A ad T N eductam,quam de circulo abscindit ipsa STF tangens spiram; namq; semissis TN ad ipsam perpendicularem , est sicut T A ad A F propter similitudinem trian rum. igitur per s. potest educi linea ARS secas circulum TNM apud R. tangentem vero apud S, sph alem apud Quia vi R S ad chordam T R, iit sicut T A ad A L. hoc est R A ad A L: eritq;permutatim RS ad RAsicut TR ad A L; sed ratio chordet T Rad A L minor est, quam rati arcusT R ad duplu circuli ambitus Τ M N: quandoquidem Τ R chorda breuior est arcu Τ R ; ipsa autem A L maior quam dupla ambitus T M N. ergo pr2orti' S R ad R A minor est, quam ratio arcus T R ad duplum ambitus dicti circuli; de coni tam randi A ad A R minor est quam arcus TR una eum duplo ambitus circuli T M N ad duplum ipsum ambitus eirculi T N Mi Sed per i . sicut
223쪽
Similiter qiremadmodum in praecedenti fecimus, ostendemus, quod neque minor quδm dupla. vade superest, ut omnino dupla siti u
SImiliter autem in spiris caeteris tertiae, quariae, & quotecumque reuolutionis.si
praedicto modo tangens spiram,& perpendicularis a terminis rectae quae initium reuolutionis est educantur; semper portio ex perpendiculari inter initiunia spirae, concursumque eductarum recepta, erit tam multiplex ad ambitum circuli. tiui extremus iram ambit, quot fuerint ipsius spirae reuolutiones.
Si recta spiram primae reuolutionis tangat, non quidem in eius termino; - &a puncto contactus ad initium spirae recta ducatur ue ipsoque initio posito centro adspatium ductae circulusdescribatur; item per pendi- eularis ad ductam excitetur ab initio spirae: excitata cum tangente eoneurret; & ipsa inter initiu,& concursum recepta aequalis erit periapherit eirculi descripti ab exordio dictae reuolutionis ad contactum
usque, secundum reuolutionis Ordinem computatae. SIt spira primae reuolutionis A B CD H cuius initium A, linea reuolutionis initium
A H, tangens spiram sit recta E D F, punctum contactus D, connexaque A D ipsi perpendicularis ducatur AFi curaque ADF angulus acutus sit per ipsae A F, D F concurrent, utpote ad F. descriptoque super cetrum A ad spatium A D eir culo D MK. Ostendenda est quod linea A F aequa is est peripheriae eurculari ΚMDNam secus,erit aut maior,aut minor. Sit primum maior A FAEu per heria K binde hine ponatur A L breuior quidem, quam A F,maior autem,quam peripheria K Mneritque ratio D A, ad A L maior quam semissis D V chordae ad perpendicularenta. sibi eductam a puncto A ; quippe quae est sicut D A ad A F, propter similitudinem .
trian rum: igitur er I. huius, potest edu.
ei linea ARE, secans circulum apud R,&rangentem apud E, &spriralem apud
ita vi R E ad D R ehordam sit, sicut D A ad A L: hoc est A R ad A L. eritque perm latim E R ad R A,sicut chorda D R ad A L: Sed ratio chordae D R, ad A L minor est. quam areus D R ad peripheriam Κ M Diquandoquidem D R inorda breuior est arareu DR; & AL maior, quam peripheri . Κ M D. ergo ratio E R ad R A minor est. quam arcus DR ad periphetiam K Mindi coniunctim ratio E A. ad A R minor quam peripher R D M Κ ad peripheriam K MD circuli; sed re t . baius, sicut Κ MD R periphetia ad K Μ D peripheriam, sic A Q ad A D, quae ad spiralem ambitum
terminantur. igitur ratio ΕΛ ad A R minor, quam A Q ad A D; & permutatim
224쪽
ratio E A ad A Q minor,quam Α R ad A D;sed A R, A D aequales sunt ergo A lyngior est , quam A E pars toto; quod est impossibile. Non est ergo maior AF astu KMD. &similiter, sicut in i 8 fecimus, ostendemus, quod nec minor. Vnde superest yt sit aequalis, sicut demonstrandum psopbnhur.
QVod si recta spiram laeundae reuoluti is tangat non in eius termino ; de caetera ut dudum disponantur: recepta inter initium spirae, & concursum aequalis erie peripheriae totius circuli per ρonta, tum descripti, di insuper arcui ab exoriadio spirae ad contactum usque continu to secundum ordinem reuolutionis. Sed & in spiris tertiae, quartae, id quotecumque reuolutionis, talia recepta multiplex erit asambitum dicti circuli secundum numerum unitate minorem numero reuolutiomimia;& insuper comprehendet peripheriam ab initio spirae ad codraetum per ordinem reuolutionis deductam, quae omnia eodem modo demonstrantur.
Sumpto spatio sub spira primae reuolutionis, & recta, quae initium est reuolutionis comprehensos potest figura circumscribi, & inscribi, ita ut circumscripta, & inscripta ex frustis, seu sectoribus si- milibus sint compositae, dc haec ab illa superetur excesiu, ς; qui quocumque dato spatio minor existat. SIt spira primae reuolutionis A BC D E cutis initium A, linea exordij A E; primus
caculus EFGH, cum diametris EAG, FAH se vicissim ad rectos secantibus. Opo: tet spatio sub spirali A B C D E, rectaque A E figuram circumscribete, &inscriboc eo modo, quo proponitiar. Secentur anguli recti bifariam, iterum, atque iterum ductis semidiametris A Κ, A L, AM, A AEdonec deueniatur ad sectorem d3sq
tio minus, si que illud LAE: . - tales autem semidiametri lac
bunt spiram utpote A L in puncto O; A Κ in puncto R; A M in pucto Y: A H in puncto D; A Nin puncto μὴ δc receptae a peripheria spiralis ad centrum A; scilicet A ., A D,A Y, A R, A ocrescunt continuatim, & aequalibus differentijs per Io. huius, o fit vi circulares peripherie super centro A secundum receptarum interualla descriptae, secem spiram hinc inde intus.& extra spiram, semidiametris occursantes. quae peripheriae sint POχSRT, XYLUDI. quibus peractis iam si tisfactisa est proposito. Namque figura spirali formae circumscript
constat ex quinque Ostis,scilicet LAE, RA T A R, ZA TI A D suillibus: quan-
225쪽
doquulem sunt sediores circulorum sub aequalibiis angulis contenti, figura vero spirali latinae inscripta constat ex quatuor fiustris P AO,SRA, XYA,VDA similibus,&miualibus singulis frustis figurae circumscriptae. Nam frustum O AP, ipsi QAo; frustum R A S ipsi T A R; frustum X Y A ipsi Z A Υ;frustum denique V D A ipsi IA Daequale est,& omnia sunt similia: quoniam similes sunt circuleres sectores, itaque figura cireumferipta excedit inscriptam in si usto L A E. quod fuit dato spatio minus, quod possibile factu proponitur esse.
Ex hoe manifestum est, quod dicto spirali spatio potest figura tum ei reumferibi.
tum inscribi . qualis dicta est ῆ ita ut circumserina superaddat spirali formae munus quocumque dato spatio ;& inscripta diminuat ab eadem area spirali minus quocumque dato spatio. Nam si excessus circumlarinae super inscriptam datur minor quocumque proposito spatiin multo min0r erit excessus circumscriptae super spiralem formam; & spitalis formae super inscriptam.
Sumpto spatio sub spira secundae reuolutionis, & sub recta, quae secum da es 4n 'revolutionis initior potest shura circumscribi, & inserti bi, ita ut circumscripta, & inscripta ex frustissimilibus sint compositae ; & id, quo haec ab illa eaceditur, quocum-
. . - . . . que dato spatio minus sit. SIt spira secundae reuolutionis A B C D E; eius initium IRinitium reuolutionis A IRlinea secunda in reuolutionis initio sit E A; cinaeus secundus A F G eius diametri A G, FI seinuicem orthogonaliter secantes . oportet bitio contento sub spirali A B C D E, rectaque A E figuram circumscribere, de inscribere, sicut proponitur. Smeentur anguli recti diametrorum singuli per medium,iterum, atque it rum, donec deueniatur ad frustum minus dato spatio: sitque frustum tale sector circuli Α Η Κ ; & ducantur circulares peripheriae,sicut in praecedenti,per omnes sectiones diametroiarum , & spirae: quibus ordine peractis. ecce demonstrari potest, quod proponitur.Siquidem figura circumscripta constat ex octo frustis similibus, in apposito schemate V. G. sunt similes circuli sectores , figura vero inscripta constat ex totidem frustis similibus. Nam frusta circumis scriptae excedunt peripheriam spiralem; frusta vero inscriptae cadunt i tra peripheriam spiralem: cumquo septemfiusta insciiptae sint aequali
septem frustis cireumscript smillusti licet avia o misto ei inscii imitis ra
226쪽
tαὶ iam circumscripta excedet inscriptam eo excessu, quo maximum frustum cirrumis scriptae A HK excedit mihimum inscriptae R H E,quod est spatium S E A K minusscilicet dato spatio: cum tonim Α Η Κ minus sit dato spatio. Et hoc possibile factu n-
Q. COROLLARIVM inare constat figuram talem circumscriptam addere posse super spiratem 'atium, siue spiralem aream minus quocumque dato spatio, & ipsum spirale spa-- tium addere posse super figuram inscriptam annus quocumque dato spatio. Et eadem fieri posse in assumpto spatio sub spira tertiae, quartae, & quotecumque reuolutionis,&rectae a numero reuolutum ii dicta compatienis
Sumpto spatio sub quacumque spirae periphoia ,&sub duabus rectis ab initio spirae ad peripheriamqpsus deauctis: potest figura circumseribi, & inscribi ex frustis similibus; ita ut cimumscripta inscriptam excedat minori spatio, quam sit quodcumque datum spatium.
sit quantacumque spirae portio ABCDE. quati eum restis AH, H φ a principio spirae H eductis spatium quodvis spiralem contineant: oportet tali spatio figuram circumseribe eo &'inscribere; ita ut soponitur. Ad spatium H A sup r centro H describatur circulus μNI cui HB prodωaoccurrat apud Foanguius Al IF per medium iterum, atque iteruci diuitu. tame deueniatur ad spatium, quod sit A Η Κ
dato spatio minus. Deinde, ut in praemissis, Np Hcentcocksulares petis . . d Q i c. es . . . . Pheriae describantur, per puncta spirae .ciuio: icii toivi Calam lineam secatia. inibis ordine. In Q ractis, satis dium illa proposito coori Man:
sabit. Nam figura, nunc exempli gra- lia, spirali spatio circumlatipta,constat l. VNde sequitur, ut eirca tale spatium spirale describi possit & iii ibi figura, victis ctum est; ita ut circumscripta super spiralem aream addat minus quouis dato spatio; & inscripta sit minor eadem adra per excellum quouis dato spatio minorem.
227쪽
2IT Spatium sub spira primae reuolutionis, & recta, quae reuolutionis initium est, ςomprehensum, est tertia pars circuli primi.
SIt spira primae reuolutionis A B C D Elis cuius initium H; & linea A H initium
reuolutionis; circulus primus A F GI, cuius tertia pars sit circulus S. Ostendendum est, quod spatium sublinea spirali ABCDEΗ,&sua AH recta comprehen sum, aeqtrale est circulo S. Secus enim erit aut maius, aut minus. Sit primum minus dictum spatium spirale circulo S in spatio R;ita ut spirale spatium una eum R sumptum sit aequale circulo S. Itaque peras. Mias, eiusque Coroliarium potest ipsi spirali spatio circumscibi figura ex similibus stustis composita excedens ipsum spatium spirale mi nus, quam sit R spatium. Cifcumscribatur, sitque eius maximum fi ustum ΑΗ Κi munimum vero E H Z ; itaque maior erit circulus si quam figura circumscripta: R quotniam rectae a puncto H ad spiram ,
eductae, per io. huius,sese continuatim excedentes excessu, qui atqalis
est minimae, estque maxima A H,&minima H &a singulis his fiunt similia frusta , siue similes formae, quae sunt similes circuli A F G seet
res. Propterea per 8. Misu, ei que coraliarium , totidem frusta , quot sunt dictae lineae, singula aequaliae .srusto maximo A H Κ, hoe est totus ipse circulus A F G minus erit,quam triplum aggregati dictorum similia frustorum, quorum maximu A H minimum E H hoe est ipsius figurae spiram circumscribentis; quippe quae constat ex huiusmodi fimilibus Bustis. Maior autem fuit circulus S, quam figura circumscripta. Eo magis circulus A F GI minor erit, qua triplum ad circulum S; Quod est c5tra hypothesim . Non est ergo spartium spirale minus circulo S. Sed neque maius etit. Sit enim si
possibile est, spirale spatium sub spira A B C D E H & sub recta H A eomprehensum
maius circulo S in ipso spatio R; ita ut circulus S una cum spatio R sit iam aequale spatio spirali. Deinde μν tr. hum3, et ' Carauarium ipta spatio spirali inscibatur figura ex similibus fiustis composita, cuius maximum frustum sit NHL, minimum veroto O E H; itaut spirale spatium excedat figuram inscriptam minori spatio, quam R. Et quoniam redis a puncto H ad spiram deductae, quarum maxima est H A, minima H Ela continuatim excedunt excessu, qui aequalis est minimae per io. huius ; &a singulis fiunt similia stula, quae sunt similes circulorum sectores: quorum maximus est A H Κminimus veroo Elin Propterea per 8. Mus, ei queristremum coraliarismfiusta, quot sunt dictae lineae singula aequalia frusto niaximo Κ H A, hoc est totus ipse
circaeus A F GI pl*qum triplim est aggregati dictorum similium stustorum sempri
228쪽
io frusto AH Κ,quod ex maxima linearum, quae est AH conficitur: quae frusta eom. ponunt figuram inscriptam. Maior autem est figura inscripta, quam circulus S. iniandoquidem circulus A FG I maiori excessu circulum, S, quam figuram dietam super uit. Tanto magis ergo circulus A F GI plusquam triplus erit circuli S; quod rursum contra hypothesim est. Non est ergo spatium spirale maius circulo S; Sed neque minus suit: Superest ergo, ut aequale sit spatium spirale circulo S.Q md erat ostendendu .
Spatium sub spira secundae reuolutionis,&recta, quae secunda est in reuolutionis initio, comprehensum, est ad circulum secundum, siciit septem ad duodecim: hoc est sicut contentum sub semidiametro circuli secundi, & semidiametro circuli primi una cum tertia parte quadrati, quod fit ex linea, qua semidiameter secundi circuli excedit semidiametrum primi ad quadratum, quod ex semidiametro circuli secundi. E sto spira secundae reuolutionis A B C D E ; cuius reuolutionis initium H, linea
A H reuolutionis initium , linea A E secunda in reuolutionis initio; circulus A FG I secundus. Ponatur inde circulus S, cuius semidiametri qua tum aequale sit rec-tio AH Evna cum tertia parte quati AE, quae duo sunt aqua ii AH;
atq; ita qua tum semidiametri circuli S ad qua tum A H, quae semidiameter est circuli A F G se habebit,
sicut ad ia, cumque pera. d. v mi euinem. ratio circulorum sit sicut qua rum, quae ex diametris, siue, semidiatrictris, iam circulus S ad circulum A FG, erit sicut 7 ad ra. Dein monstrandum est itaque, quod spatium sub spira ABCDE,&subrecta AE comprehensum, aequale est circulo s. Secus enim erit circulus S aut maior, aut minor spirali spatio. sit primum maior ; sitque circulus S aequalis spirali spatio una cuR simul sum p tis. & pem. huius, coroliariam circumscribatur spatio spirali figura ex similibus itustis composita, quorum maximum sit AH Κ ; minimum Lilo super lineas per II. hu-sus, aequaliter sese excedentes. qu rum maxima AH. minima HE; it aut talis figurae super spiralem spatium excessus iit m inor spatio R. eritque talis figura minor circulo S. igitur is inor ratio eirculi A F Gad circulum S, quam eiusdem circuli A F G ad figuram,sed peo s. haras, eisA; corol9riam, frusta uno pauciora dictis lineis fragula aequalia frusto maximo A H N, hoc est
229쪽
totus eirculus A F G minorem rationem habebit ad frusta similia linearum aequaliter sese excedentium, dempta breuissima, hoc est ad figuram circumscriptam, quam qua-- tum H A maximae ad haee duo simul scilicet ad re tum A H E longissimae. & breuissimς, una cum tertia parte qua ti A E, quae excessus est earumdem, hoc est ratio circuli A F G ad circulum S minor erit, quam 7 ad ra. quod est contra hypothesim. Non est igitur maior circulus S spatio spirali. Sit deinde minor circulus S spatio spirali sub spira ABCDE; rectaque E A comprehenso.&tunc circulus S una cum Riit aequalis spirali spatio. Deinde per a a. burus, eiu*Morollarium, inscribatur spatio spirali figura ex similibus frustis eomposita, quorum maximum MN H, minimum Eldo super lineas, , sese aequaliter excedentes, quarum maxima A H, minima Erita ut excessus, quo figura superatur a spatio spirali, sit minor ipso R spatio. Eritque . talis figura maior circulo S: quare maior erit proportio circuli A F G ad circulum S, quam eiusdem circuli A FG ad figuram in lariptam. Sed nona huius, eiusque carinarium, frusta uno pauciora dictis lineis, singula super lineas aequales maximae A Η, hoe est totus circulus A FG maiorem rationem habebit ad frusta similia linearum sese excedentium, dempta longissima, hoc est ad ipsam figuram inscipia, quae ex talibus frustis constat quam qua um H A longissimae ad haec duo simul, sei- licet ad ree lum AH Esub Iongissima, breuissimaque contentum, una cum tertia parte qua ti A E; differentiae scilicet earumdem, hoc est ut breuius dicam proportio circuli totius A FG ad figuram inscriptam maior erit, quam ta ad 7. Igitur a sortiori ratio circulii A FG ad circulum S maior erit, quam i a. ad 7; quod rursus aduci satur hypothesi, non est igitur minor circulus S spirali spatio A B C D E sub spira Ie ilicet de A E recta comprehenso: Sed nec maior sui Equalis igitur erit, sicut proponitur demonstrandum. Eodem autem modo ostendetur, quod spatium Iub spira quotecumque reuoluti nis, rectaque eiusdem ordinis comprehensum, ad circulum ab eodem numero denominatum eam habere rationem , quam duo haec simul. scilicet contentum sub sc mi- diametro circuli a numero reuolutionum denominati, & sub semidiametrocii culi dicti a numero unitate minori, reuolutionis scilicet immediate praecedentis: & tertia
pars qua ii quod fit a linea squali excessui dictarum semidiametrorum ad qua tum semidiametri maioris ex praedictis.
Spatium sub parte spiralis lineae, rectisque duabus ab initio spir. e cductis comprehensum habet ad frustum circuli, cuius semidiameter est
maior eductarum inter eductas conclusum, eam rationem quam reclum contentum sub eductis ab initio spirae usque ad lineam spiralem Una cum dertia parte quadrati, quod ex differentia earumdem eductarum ad quadratum, quod ex maiore ipsarum. Si pars spiralis lineae A B C D E cuius initium H, eductis H A, H E rectis; descriptoq; circulo centro 1 interuallo HA maioris eductarum; occurrat eius peripheria ipsi H E productae apud punctum F. Ostendendum est,quod spirale spatium sub spirali peripheria A B C D E, & rectis A H. H E comprehensum ad frustu, siue sectorem circuli A H F, habet eamdem rationeta, quam ree tum A H, H E, & tertia pars qua--ti E F, simul ad qua tum H A. Ponatur circulus S, cuius semidiametri qua tu G. aequale sit ree io A H, H E cum tertia parte qua ii E F; de quo quidem circulo sumatiar frustum S simile ipsi stulto A H F, hoe est sector sub angulo A H F contentus:
230쪽
Itaque quohiam per ultimineret: se aeuo eci etiment: similes sectores cireulorum sunt proportionales qua tis semidiametrorum : propterea erit frustum S ad frustum A H F, sicut rec tum A H, H E cum tertia parte qua ii E F ad qua-tum H A: Qiare ostendendum erit, quod spirale spatium ABCDEH ptat dictum aequale est ipsitiusto S: secus enim erit aut maius, aut minus. Sit primum minus spirale spatium stusto Se Sitque spirale spatium una cum spatio R aequum frusto S:&ρrea 3. huius, enisque coroliarium, circumscribatur spirali spatio figura ex similibus frustis compositab, cuius excessus super spiram sit minor spatio R: eritque figura circumscripta minor
frusto S: igitur minor est ratio frusti A H F ad frustum S, quam eiusdem flusti A H Fad figuram circumscriptam, in qua maximum frustum similium est A K H super maximam lineam A id minimum vero D H O super D H penultimam: sineis per i o. μω,
aequaliter sese excedentibus)ρer 9. huius .ei que corinarium,frusto uno pauciora ad elis lineis singula aequalia frusto maximo AH Κ; hoc est totum frustum ΑΗ Fm iorem rationem habet ad frusta similia linearum sese aequaliter excedentium dempta breuissima hoc est ad figuram circumscriptam, quam habet qua tum H Alongissimae ad rec tum A H, H E Iongissimae, breuissimaeque, cum tertiSpar te qua ii EF excellus earum: igitur a sortiori minor erit ratio stusti A H F ad frustum S, quam qua ti H A adrec Iuni AH, HE una cum tertia parte qua ii EF. quod est contra hypothesin. Non est igitur minus spirale spatius usto S. Sit nunc maius: tunc ponatur
frustum S cum spatio It aequale spirali spatio praedicto; per a 3. buiui, eiusue coroliar. inscribatur spirali spatio figura ex similibus seu stis composita; quorum
maximum B G H super secudam a maxima linearum; minimum vero EHZsuper minimam HE linearum per Io. sese aequaliter excedentium; ita ut ex
cessus, quo figura inscripta superatur a spatio spirali, sit minor spatio R, eritq; figura talis maior frusto Si igitur maior
est ratio frusti A G Fad frustum S, quam eiusdem frusti A H Fad figuram: Ied ρεν s.
huius, ei que coralia . frustra uno pauciora dictis lineis singula aequalia frusto A H K maximae lineae A H, hoc est totum frustum A H F maiorem rationem habet ad frusta similia linearum sese aequaliter excedentiumdempto maximo, quam habet qua um H Alongissime ad ree lum AH, H E longissimae, breuissimaeque cum tertia parte quati EF excessus earum: igitur a fortiori maior erit ratio frusti AH F ad frustum S. quaqua -ti H A ad ree tum A H,H E una cum tertia parte qua ii E F; quod rursum aduersatur hypothesit Non est igitur maius spirale spatium frusto S, sed nec minus sui aequale itaque omnino erit: sicut proponitur demonstrandum.
Notandum, quod haee demonstratio non solum ad spiram primae reuolutionis. sed etiam ad alias spectat, modo spatium spirale semper ad concursum rectarum initiumque reuolutionis terminetur.