장음표시 사용
231쪽
DE LINEIS SPIRALIBUS. ΡROPOSITIO XXVII.
spatiorum sub peripherijs spiralibus, & rectis a reuolutionum numero denominatis contentorum; primum quidem,quod circa initium spirae, est sexta pars secundi; secundum autem dimidium tertij; teditia verb pars quartis quarta demum pars quinti; & sic deinceps secundum numeros crescentes.
6O Umidiametri circulorum primi, secundi, tertij quarti, & quinti in reuolutionibus eiusdem numeri spirarum sint exempli gratia lineae A, B, C, D, E; quae per diffinitionem spirae, continue secundum excessum aequalem ipsi A crescunt i horum semiis diametrorum qua ii per Ordinem fine F, G, Η, Κ, L; unde pera, undecimi evment. circuli praedicti erunt in ratione ipsorum qua rum, scilicet F, G, H, Κ, L; & ipsum Ferii qua tum quod ex differentia collateralium semidiametrorum; horum qua tota scilicet F, G, H, Κ, L tripla singulorum sint M. N, O, P, Q item Rsit aequale ipsi Fidei de tripla eorum, quae sub AB, o BC, CD, DE, hoe est sub proximis semidiametris conti nentur, lingula singulorum sint S, T,V, X. quies ordinatis erutcirculi in spiris secundum ordinem reuolutionum sumpti in ratione ipsorum in N, Ο, P, quando haec singula tripla sunt singulorum qua orum ex semidiametris circulo. rum. item S,T V,X ad N,O,P, Q singula singulis collata erunt sicut re la A B, B C. C D, D E ad G H,Κ,L singula singulis comparata,quoniam tripla sub triplis proportionalia veniunt: itaque cum per a . huius, prima spira fit tertia pars citculi primi ,&circulus primus quarta pars est secundi,cum radius B duplus sit radii A: ergo prima spira duodecima pars est circuli B secundi; cumque lacu a spira ad circulum secundum sit sicut 7 ad ia: idcirco differemia primae, & secundae spirarum ad primam erit sicut 6 ad i: quod fuit primum ex propositis; igitur spira prima ad primum circulum sicut Rad M, cum autem pero huius, secunda ad secundum circulum sit sicut ire tum A B cum tertia parte F ad G, erit etiam sicut S,R ad N: cumqueper eamdem spira tertia ad tertium circulum sit sicut rec tum C,D cum tertia parte F ad K erit etiam sicut V, R ad Pt cumque per eamdem, spira quinta ad quintum circulum sit sicut rec tum D, E cum tertia parte F ad L erit etiam sicut X,R ad sic deinceps in s quentibus semidiametris. productis quadratis eorum triplis. Hinc ex aequa proportione argumentando. Ratio primae spi ad secundam erit iam sicut R ad R,S. Ratio secundae ad tertiam spiram sicut R,Sad R,T. Ratio tertiae ad quartam spiram sicut R,Τad R,V. Ratio denique spirae quartae ad quintam sicut R, V ad R,X. fit ut spirarum secundae, tertiae, quartae,&quintae differentiae, hoc est spatia sub spiralibus, rectisque eorumdem numerorum sint ad inuicem sicut differentiae ipsorum S, T, V, X. itaque superest demonstrandum, quod differentia ipsorum ST ad S, hoe est tertium spirale spatium ad secundum sit duplum; quodque disserentia ipsorum V,T ad S,hoc est quartum spatium ad secundum sit triplum; quodque differentia ipsorum V. X ad S, hoc est quintum spatium ad secundum sit quadruplum: & ita deinceps.quod sic demonstrabiatur. re tum A, B fit ex A io B: disterentia autem re lorum A B, B C fit ex disserentia A, C in B, sed differentia A,C dupla est ad A igitur er x δμι. eumenti differentia
232쪽
rec rum AB, BC dupla est adre lum AB. Item differentia rec rum A B, B C fit ex differentia A C in B. differentia autem iee rum B C, C D fit ex differentia BD in C , sed differentia B,D aequalis est differentiae A,Q i ituri er et .sex: differentia rec rum BC, CD ad differentiam rec rum A B, BC, est sicut C ad B, hoc est sicut 3 ad 2,&perinde tripla ad tac lum AB. Similiter omnino demonstrabimus, quod differentia rec-rum C D, D E ad diffstentiam rec-rum B C, C D, est sicut D ad C, lioe est sicut 4 ad 3. & perinde quadrupla adtee lum AB: itaque deinceps crescente per unitatem denominatione. Quoniam igitur in rec lis A B, B C, C D, D E per ordinem sumptae differentiae ita se ha bent, ut prima earum dupla sit ad idem re tum A B, & ita deinceps; & triplorum ea dem, quae sub triplorum ratio; propterea & in ipsis S, T, V, X differentiae per ordinem receptae eamdcm seruabunt proportionem; eritque disterentia ipsorum S, T dupla ad S: differentia ipsorum T, V tripla ad S; differentia ipsorum V, X quadrupla ad S; & ita
deinceps crescente per numerorum naturalem seriem denominatione : cumque spatia' sub spiralibus, rectisque eiusdem denominationis co. Aprehensa sint ad inuicem, si- Bcut distersitiae ipsorum S, T, V. X, ut iam ostensum est. Iam tertium spirale spatium Dduplum erit secundi. Quar- Etum vero triplum secundi. QMntum autem quadruplum secundi,&ita deinceps per numeros unitate crescentes. di hoc restabat demonstrandum.
MAuifestum est ergo, quod sicut ratio semidiametrorum in circulis spiralium s
cundum ordinem reuolutionum sumptis est eadem, quae numerorum ab unitate naturali serie procedentium, & ipsorum circulorum ratio est, quae qua Otum a talibus numeris factorum: & circularium differentiarum ratio, quae imparium ordinatim sumptorum; ita spiralium spatiorum ratio est eadem, quae & numerorum hex gonorum aequiangulorum quippe qui constant ex triplicatis altera parte longioribus & unitate,hoc est ex ipsis S, T,V,X singulis cum R coniunctis sicut in arithmeticis oste- sum est, ex quorum hexagonorum continua additione conssantur cubi numeri peroldi nem, ut ibidem demonstratur.
Si ab initio spire ad duo peripheriae relicta princia duaere 'ς educantur,& super initium ad eductarum interualla circuli describantur ; spatium comprehensum a peripheria maioris circuli, & spirae , & a recta, extra producta,cam habet rationem ad spatium comprehensum a peripheria minoris circuli, & eiusdem spirae, & a recta earum terminos iungente, quam habet semidiameter circuli minoris, una cum duo-hus tertiis excessus semidiametrorum ad semidiametrum maioris una eum eiusdem excessus tertia parte. SIt linea spiralis quaelibet H A B C D, in qua relicta sint duo puncta A, Q & ab in tuo Duil g diu i , c
233쪽
tio spirae H educantur rectae H A,H C: ad quarum interuallum super centro H, circuli describantur, & ipsa H A producta occurrat circulo maiori apud G; spatium sub eductis rectis,&peripheria circuli minoris comprehensum sit N ; spatium autem sub ea dem periphetia, & spirali, & parre diametri circuli maioris comprehensum sit Pi spatium denique sub eadem peripheria spirali , & peripheria circuli maioris, rectaq; A Geomprehensum sit X. Ostendendum est quod spatium x ad spatium P, est sicut A Huna eum duobus tertijs ipsius G A ad G H cum tertia parte G A, hoc modo. Nam ριναε. μοι, sector seu Hilirum G C H ad spatium N P est sicut qua tum G H ad recin tum G H A una cum tertia parte qua i G A: igitur diuidendo spatium X ad spatium N P est sicut ree tum H A G cum duobus terti js qua ii G A ad rec tum G H A cum tertia parte qua ii G A, quoniam scilicet sicut spatium X cum N P conssit secto rem G C H, hoc est totum N PX: sicpera. o secundi eumext. rec- tum H A G cum duobus teriijs qua ii G Α, iuncta cum re lo G H A, & triente qua ii G A constituuat totum qua tum G H.& quoiom fuit inuertendo spatium N P ad totum N P X, sicut rec tum G H A eum tertia parte qua ii G A ad qua tu G Hi& N P X ad N, est sicut qua tu G H ad qua tum H A ; quandoquidem similes laetores sunt proportionales circulis, & proinde qua-
-tis diametroru. Propterea ex aequa
li proportione erit spatium N P ad frustum N, sicut re tum G H A catriente qua ii G A ad qua tum HA; Sca NPsuper N excessus est R&ipsoru spatiorum re liGHA,& tertiae partis qua ii G A excessus supra qua tum H A est rec-lum H A G cu tertia parte qua ii G At quandoquidem a. secandi elemerec tum G A H cum qua to H A aequale est re lo GH A0 igitur eversim erit spatium N P ad spatium P taut me lum GH A cu triente qua ii G A ad re tum G A Heum tertia parte qua i G Aeterat autem X ad N P sicut rec-Ium G A H cum duobus teli ijs qua i G A ad re tum G H A cum tertia parte qua-ti G A: Ergo ex aequali, erit spatium X ad spatium P, sicut re tum H A G cum triente qua ii G A ad ree tum G A H cum tertia parte qua i G A. Sed per t. sext. elem enn re tum H A Geum duobus terti' qua iG A ad ree tum H A G cum triente qua ii G A, est sicut linea H A eum duobus terti js G A ad H A cum triente G A re la enim aeque alta sunt basibus prohortionalia. igitur sicut linea H A cum duobus tertijs GA ad lineam PIA eum tertia part G A; sie spatium X ad spatium P, &hoc erat demonstrandum.
MAnifestum est ergo, quod si lineae G H, H A fiterint longitudine eommensur biles; spatia quoque praedicta N, P, X erunt inter se commensurabilia : secus
234쪽
zz similia spirarum spatia , hoe est sub spiris eiusdem numeri reuoluti
num, rectisque eiusdem ordinis comprclienis,simi ad inuicem, sicut circuli ab ipsis spirarum numeris denominati. NAmper a . constat spiralia spatia similia eamdem singula ad sing
los sui numeri circulos seruare rationem, & permutatim igitur, spatia ipsa ci culis proportionalia erunt, sicut propositio loquitur.
PROPOSITIO XXX. Similiter sumpta ex similibus spiris spiralia spatia sunt, sicut
circuli a numero reuolutionum dicti. NAm spatia sub tali conditione consistunt in similibus cireulorum frustis,&proportionalibus rectis ab initio spirarum ad earum peripherias ductis, clauduntur: & ideo per a 6. eamdem seruant rationem ad ipsa circulorum frusta: cumq; singula similia frusta ad suos circulos unam sortiantur rationem; erit ex aequo eadem ratio spiralium spatiorum ad circulos :&permutatim, spatia ad inuicem, sicut circuli, quod fuit demonstrandum.
Spatium sub spira primae,&sub alia spira secundae reuolutionis idem initium, cumdemque exitum habentium comprehensum,est tertia pars circuli, qui ad spiram primam primus & ad secum dum secundus dicitur ι & in cuius peripheria ipsae duae spirae pariter desinunt. SIt spira primae reuolutionis ABCD,& altera spira secundae reuolutionis AEFGHKLD, commune initium A punctum,& commune exitum, siue terminum D punctum habentes ; quo fit, ut circulus, cuius semidiameter AD respectu quidem spirae ABCD primae reuolutionis sit circulus primus; respectu vero spirae alterius A EFGHKLD secundae reuolutionis sit circulus secundus; cum huius spirae pars sit spira A E F G primae reuolutionis, cuius primus circulus est is, cuius semidiameter A G. erit itaque A D linea du
235쪽
Quamobrem circulus, cuius semidiameter A G erit quarta pars, circuli,cuius Iemidiameter A D: quod deper coroliarium 27. hmus, patuit. Per a . autem huius, spirale spatium A FGirecta AG terminatum, est tertia pars circuli, cuius semidiameter A G;& ideo duodecima pars circuli, cuius semidiameter A D. Et quoniam spiralia spatiata ABCD,&AEFG sunt similia, quoniam utrumque est primae reuolutionis: ideo per et s. pracedentem, sunt ad inuicem, sicut circuli spirarum, hoc est, sicut circulus, cuius semidiameter AD ad circulum, cuiri semidiameter AG, ita spirale spatium A BCD ad spirale spathim AEFG. itaque spatium AEFG erit quarta pars spati, A B C D, spatium autem A B C D per et . huius, tertia pars circuli, cuius semidiam ' her A D; cumque spatium A E F G sit pars duodecima eiusdem circuli. erit spatium subrecta GD, spirisque AB CD, AEFG comprehensum quarta pars talis circuli: Sed re a s. hxius spatium sub spira secundae reuolutionis A E F G H Κ L D, & sub G D r .cta comprehensum ad talem circulum, est sicut 7. adia. igitur quoniam de 2 sublata quarta parte, idestinsuperest pars tertia, idest a Idcirco spatium a spiris A B C D,& AEFGHKL D inclusum erit pars tertia circuli, cuius semidiameter A D. quod fuit demo stragdum.
MAnisestum est ergo. quod spatium sub spiris duabus primae, & secundae reuoIutionis idem initium, eumdemque exitum habentium interceptum; est aequale spirali spatio comprehenso sub spira primς reuolutioni reictaq; extensa ad ea spiram. aera Curiouores vestigabunt. Nobis haec satis. ello Bono, hora 3. noctis diei r 8. Octobris, v irr . Indictionis i 34s
FINIS.. Libelli de Lineis Spiralibus
236쪽
E X tribus conicis sectionibus; quae apud antiquiores sectio contrectanguli dise. batur, nunc Parabole vocatur ; quae antea sectio coni acuti anguli, nunc Ellipsis; quae denique sectio eoni obtusi anguli apud illos erat, Hyperbole nunc essipi ilcorum terminis utitur Archimedes: Apollonius tacentiorum.
DEFINITIONE s. 'I. Onoides rectangulum est solidum, quod a parabola super axem fixum s mel circumducta describitiir: quod hic soliddum paratales dicetur. II. C oides obtusiangulum e Molidum, quod ab hyperbola super axem immo tum semel reuoluta designatur: quod hie solidum hyperboles, iure appellabitur. III. Conoides acuti angulum est solidum, quod ab ellipsi super unum axium stante semel circumacta figuratur: quod sphaeroides ab Archimede, & hic Euipticum noria
dicetur: quod Ouo simile apparebit. . S i l . . ia
nuncupabitur. quodammodo ut ita dicatii pastillo simile: sed utrumque sphaeroides asphaerae ii militudine, quemadmodum ab imitatione Rembi, Romboides dictum est, scilicet illud figuram oblongatae hoc autem compressae sphaerae, ut dudum diximus
sectionis axe concurrentes. ea quidem conditione, ut se et approximantes sectioni nunquam tamen ei quamquam in infinitum productae coincidant: atque omnis recta earum uni aequid istans inter ipsam, Ze sectionena descripta concurrat alicubi cum sectione; illae autem quςnsi coincidunt ab Archimede Promimc, ab Apollonio no tangentes, siue non coincidentes vocari solent. Nec immerito, cum sint proximae non coincidestium.
Si sumantur quotcumque magnitudines continue crescentes, per excessum minimὸ ipsarum aequalem: tunc aggregatum aliarum totidem magnitudinum aequalium, quae singule sint aequales crescentium maxima'; minus sunt, quam duplum crescentium simul collectarum; plus verb, quam duplum earum mala ima excepta pariter acceptarum. Sint
237쪽
Slat exempli gratia, quotcumque, ut puta quinque magnitudines A, B, C, D.E- quarum B sit dupla ipsius A; C tripla ipsius A; D quadrupla eiusdem A; Euvia-tupla ipsus A; eodemque deinceps ordine, si plu- res essent: Dico itaque, quod harum maxima scilicet E quinquies sumpta quoniam quinque lant Α - magnitudines P minus facit quam duplum aggre- B ,-gati ipsarum A, B, C, D, plus vero quam dupla , aggregati ipsarum A, B, C, D; cum enim aggre- Σgatum minimae A, & maximae E multiplieatum in D - - numerum magnitudinum producat duplum om- E. . nium ipsarum A, B, C, D, E aggregati ; estque Acum E maius quam maxima E; ergo summa A, & E quinquies sumpta maior est, quans quintuplum maxime E: proindeque quintuplum ii us E minus est . quam dudum ipserum A, B, C, D, E.eumque similiter aggregatum ipsarum A, D quod equatur maximae E multiplicatum in numerum iplarum A, B, C, D unitate minorem praedicto producat duplum iplarum A, B, C, D: patet propositi reliquum.
Si fuerint duae series magnitudinum quamcumque primae seriei magnitudines inter se proportionem habentes; sed eamdem quam secundae seriei inter se seruent rationem: item primae ad totidem te tias; & secvudae ad totidem quartas eamdem binae ad binas
quamquam non omnes eamdem teneant rationem;tunc aggregatum primarum ad aggregatum tertiarum eamdem habebit rationem, quam congeries secundarum ad congeriem quartam. SIm ptimae magnitudines exempli gratia A, B, C, D, in quavis ratione eontinuatae
proportionales totidem secundis mamitudinibus E, F, G, Hs, ita ut A ad B sit sicut Eaci F; Bad , licut Fad G: Cad D, sicut G ad H, quaecumque sint illae rationes. item primae collatae ad totidem tertias Κ, M, ieeundς demum ad totidem quartas Ο, P,
Q At, ita ut A ad Κ, sit sicut E ad O; B ad L si cui Fad P. Cad M sicut G ad Q. D ad N sicut ad R quaecumque sat proportiones. Dico Al in Ctunc quod aggregatum primarum A, B, C, D. omnium ad aggregatum iplarum tertiarum . Κ Μ
Κ, L M,N,omnium erit sicut congeries secun v
clarum T F, G, H, ad congeriem quartarum D, P. Q, R. Quia in uertendo K ad A est sicut O ad E. 4e A ad B sicut E ad F, algae Bad L ut Fad P; ergo ex aequali Κ ad L erit ut O ad P: eadem ratione L ad M erit sieul P ad Qt & M ad N icut Q. ad R. Postea cum per hypothesimait A
238쪽
Qisere per 24. νιπι: eumeat. A B ad ad Κ sicut E F ad O; cumque inuersd L ad K sit si cui Pado,&coniunctim L Κ ad K ilaut Po ad O ;&conuertim K ad KL scuto ad OP: erit ex aequali AB ad KL, sicut EF ad O P; similiter autem cum coniumstii A B ad B sit sicut E F ad D atque B ad C, sicut Fad G fiet ex aequali A B ad C sicut E F ad G:& eonversim C ad A B sicut G ad E F; rursum ergo ex aequali C ad ΚLscut Gad o P. Undefler 2 .-Α B C ad K L sicut E F G ad GP; Sed coniunctim, ex aequali, & conue similem arguitur KL ad KL M, sicut o Pado PQ. igitur ABC ad KLMsielit EFG ad ad O P in ex squali scilicet. Demum coniun- eim , ex aequali., & conuersim arguitur D ad ABC Qui H ad EFG. ergo ex aequali Dad KL 14 erit sicut H ad OP in quamobrem per
2 q. quinti, critiorum ABCD ad KLM sicut tot uin EF G H ad O PQ: verum cola iunctim, ex aequali, dc conuersim arguitur KLM ad
K L M N sicut O P id O P QR itaque exaequali fiet sicut totum A B C D ad totum K LM N, sic iam totum E FGH ad O PQR adc eodem modo demonstrabitur idem dGquotcumque maSnitudinibus; quemadmodum demonstrandum proponitur.
Si quotcumque spatia sirinantur sub una longitudine, latitudinibus autem secundum crementum miniime aequale crescentibus; applicenturque quadrata, l. alitudinum ipsis latitudinibus: tunc aggregatum ex maximo spatio, maximoque quadrato toties sti mptum, quot suerunt sumpta spati s mi rem rationem habebit ad congeriem spatiorum, quadratorumque Omnium, quam habet linea composita ex longitudine, ac latitudine maxima ad lineam compositam ex dimidio longitud&is, tertiaque parte latitudinis maximae: At vero ad conge-xiem spatiorum quadratorumque omnium t dempto maximo spatio, maximoque quadrato habebit maiorem praedicta rationem. EXempli gratia latitudines quoivis spatiorum puta sex sunto A, B, C, D, E, F,
crescentcs in A minimam; quarum quadrata sint G, H, Κ, L, M. Na di spatia totidem bijsdem latitudinibus sint O, P, Q, R, S, T, applicata ad eamdem longitudinem O; cuius dimidium sit V; at X sit tertia pars maximae latitudinis F. Item Ysit illud quod fit ex V in F, hoc est dimidium spatijT: demum Z fit illud quod ex X in F, videlicet inrtia pars qua ii N. Ostendendum est itaque quod totum T N kxcuplicatum quandoquide sex sunt assumpta spatia) ad congeriem G, H, Κ, L, M.N,Ο, P, Q, R, S, T, Omnium, minorem rationem habet quom linea composita ex F, S: O ex latitudine se ilicet maxima, & longitudine constans ad lineam V X. at idem T N spatium sexcuplicatum ad congeriem G, H, Κ, L, M, Ο, P. Q. R, S, spatiorum maiorem rationem habent,quam eadem summa Ο, & F linearum ad lineam V X; quod sic ost&detur. rum perprimam humi, spatium T sexcuplicatum minus est quam duphim ipso
239쪽
rum O, P. I, S, T, simul sumptorum, plus vero quam duplum ipsorum O, P, Q, R, S; igitur spatium Tquidem ipsius T dimidium, sexies sumptum, minus est aggrega to ipsoruin P, P, Q, R, S, T a maius autem aggregato ipsorum O, P, Q, R,S; Per r. .istem umma libem deliinei piratibus, sex cuplum qua-ti N minus, quam triplum et aggregati ipsorum G, H, Κ, L, M. N, plus vero quam triplum aggregati ipsorum G, H, Κ, L, M. igitur spatium Ζ, quod est tertia pars qua ii re sexcuplicatum minus est aggregato ipsorum G, Η, Κ, L, M, N; maius aggregat ipsorum G, H, R, L, M. Quare &.spatium Y,L simul sex. plicatu minus est aggregato ipsorum O, in R, S, T, de G, H, Κ, L, M, N, omnium simul; maius autem aggregato ipsorum O, P, in R, S, cum G, H, Κ, M, simul. , Itaque minorem rationem habebit sexcuplum ipsius NT. ad lingulare N T, quam aggregatum ipsorum O. P. Q, R, S, T, cum G, Η, Κ, L, M, N, omnium ad ipsum Y L; maiorem vero quam aggregatum ipsorum O, P, Q,R, Scum G, H, Κ, L, M, simul ad ipsum Y L; & permutatim minorem rationem habebit sexcuplum ipsius N Tad aggregatum ipsorum O, P, in R, S, T, una cum G, H, Κ. M, N, omnium, quam habet totum N T ad ipsum Y Ziat vero idem sexcuplum N T ad aggregatum ipsorum O, P, Q. R, S, cum G, H, Κ. L, M, simul maiorem habebit rationem,quam dictum N T ad dictum Y Z. Sed per t. sex: etiment. siicut N T spatium ad spatium YZ, sic linea 'O F ad lineam V X. igitur sexcuplum N T ad aggregatum ipsorum O, P, LR, S, T, cum G, H, Κ, L, M, N, minorem habebit rationem quam linea OF ad lineam . t V X. at idem N T sexcuplicatum maiorem rationem habebit ad aggregatum ipsorum
O, P, Q, R, S, cum G, H, L, M, quam linea o F ad lineam V X. od fuit de-
Si ab extremo rectae ordinatae in parabola perpendicularis ad diametrum ducatur; erit sicut quadratum ductae ad quadratum, quod ex dimidio ordinatae,sic recta ad quam possunt ordinati ad axem, ad rectam, ad quam possunt ordinatae ad diametrum. SIt parabola C A X ; cuius axis E C L; rect ad quam possunt ordinatae ad axe C M.
ordinata ad axem L A; tangens parabolam in puncto A sit E Aa diameaeraequia istans axi T N H A F Κ ; aequid istans tangenti, & perinde ordinata ad diametrum sit O F X; perpendicularis ad diametrum sit X K: item M C perpendicularis ad axem,& perinde tangens parabolam in vertice C producta secet tangentem apud Z, diametrum vero apud F : denique T E perpeodicularis ad tangentem A EI & E N perpendicularis ad diametrum T A; recta vero, ad quam possunt ordjnatae ad diametrum A Κ fit G D. Itaque demonstrandum erit, quod sicut est qua tum X K ad qua tum X F quae est dimidia pars ipsius X Oad diametrum A Κ ordinatae sic utique erit C Mad G D. Namque in primis qua tum L A est aequale rec-lo L C M. quandoquidem C M redea diameter est ordinatarum ad axςm: ipsa autem G D recta diameter ordia
240쪽
natarum ad diametrum A K dupla erit ipsius A Τ. nam per s. primi Conis. eument.sile
est Z A ad A H, siue A T ad A E , hoc est sicut duplum A T ad duplum A E, sic iam
recta diameter praedicta ad duplum AE . eamde igitur rationem habet duplum AT ad duplum A E; de reista diameterad duplum A E; igitur recta diameter C, D dupla est ipsius AT: haec quidem ex sa. primi Conic. Eument. ad inuentionem talium diametrorum di cta sint.Itaque C M, A L, L C, continuae proportionales: aequalis auten A L ipsi E N. igitur C Μ, E N, L C eontinuae N portionales erunt: Item propter similitndinem trian rum ipsae T N, N E, N A continuae proportionales sunt, ergo qua-tum E N per sq. sexti elemem. aequale est tam recrao C M, L C, quam rec- lo T N, N A qu1do qua tu L A equum est rec lo C M, I. C) & ideo per i 6.sexti. eument. sicut L C ad N A, licT N ad C M . Sed perwρν mi elemens. Conte. LC dimidia pars est ipsius L E. hoc est ipsius N A. igitur T N semissis est ipsius C M sed A T ut ostensum est dimidium ipsius G D; ergo permutatim N T ad T A, sicut iam C Mad G D ι verum N T ad T A est sicut qua tunia ET ad qua tum T A nam propter similitudine trian rum E T N, & E T A lineae N T, T E, T A
sunt continuae proportionales. postea cum prointer similitudinem trian rum K X F, ET A sit sicut qua tum E Tad qua-tumT A, sic qua tum LX ad qua-tum X F quoniam scilicet latera proportionalia. erit & sicut qua tum Κ X ad qua-tum X F, sie C M ad GD. qiiod fuit demonstrandum, quae tamen demonstratio ab Archimede tamquam manilesta,& in Conicis tradita, omissa est.
Duae portiones paraboles, quarum una terminetur linea Ordinata ad axem,altera autem linea ad alteram diametrum ordinata,existentibus utique axe, & diametro aequalibus; aequales erunt: iteti triangula portionibus inscripta casdem cum portioni bus bases, eosdemque vertices habentia inter se aequalia erunt. SIt parabole ABC, cuius axis BG, ad quem ordinata CGH ad angulos scilicet
rectosi item diameter am aequi distans D F; ad quam ordinata A FE bisai iam secta apud F, re axis B G aequalis sit diametro D F. Dico iam quod portio AB Esubpe- .ripheria ABE,&recta AFEcomprehensa aequalis est portioni CBH sub peripheria CBH. & recta C G H comprehensae. Item quod trian lum ADE aequale cst trian lo CBH; quod sic demonstratur. Sit Μ recta diametros ad quam positant Ordinatae ad axem B G, occurrat A K perpendicularis ad D F produham; & sicut est qua tum K A ad qua tum A F, se sit Mad . eritq; per Maceriare. Q recta diametros, ad quam possunt ordinatae ad D F diametrum. itaque qua tum H G aequa est rec-lo M BG,2 qua tum A F aequum erit rec lo N. D F: Sed ipsae B G, D F aequales sunt. igiturρ .sxt. element. Euclid. sicut M ad N, sic qua tum H G ad quadratum