장음표시 사용
151쪽
nis, quam habet magnitudo a ad magnitudinem b. Etenim quorxs m unitati comparatus modum determinat, quo terminus a divisus continet diviforem b, vel in ipso b comprehen
ut exponens ipsius proportionis ad unitatem. Divisa namque magnitudo toties continet divisorem, quoties quotus divisionis unitatem complectitur; vel quae pars, vel partes unitatis est 'votus, eadem pars , vel eaedem partes divisoriseit magnitudo ipsa divisa ci0. Exponens autem rationis idem est cum quoto termini antecedentis per consequentem divisi c. Ergo, ut exponens proportionis est ad unitatem , ita se habet antecedens ad conlequentem. COROLLARIUM III. Io Si donsequens proportionis fuerit unitas , antecedens e usdem terminus erit exponens rationis , quam habet a recedens ad Qequentem. Quantitas nempe a est exponens rationis ipsiusa ad unitatem. Est enim a V . . . COROLL ERIUM IRII In omni proportione si consequens per exponentem multipli cetur, productum e citur antecedenti termino aequale. Ut si exponens rationis suerit m, erit bm in a. Etenim multiplica-
to divisore per quotum, fit ipsa inagnitudo divisa o.
152쪽
Ia Proportio vel rationalis est , vel irrationalis. Proportionem rationalem magnitudines illa inter se balere Leuntur, qu bus datur communis mensura, seu quarum valor vulgaribus M. meris exprimi potest. Irrationalem vero illa , qua sunt hujusmodi , ut nalia communis quamlitas eas metiri queas. Dari magnitudines eommensurabiles, neminem latet. Extare vero incommeminalites, suo loco demonstraoitur. Dividitur porro proportio rationalis in proportionem squalitatis, & isequati tis.
I 3 Proportio aqualitatis est halitudo duarum magnitudinum , quaram una alteram semel exacte continet. Hujusmodi est ratio magnitudinis a ad magnitudinem b, si ponatur magnitudo a semel exacte magnitudinem b comprehendere. c OROLLARIUM. I4 Exponens proportionis aequalitatis est unitas , & vicissim magnitudines illa sunt aquales, quarum ratio habet pro exponente unitatem. Omnis enim magnitudo semel dumtaxat seipsam continet; & quae tantum semel exacte alteram continet, est illi aequali .
I s Proportio inaequa litatis est habitudo duarum magnitudinum, quarum una alteram superas. Hax autem duplex est , majoris nempe, di minoris inaqualitatis.
I 6 Proportio majoris inaqualitatis est habitudo majoris magnitudinis ad minorem , sive . totius ad partem. Contra vero proportio minoris in uisatis est habitavi minoris magnitudinis ad
153쪽
mastorem , seu partis ia tota . Ut si fuerit a ratio -
erit m aris, & ratio P erit minoris is vibrans.
rationis cujuscumque se habet ad unitatem , ut antecedens ipsius proportionis ad consequentem M; dil exponens rationis aequalitatis ab unitate haudquaquam distinguitur. f. e OROLLARIUM ILI 8 Omus ratis. -- ex uos inlitatem sue - , H ratis majoris inaequalitatis. Illa vero, esus exponens ab unitate d)ficit , est rario miama i praeuaris. H κ enim ipso illius antecedens consequentein excedit 3 hujus vero antecedens a consequente superatur.ec ΗΟLION. I9 Proportionis mioris inaequalitatis quinque numerantur species, videlicet miltiplex, sum areaeaelaris, superpartiens, m ti exsuperpartieularis , de misi exsuperpartiens. Tot similiter recense itur speciespreminionis minoris in m aris, iisdemque nominitais designandire, adiecta tamen illis partieula sis . Sunt enim submultiplex , falsummareis eris , s superpartiens , submultiplexsuperpartieularis , s multiplexsuperstaintiens.
154쪽
proportio, quam habet ε - ea, quam his 1 ad 6. Etenim unitas sextus in numero 6 continentur. Ἀ- viditur itaque proporato mini x ita rapiam, triplam , qaadruplam, atque ita deinceps in infinitum. Submultiplex vero ita fud iam, βειν - , fis a viam dic. Proportio ἀσla
est, cum amecedens bis conisint mn Cui re iate , ut ratio 2 ad a,ta sic deinceps is vrcissim ratio est, eum antecedens bis in suo conisquenm c --τum. Patiscit prinportio I ad 21, s tripla, cum antecedans te in tuo consequente comprehenssitur, ut ratio I ad 3, arque ita dece eris. COROLLARIUM.LI Exponens rationis maltiplicis esi numerus vularis inure. Exponens rationis submultiplicis est fractio , cujus numerator ess
ponens rationis dupla est 2, rationis tripla est 3, rationis quadrupla est &et. Ex vens vero rationis subdupla est , βω
ia est ratio, quam Det 3 ad 1, ει vici sitam 1 ad 3. Etenim 3 iemel comi uck- ω tol - umana alias parrem dimi am. pio diversa idcirco habstudine Iuste pari in aliquora et D sua majoris temini tu a inita rem in pliares species pu potucinis genus distic itur. Eraram fi pars illa lus in a mes contineama , νε--tio emicirra ad minorema incirin Risu ineris, ut Tatio' ad B, raria vem mineris ad majorem, ueti aci I, vocatuae sub eis ciem. Si pars istu sit una terata n
155쪽
noris termini, proportio dicitur sesquitertia, si maior ad mlanorem, ut ad 3, vel ob quitertia, si minor ad majorem , ut 3 ad reseratur, & sic deinceps.c OROLLARIUM.23 Exponens rationis superpartisularis est imitas cum fractisne, cujus numerator semper est unitas . Exponens vero rationis subsuperparticularis est fractis , cujus numerator una tantum unitate suo denominatore minor est. Sic exponens rationis fesquialtera est I raetranus sesquitertia est I a , rationis sesquiquarta est I &c. Exponens vero rationis fιbsesquialtera est
Proportis superpartiens est , eum antecedens semel consequentem continet cum aliquot illius partibus aliquotis, quae tamen simul sumta unam ejusdem aliquotam partem yon constita-unt. Proportio vero subsuperpartiens est , eum antecedens semel cum aliquot partibus fuis aliquotis in consequente continctur. Talis est proportio, quam habet 1 ad 3, & 3 ad 4Stenim ssemel complectitur 3 cum duobius ejusdem trientibus, qui unam aliquotam ejusdem partem constituere nequeunt. in divisione propterea proportionis superpartientis ratio habenda est tum numeri partium aliquotarum excessus majoris termini supra minorem, tum illarum partium indolis. Itaque si antecedens semel cum duobus trientibus consequentem contineat, quemadmodum numerus 3 continet 3, proportio dicitur fu- perbipartiens tertias. Si semel cum da us quintis , dicitur superbipartiens quintas, qualis est ratio numeri 7 ad numerum s. Si semel cum trisus septimis, vocatur supertripartiens se rimas, cujusmodi est habitudo numeri Io ad numerum 7, &sc deinceps. Vicisim vero ratio numeri 3 ad s dicitur is
156쪽
superbipartiens tertias; ratio numeri. s ad 7 subsuperbipartiens quintas; ratio numeri T ad Io subsupertripartiens septimas &c. OROLLARIUM.2s Exponens rationis superpartientis est unitas cum fractione ,
eugus numerator numerum partium aliquotarum excessus majoris termini supra minorem indicat, denominator vero illarum qualitatem designat. Exponens autem rationis subsuperpartientis est fractis , cfas numerator tot unιratibus a denominatore deficit, quot partibas aliquotis minoris inmini major ipsam superat. Nimirum expoηens
rationis superbipartientis tertias est
rationis superbipa tientis quintas est I rationis supertripartientis septimas est rL. Exponens vero rationis subsuperbipartientis tertias est rationis subsuperbi lentis quintas e - , rationis subfiapertripar-
26 Proportio multiplex superparticularis est, eum antecedens aliquoties consequentem cum una sui parte aliquota comprehendιt. Tr portis vero submultiplex superparticalaris est, cum antecedens at quoties eum una sui parte aliquota in consequente continetur. Talis
est proportio, quam inter se habent numeri 7, 3 multiplex superparticularis nimirum est ratio numeri 7 ad numerum 3, submultiplex superparticularis autem ratio numeri 3 ad numerum 7 Quandoquidem I bis continet 3. cum una tertia ipsius parte. In hoc idcirco genere prod)rtionis consideranda est tum multiplex continentia minoris termini in ma)ori; tum habitudo partis aliquotae excessus ad terminum minorem. Si ergo major terminus bis minorem contineat di unam illius partem dimidiam, quemadmodum numerus scontinet S a, Pro
157쪽
2 Provortio majoris ad minorem diciturtio vero minoris ad majorem subdi plaρAmaltera. Si mamrter complectatur minorem cum uno illius quadrante , ratio maioris ad minorem vocatur triplUGMquarta , qualis eit ratio numeri I g ad numerum Φ, ratio vero minaris ait inararem, ut numeri ad numerum I 3, subtriplasesquiqaarta nuncupatur. Eodem modo ratiocinare de aliis.c OROLLARIUM.27 Exponens rationis multiplicis superparιieularis est numeras integer eum fractine, evus numerator semper est πιιtas. Exponens vero rationis submiatiplicis superparticularis est fract: o, cullus denominator exhlet partes aliquotas majoris termini, numerator autem, quot ex bis in minori termino contineantur, designat. Sic exponens
rationis dum sesquialtera est 2 , tripla sesquiquartae est 3- rationis vero subduplae sesquialtera est b, subtripla sesqui-
28 Proportio multiplex superpartiens est, eum antecedens aliquoties consequentem continet cum aliquot ipsius partibus aliqvotis, qxa tamen smul sumta unam aliquotam illius partem minime eonstituunt. Proportio vero submultiplex superpartiens est , eum antecedens aliquoties cum aliquot suis partibus aliquotis, unam aliquotam ejusdem panem haudquaquam coaequantibus, is eo equente comprehenditur. Sic multiplex superpartiens est ratio numeri II ad numerum 3, submultiplex superpartiens ratio numeri 3 ad numerum II. Quandoquidem numerus II ter cum mentibus
numerum 3 comprehendit. In discernendis idcirco speciebus hujus generis proportionis habenda est ratio primo multiplicis continentiae minoris termini in majori. Secundo nudi meri partium aliquotarum excessus majoris termini uae minorem aliquoties contentum. Tertio harum partium in
158쪽
dolis . Hinc proportio numeri II ad numerum 3 vocatur rei a superbipartiens tertias. Dicitur enim mpla, quia num rus II ter continet numerum 3. Dicitur superbipartiens tertias , quia excessus majoris numeri lupra minorem est 2, qui continet duas tertias partes minoris numeri 3. vicissimvero eandem ob caulam ratio numeri 3 ad numerum II ratio subtriptisuperbipartiens tertias nuncupatur. Hac radem methodo ceterae specics hujus proportionis determinari facile poterunt. COROLLARIUM.19 Exponens rationis multiplicis superpartientis est numerus M. teger eum fractione, cujus numerasar exhibet numerum partium aliquotarum excessas antecedentis supra consequentem, denominator vero illarum panιum indolem delignat ponens vero rationis su multiplicis superpartientis est stactis , eujus denominator eontinet omnes partes aliquotas consequentis; numerator vero eas numerat , quae in antecedente e tinentur. Sic exponens rarionis tripla super
bipartientis tertias est 3 h ; rationis vero subtripla superbipari
sc HOLIO N. . 3o Si exponentes rationum , quas hactenus explicavimus , attento animo expendantur, perspicuum fiet, proportionem tam majoris , quam minoris inaequalitatis nonnisi in quinque species modo traditas dividi posse
Dua rationes dicstntur aquales, seu smiles, eum antecedentes earum termini eodem modo suos consequentes continent, vel initiis continentis Sic ratio numeri 2 ad numerum 9 mualis est rationi, quam habet numerum 8 ad numerus r. Ut enim antecedens χέ bis cum duilus trientibus continet cons quentem P, antecedens 8 bis cum duobus trientibus suum S L conse
159쪽
consequentem et comprehendit. Similiter ratio numeri 1 adnumerum 6 assaequat rationem numeri ad numerum ΙΣ, Quandoquidem antecedentes termini 2, ψ, ter in suis conle-quentibus G I 2, continentur. COROLLARIUM L32 Ratio fractionis cujuscraque ad unitatem eadem est cum ea, quam ipsius fractionis numerator ad Cusdem denominarcirem balet. Nimirum fractio --habet ad unitatem , ut numerator
a ad denominatorem b. Eodem namque modo fractio eontinet unitatem, vel in unitate continetur , quo numera tor a complectitur denominatorem b, vel in illo comprehenditur. MCOROLLARIUM ILIn omni multiplieatisne ratio protini ad terminum multi i-eatim di υersa is ea non est, quam habet terminus multiplicaω ad unitatem. Similiter in omni divisione ratio quatientis ad unitatem similis est rationi termini divisi ad di Orem. Patet quoad utramque partem ex ipsa natura multiplicationis, & divisionis; nec non ex notione identitatis rationum modo exposita. Cu mque exponens rationis cujusque non differat a quoto antecedentis termini per consequentem divisi ω, ratio expoηentis ad unitatem diversa ab ea non erit , quam baiori antecedeas ad con sequentem, prout superiori etiam loca notavimus cro. c OROLLARIUM III. 3ψ Rationes aequales eundem , sive aquales exponentes habent Et vicissim rationes, qua eundem, seu aequales exponentes habent,
sunt aequales. Ut si ratio aequalis suerit rationi P exm
nens rationis - aequalis erit exponenti rationis Et si exponens ta synopsis Alleb. ss. l. s. υὶ s. s. Diuitiaco by Cooste
160쪽
mnens rationis - aequalis fuerit exponenti rationis ratio
quoque F radoni b aequalis erit . Si namque rationes
sunt aequales, antecedentes earum termini eodem modo suos consequentes continent, aut in illis continentur μ). Exponens autem rationis est quantitas modum definiens, quo antecedens continet suum consequentem , vel in illo contine-.tur in . Ergo si rationes sunt aequales , earum quoque exponentes erunt aequales, & vicissim, si evonentes rationum lunt adiluales, ipsae itidem rationes sibi mutuo aequales erunt. sc HOLIO V.
Cavendum quammaxime est, ne rationum aequalitas, cum ratione aequalitatis confundatur. Quandoquidem ratio aequalitatis exigit, ut termini sint aequales sco; at vero aequalitas rationum in eo tantum posita est, ut termini antecedentes eodem modo suos consequentes respiciant: quod quidem habetur, quamvis termini, qui inter se mutuo compara tur, sint inaequales.
Equalitas rationum signo aequalitatis zz designatur , videlicet sicuti ata b significat, magnitudinem a aequalem
esse magnitudini b, ita , vel a. m e. d indicat,
rationem magnitudinis a ad magnitudinem b aequalem esse rationi magnitudinis e ad magnitudinem d. Nonnulli ad rationum riualitatem indicandam utuntur signo ita nimirum ut a. b r: e. d exprimat aequalitatem rationum L. U rum, ut advertit Cl. Volfius od), signum scientificum m signo non scientifico :: praeserri debet. DEFI-