장음표시 사용
161쪽
14237 Partes tam adiqvota, quam aliquanta dicantur similes, quae eandem ad suum totum ratiomem habent. Ut si ratio partis a aclsuuin totum A aequalis fuerit rationi partis b ad suum totum B, partes a b vocantur sibi mutuo umiles
38 Duarum rationum illa voeatur major , cuius tecedens magis suum consequentem continet, vel minas in suo consequente continetur, quam alterius antecedens suum consequentem contineat , vel in illo contineatur. Sic ratio numeri Io ad numerum 3 major est ratione numeri y ad numerum 2, quia antecedens Iopluries continet conlequentcin 3, quam antecedens s suum consequemem Σ comprehendat. Etenim numerus Io ter continet totum 3, & unum insuper illius trientem. At vero numerus s bis dumtaxat complet: titur nnmerum 2 cum unae
illius parte dimidia Vicissim vero ratio numeri 2 adnumerum s major est ratione numeri 3 ad numerum Io, quia minus anteceden2 2 in consequente s, quam antecedens I ita
consequente Io comprehenditur c OROLLO RIUM L39 Ratio major may em exponentem habet, σ quae majorem exponentem balet, major est Cum entin antecedens rationis majoris magis consequentem. contineat , vel minus in illo contineatur, quam alterius rationis antecedens suum mns
quentem complectitur vel in illo continetur , major itidem quantita& requiritur, ut major ipsa ratio exprimatur. Et vicissim si Itujusmodi quantitas rationem denominans major
suerit, antecedens rationis. suum consequentem magis com
Prehendet , vel minus. in illo continebitur; atque adeo ratio ipsa major erit. Id porro magis adhuc perspicuum fiet, sicansiderare velimus, exponenoem rationis mastoris inaequalitatis. Disiligod by Cooste
162쪽
esse numerum unitate majorem Q. exponentem vero rationis minoris inaequalitatis esse numerum unitate minorem , fractionem scilicet proprie sumtam sb , eamque majorem esse, quominus illius numerator ab ejusdem denominatore defietit lc .
Hinc enim aperte constabit , antecedentem terminum ratio nis m oris inaequalitatis magis continere non posse 1 uum consequelitem, quin magnitudo, quae majorem hanc continentia n definit, masis ac magis unitatem superet, ac proinde quin magnitudo ipsa continuo major fiat; & vicissim quantitatem hanc auseri non posse , quin antecedens suum consequeiatem magis contineat. Constabit quoque, antecedentem non posse in suo consequente minus comprehendi, quin fractio rationem ipsam denominans minus ab unitate deficiat, atque adeo quin continuo major evadat. Similiter hujusmodi fractionem non posse esse majorem, quin antecedens rationis ab illa denominatae minus in suo consequente comprehendatur, ac propterea quin ipsa ratio major fiat. COROLLARIUM II.
o Omnis ratio ma oris inaequalitatis est mastor , ct omnis ratio minoris inaequalitatis est minor rarιone aequalitatis . Et vicissim omnis ratio major ratione aequalitatis est ratio majoris inaequalitatis , omnis ratio minor ratione aequalitatis est ratio minoris inaequali
tatis. Etenim exponens rationis maiioris inaequalitatis est major ,& exponens rationis minoris inaequalitatis est minor unitate, querationem aqualitatis denominat d). Et vicissim exponens rationis, quae ratione aqualitatis major est, unitatem superat, de expo-nras rationis, quae ratione est minor, ab unitate deficit eum ille major, hic vero minor sit exponente rationis squalitatis seo. Ergo M.
c OROLLARIUM III. I Proportio majoris inaequalitatis eo minor , ct vicissim proportio minoris inaequalitatis eo major eυadit , quo magis ad rationem aequalitatis accedunt. Enimvero, quo magis proportio majoru
163쪽
accedit ad rationem aequalitatis, eo magis illius exponens minuitur, quatenus continuo sui decremento proxi-inior fit unitati , quam tamen semper superat. Contra ver exponens rationis minaris inaequalitatis eo major efficitur, quo magis ipsa proportio fit proportioni aequalitatis propinquior, quatenus scilicet in hujusmodi accessu illius exponens continuolui augmento proximior fit unitati, a qua tamen semper de ficit. Ratio autem illa major est, quae ma)orem exponentem
Iiabet ca . Ergo &c. HYPOTHESIS III.
2 Inaequalitas rationum iisdem plane signis, quibus inae qualitas magnitudinum, indicatur. Videlicet sicuti a b designat, magnitudinem a majorem esse magnitudine b , Sca rib indicat, magnitudinem a a magnitudine b deficere ,
ita - - , sive a. e. d significat, rationem magnitudi-
nis a ad magnitudinem b majorem esse ratione termini e a l
d, & - , seu a. b e. d designat, rationem primae a
ad secundam b minorem esse ratione tertiae e ad quartam d.
Proportionalisas Geometrica, quam Graeci malogiam appellant, est rationum similitudo, seu aqualitas. Videlicet quatuor magnitudines dicuntur geometrice proportionales, cum ratio prima ad secundam similis est, sive aqualis rationi tertiae ad quartam ..Ut si fuerit a. b - c. d, quatuor magnitudines a, b, c, d erunt geometrice inter se proportionales. Porro prima quatuor magnitudinum proportionalium dicitur primus antecedens , se cunda primus consequens, tertia secundus antecedens , & quarta secundus consequens. oniam vero una eademque magnitudo obire
164쪽
Mite smul potest munus prim confessumtis, & secundi antecedentis , ut cum dicitur , magnitudo a esse ad masnitudinem quemadmodum est magnitudo b ad magnitudinem e, stri,proportionalitatem in tribus tantum terminis posse subsist
c OROLLARIUM L Si fuerint quatuor magnitudines geometrice proportionales, ponens rationis , quam biaet prima ad secundam , aqualis erit exponenti rationis, quam habet tertia ad quartam. Et vicusim , si exponens rationis , quam balet prima ad secundam , aequalis fuerit exponenti rarionis , quam habet tertia ad quartam , qu tuor ilia ni stadiser erunt geometrice preportionales Etenim rationes aequales habent exponentes aequales , & quae habent exponentes aequales, sunt inter se aequales is .c OROLLARIUM II. 3 si prima quatuor magnitudinum geometrice proportionalium fuerit aequalis, vel mador, aut minor seeunda, etiam tertia erit aquaris, vel ma or, aut minor quarta . Et se tertia fuerit aquisis , vel major , aut minor quoerta , etiam 'ima erit aqualιs , vel major, ais minor secunda. Est enim prima ad secundam , ut tertia ad quartam , sicuti etiam tertia ad quartam , ut prima ad secundam.
Proportionalitas geometrica quatuor magnitudinum a, b, c, d hoc modo exprimitur a. b c. d. Hoc enim modo rationum aequalitas , ut superiori loco notavimus, designatur.
7 Proportionalitas vel visi eta est, vel tantinua. Proportio nautas continua est , cum ratis se Ma magnitudinis ad tertiam . . T di
165쪽
diruersa is ea non est, quam habet prima ad secundam. Diser ta vero cum ratio secundi termini ad teνtium disersa est a ratione primi ad secundam . continua nimirum est proportio numerorum 16.8. . Σ. At vero discreta proportio numerorum x. In primo enim casu dumtaxat secundus terminus est ad tertium, ut primus ad secundum. Trium itaque magnitudinum eontinuo proportionalium secunda dicitur media proportionalis. Quatuor vero magnitudinum continuo itidem proportionalium secunda , & tertia dua media proportionales nuncu
8 Proportionalitas continua geometrica indicatur praemgendo signum π terminis ipsis continuo inter se proportionalibus. Ut si proportionales emtimae inter se fuerint magnis tudines a, b, c, d M. scribitur - a. b. e. d. &α
Monitum. 9 Ceterum ubicumque fit mentio de terminis proporti natibus, discreta semper proportionalitas intelligitur , nisi lycontinuo expresse hahiatur.
o Magnitudines Mmolea , he ratisne similes , die tin illa. qua egiam ad alias, quibus comparantur, rationem habent . Ut si ratio magnitudinis a ad magnitudinem b similis fuerit rationi magnitudinis e ad magnitudinem d, magnitudines a,c erunt bomologa. c OROLLARIUM. I di omni proportionalitate geometrica termini antecedentes sunt bomologi. Habent enim eandem rationem ad suos cons
166쪽
nens est factum ex aliarum rationum exponrnt f inter se misi A
catis . Ut si exponens rationis - suerit m , & experiens rationis e b- fuerit n, ratio, cujus exponens est productum m , erit
sc HOL IOVI. 33 Ut igitur determinetur ratio ex datis quibuscumque rationibus composta, quyndi sunt illarum exponentes inter se mutuo sunt multiplicandi. Quod enim hinc fit prinductum, erit exponens rationis quaesitae, ejusque indolem palam efficiet. sc HOLIO V II. 34 memadmodum rationum multiplicatio exponentium multiplicatione peragitur, ita ipsarum additis , subtractio , α diviso additione , subtractione , & divisione exponentiam
absolvuntur. Ut si exponens ratistas- fuerit m , & exponense brationis - suerit n , ratio ex illarum additione consurgens dea erit, cujus exponens est m--n. inae autem ex subtractione
tionem - , ea erit, cujus ex Mus est quotus id n
167쪽
ex tribus : quadruplicara , qua ex quatuor rationibus I raudus in er se mustiplicatis cor urgit, atque ua deinceps. Sic mognitudo a erit ad magnitudinem b in ratione duplicata ma-
tione triplicata magnitudinis m ad magnitudinem n , si ratio
fuerit composita ex tribus rationibus rationi - similibu , nin se invicem ductis, & sic deinceps.c OROLLARIUM L36 Dua magnitudines erunt inter se in ratione aliqua duplicinta , si ea fuerit ipsarum ratio, ut illius exponens sit Damae ex data rationis exponente multiplicato per seipsum. Erunt in ratione aliqua triplicata, si Derint in ea ratione, ea us exponens set prγώctum ex data rationis exponente per exponentem ejusdem dusis
pa multiplicam Sc. Ut si exponens rationis ponatur d , rv
ilo erit duplisari rationis , si fuerit - αώ; erit triplicamb m an bejusdem si fuerit - radia, de se de ceteris. Rationum,n bnamque compositio ea nentium multiplicatione absolvitur a).c OROLLARIUM TI. 7 Ηine exponens rationis duplicatae est quadratum; rationis triplicatie est cubus, ratiosis quadruplicatae est quadrat qua '
168쪽
s c Η O L I Os8 Si notus idcirco fuerit valor illiuς quantitatis, quae datam rationem denominat, valor quoque ejusdem rationis d. plicata, triplicata dee. facili nmotio determinabitur . Id enim multiplicatione cogniti valoris obtinetur. Ut si exponens datae rationis ponatur d T 3, exponens illius rationis, scilicet irripta duplica aerit 9, ejusdem triplicata erit 17,& sic deinceps.
19 Ratis subduplicata datae rationis vocatur illa , ex qua G-Na in seipsam data ratio esseitur: subtriplicara, ex qua multipli-eata per seipsam duplicatam ratio data eisurgis, atque ita deinceps.
Ut si ex ratione - multiplicata per seipsis fiat ratio - , si ab v ν ex eadem - ducta in seipsam duplicatam consurgat ratio Hb a . .& si ex ipsa - multiplicata per seipsam triplicatam oriatur x bratio magnitudo a erit ad magnitudinem b in ratione subduplicata magnitudinis m ad magnitudinem n; in ratione subtriplicata magnitudinis r ad magnitudinem s ; in ratione abquadrupucata magnitudinis x ad magnitudinem I, M. COROLLARIUM LD Dua magnitudines erunt inter se in ratione subduplicata a euius rationis data,si quantitas,qua illarum rationem denominat -ctam seipsam exponenia data rationis Oetat: erunt in ratione aliqua lubtriplicatas illa eadem quantitas multiplicata per suum quadravum data rationis exponentem producat , σ sic deinceps . Ut si
exponens rationis - fuerit m. ratio erit siduplicata rati c
169쪽
Ponatur αυπ- ω. Ic OROLLARIUM R6I Hine exponens rati is subduplicatae est radix quadrata ; rationis subtriplicatae est radix cubica, rationis subquadruplicatae est radix quadrato-quadrata &α exponentis illius rationis , cujus illa est subdupluata, subtriplicata ma C H O L I O N L62 Si notus propterea suerit valor quantitatis , quae da tam rationem exprimit, per extractionem radicis quadrata ex illa quantitate innotescet valor exponentis ejusdem rationis subduplicata , per extractionem radicis ealea palam fiet valor exponeatis Guidem rationis subtriplicata &cis c H O L I O N ILI 63 Cavendum quammaxime est , ne ratio cum ratione dupla, ratio triplicata cum ratione res la dcc , sicuti etiam ratio subduplicata cum ratione subdupla , ratio fore rurata cum ratione subtripla &c. confundatur. Etenim ratio dupla in eo posita est, ut antecedens suum consequentem bis contineat. At vero ratio duplicata rationem compositam ex data ratione in seipsam ducta designat, quae sunt toto coelo diversa . Idipsum de aliis dicito.
4M AEquarionis nomisae intelliguntur dua quantitates Agebrica, sis semplices illa sint, seis eminexae, inter quas signum aquaιita ris T reperitur. videlicet aqxationes vocantur a '
170쪽
6s Membra aquationis μι illa quamlitares , quas seuer habetin ygnum aqualitatis zz . Sic quantitates a ta , mr ax sunt membra aquationis a de tam nx,primum quidem , quod signum zz praecedit, scilicet si e , secundum vero , quod signum ipsum consequitur, nempe --nx.
I 66 Rario inversa est, cum sumitur consequens proportio nis, veluti antecedens , & ad suum antecedentem , ut ad consequentem refertur. Nimirum s fuerit A. a TIB . b , arguitur invertendo, cum demonstratur esse a. Atab. B. sc HOL ID V. 67 Ex eo, quod habeatur M. a za. b, arguunt nonnulli, esse b. Bz a. iae, idque permutando appellant. Verum cum, lacta terminorum inversione, mutetur tantum locus rati num aequalium, specialis arguendi modus is haudquaquam videtur. I I. 68 Auerna ratio est, evin anteeedens ad antecedentem ,& consequens ad consequentem resertur . Ut si fuerit ara B. b, arguitur alternando, eum probatur esse A. Bzza. b.
Θ compositis rationis fit, cum summa ex antecedente, &consequente ad consequentem resertur. Ut si ponatur M. AE B. b, arguitur componendo, cum ostenditur, esse A M. O