장음표시 사용
181쪽
Quadratum bb secundae b dividatur per primam a. Quo
tus 3 erit tertia proportionalis quaesita. Dexmn ratio.
Ei duae inaequales magnifudines pre eandem, vel aequales multiplicemar, pr fia erant directe inter se, ut i a magnitudines.
Duae inaequales magnitudines a, b multiplicentur per eandem d, vel per aequales, d, d, duoque fiant producta ad , M. Dico, sta G. bd za a. b.
Si duae inaequales magnitudines per e dem, vel per aquales diUdantur , quoti erunt directe , ut i a magni. tudines divisa.
- Duae inaequales magnitudines a, b dividantur per
182쪽
Stante namque hypothefi, erit Bama, da mb ' , ae proinde dnmta na, dyinta inb M. Est autem d- m o. nino erit etiam mb na db; atque adeo m. a. b μ . Itaque si duae inaequales magnitudines δα. quod erat ostemdendum. c OROLLARIUM. Si duae inaequades magnitudines per eandem , aut per aquales mastipueretur , vel dividanto , facta is primo eais, quoti in secundo erant inaequales. 9s sunt enim ram secta, quam quoti, ut ipsie magnitudines
Si eadem ma itudo per duas inaequales diυidatur, quotierant suis di oribus reciproce proportionales.
s6 Magnitudo a dividatur primo per delare pet c,
183쪽
productum extremarum m , & en est productum mediarum n, c. Ergo erit m. n a e. b i . Ita lue si eadem magnitudo Sc. quod erat ostendendum. COROLLARIUM. Qistus mignitudinis divisa per majorem terminum est minor q-tiente Hi em magnitudinis per mi- norem dis .
Si fuerint quatuor magnitudines , quarum prima majorem rationem habeat ad secundam, quam tertia ad quartaem, protictum extremarum majus e it producto mediarum. Si vero ratio prima ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam, productum extremarum erit minus producto mediarum.
98 Esto a. b , e. d. Dico, productum ad extremaruma, d majus esse producto se mediarum b, e.
aoniam est a. b e. d, exponens rationis - major erit
m. Igitur erit --bnta a, dmta e tes. Μultiplicatis ides membris aequationis ---tata a per quantitatem d/ se
184쪽
I I . py Modo autem sit a. b e. d. Dico, esse ad be , productum scilicet extremarum a producto mediarum de
incidit eum praecedenti, si nimirum ponatur et in , e b- m. n. Erit enim M , D tae, dc -'a ; ac proindeciadine be; eum jam si b- d---Ob, ut patet. Itaque si fuerint quatuor magnitudines Sc. quod erat ostendendum .
Si fuerint quatuor magnitudines, ex quibus productum extrema rum si ma s producto mediarum , prima habebit majorem rationem ad secundam, quam tertia ad quartam . Si vero productum extremarum fuerit minas producto mediarum , ruis prima ad secu Mameris minor ratione tertia ad quartam.
Ioo Sint quatuor magnitudines a , P, e, d , ex ovibus proauctum ad extremarum a , d sit majus producto k m diarum b, c. Dico, esse a. c. d.
185쪽
rionem - per hypotheis. Ergo erit a. γ e. d l. dII. IOI Vicissim vero productum ad extremarum a , d sit minus producto is mediarum b, φ. Dico, esse a. b e. d.
Coincidit vero praxedenti. Quandoquidem sina- eadem
modum tune est ad QM. Eryo erit quoque m ac proinde a. b ς e. d. Itaque si Lerint quatuor magnituaines dic. quod erat ostendendum.
186쪽
'O uicis, ct proportionalitatis Geometricae.
Magnitudines aquatis eandem ad em dem , vel tremi is rationeo habent , re vicism qua eandem ad eundem, vel aequales terminas νationem baseat . sunt aquales. rox Sint duae magnitudines aequales a, b . Dico, eandem esse utriusque rationem ad eundem, vel aequales ter-t εν minos x, x, nimirum esse a. Xmb. X.
Enimvero cum fit per hypothesim a me. , si mnavit
I I. 1or vicissim magnitudines a , b eandem rationem ha- Raetissi heme ad eundem, vel aequales terminos x, x, esto nimirum a. X.,. E. Dico, esse a b.
187쪽
Cum enim si per hIpothesim a. x x , si ponatur ta tu, erit etiam se V m a ; ac proinde m zza ,
xvi ta b b). Ergo erit a ta b e . Magnitudines igitur ae- . quales &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM I. Fractiones ilia sint ister se aequales , qua eandem ad suum
denominatorem rationem habent.
ro Fractiones nimirum - , - aequales erunt inter se ,
si ratio numeratoris a ad denominatorembdiversa ab ea non fuerit, quam habet numerator e ad denominatorem d. Cum enim fractio quaecunque sit ad unitatem, ut ipsius numeraa etor ad suum denominatorem, erit Ima. b, . I.
e . d d . Est autem per hypothesim a. brae. d. Ergo erit 'a e ae
S c Η O L I OIos Hinc manifestum essicitur, quod diximus in Algebravno ι S. I , videlicet stam es esse ejusdem valoris , seu
aq-s inter se, eum emum numeratores sunt eadem pars, vel eadem partes suorum denominatorum. Quandoquidem numera tores fractionum esse eandem partem, vel evidem partes suo rum
188쪽
rum denominatorum idem est omnino, ac ipsarum numeratores eandem ad suos denominatores rationem habere se .c OROLLARIUM RH e fractiones fant aequalis inter se , quaram numeratores in mutuos denominatores ducti, producta aqualia esciunt.
- , si sectum ex multiplicatione numeratoris a fracti da enis per denominatorem d Dactionis - , scilicet ad, fuerit
aequale producto eb, quod oritur ex ductu numeratoris e se O . . μ .ctionis in denominatorem b stactionis - . Etenim, si sue.
sint inuales inter se, num vero inaequales.c OROLLARIUM m. Si duo evusvis stritionis termini per eandem quantitatem maltiplicentur, fractio ex histe productis facta ejusdem eum illa vesaris erit.
189쪽
ios Ex hoc patet generalis demonstratio reductionis fractionum dissimilium ad idem nomen. In hujusmodi namque reductione termini fractionis per candem quantitatem multiplicantur cc . COROLLARIUM IV. Si duo eu levia fractionis termisi per eodem quamstatem dividant , fractio ex quotientibus facta ejusdem cini lega v. is erit.
xici Videlicet si termini b stactionis-- dividantur pera b
. b sc HOLION.m Huic propositioni innititur artifici- Mihi traditum
f)reducendi fractionem quamcumque V minimos termino Constat enim, illud in eo totum postum esse, ut termini d fractionis per maximam communem mensuram dividantur.
190쪽
Eadem magnit do eandem ad aqmiles te ims rationem habet. Et vicism ilia magnitudines sunt aquacis imter se, is quas eadem magnitudo eandem balet rationem.
I xx Eadem magnitudo a refintur ad blivia aequales b, Dico, esse a. b a. σέ
Cum eniam'tae, si ponatur - tam , -- erit
m ta n ca . Sunt autem quoti m , n ex mentes rationum
Enimvero cum si per hypothesim --, si ponatura a e tam, erit etiam tam id . Est autem tin ea, 'ais c