장음표시 사용
171쪽
To Divisio ratinnis tunc fieri dicitur, cum excessus, quo a te ens consequentem luperat, cum ipso conseia uente comparatur. Sic tacta hypothesi, ut sit a 2B . v , arguitur dividendo , si oli datur, cile A .a T B . b.
II Comesis rationis dividendo tunc fit, cum excessus ant cedentis supra consequentem ad ipsum antecedentem resertur. Nimirum si suerit A. az B. arguitur diυidendo per conversionem rationis, cum ostenditur - b. B. VI 72 conversio rationis componendo est , cum antecedens , es consequens simul uniti, unius instar , ad antecedentem re seruntur. Si nimirum fuerit A. a zzB. arguitur componen do per conversionem rasionis, cum ostenditur, ta
3 Ratio ex aqualuate est sumptio extremorum per subductionem mediorum . Uidelicet si fuerint ex una parte trus magnitudines B , c, de ex alia totidem alia: a , b, e , guttur ex aqualitate rarionis , cum demonstratur , prima in uno ordine esse ad ultimam in eodem ordine, ut est prima in altero ordine ad ultimam Husdem . Verum cum magnitudines istae debeant esse proportionales, idque dupliciter contingere possit, nimirum ordinate , & perturbate , duo casus distinguendi sunt, in quibus ex rationis aequalitate potest argui, videlicet cum illarum ratio est ordinata , di cum ratio ipsa est perturbata.
172쪽
Ordinata proportis inter plures magnitudines diversum ordinem constituentes tunc haberi dicitur, cum prima est adfecitndam in uno ordine, ut est prima ad secundam in altero ordine; & secunda ad tertiam in priori, ut est saeunda ad tertiam in posteriori, & sic deinceps. Erit nimirum ordinata μι-tis in duplici hac magnitudinum serie
si fuerit A. B a. b, B. cmb. c, c . D tae. d. Itaque arguitur ex aquatitare ratio is in proportione ordinata , cum Ostenditur, este D ta a. d. Secundus rassus. Is Ratis perturbata plurium magnitudinum diversum ordinem constituentium tunc habetur, cum penultima est ad ultimam in uno ordine, ut est prima ad secundam in altero ordine; antepenultima ad penultimam in uno . ut est secunda ad tertiam in altero, & sic deinceps , donec prima in posteriori ordine sit ad secundam , ut in priori cst penultima ad ultimam. Sic perturbata est proportis magnitudinum in hac duplici serie a , BC , Da. a , b , e , dSi habeatur M. Btae. d, B. b. e , C. D 2 a. b. Αγguitur ergo ex a uitate rationis in proportione perra1rbata; cum demonstratur, esse DT a. d.
Rationes, qua eidem , veι aequalibus sunt aquales , inter se quoque sum aquries.
6 Ut si rationes - , - aequales fuerint eidem Pationi
173쪽
- , vel rationibus aequalibus - , - , inter se quoque inlua-
les erunt. M namque spectentur harum rationum ex centes,ac eerunt exponentes rationum - , -ae uales exponenti rationis
scuti etiam exponentibus rationum , - a . Ergo exponena e p qtes rationum - , ' erunt etiam inter se aequales b . Ra
tiones autem illa: iunt aequales inter se , quae adiluales ex
nentes habent se . Ergo rationes - , - erunt aequales.
cui una duarum rationum aqualium aqualis est, altera quoque earundem est aquaeis. m a
dem ' aequalis. Etenim Date hypothes, anrantes etiam
n m eduarum - , - erunt aequales.
174쪽
Elatio, mi duar- rotonum asteri a ue earundem lualium aequaru est, aequalis
8 Posita nempe aequalitate duarum rationum - , - , sim a b e dratio aequalis fuerit rationi - , rationi quoque - aequa-
lis erit. Sunt enim ipsarum exponentes inter se aequales. I V. Bistones, qua rationibus i qualibus suas aquales , inur se sum inaquales.
rationi-; fuerit autem ratio - major ratione etiam . O g ς ρ. . g . ratio - major erit ratione . Sicuti namque exponens rationis
175쪽
Si eadem magnitudo daeatis seorsim is aquatis, aμt aequales. per ea dem, vel per aequales multiplicentur, producta, qua hine fiunt, erum aquati . .
8o Eadcm magnitudo a seorsim multiplicetur per arituales b, b, & fiant priaucta ab , M. AEquales itidem magnitudines d, d ducantur in eandem e , aut in aequales m, m, &fiant producta impriori casii de , in posteriori dra , dm .. Dico,omnia hujusmodi producta eine respectiis inter se Euartia, videlicet esse ab α δεα , dm' Idm. Demonstratio Patet quoad omnes. casus ex ipsis terminis,ut jyre Proi de inter axiomata recenseri possit.
Si eadem ognitudo per aqviles seorsim, vel aquales, per eandem, aut pre Maeales dividantur, quoti erunt aquales.
si Magnitudo a dividatur seorsim per. aequales b ,, sitque
tam , - 'AEquales quoque magnitudines L, d divi-b b. ddantur per eandem e , aut per aequales f, L sitque - p,
176쪽
Hae itidem, ut praecedens, ex terminis manifesta est.
Si fuerint quatuor magnitudines geometrice proportionales, productum extremarum erit aquale producto mediarum. 82 Sit a. b z e. d. Dico, productum ad extremarum a tidaequale esse producto-misiarum b, Dem stratia..
Ergo erit quoque eb e)ι Itaque si fuerint quatuor ma gnitudines M. quod erat ostendendum. c O: R O L L A R I U M.
Si fuerint tres magnitudines tantinuo geometrice proportionales , piroductum exstremarum erit aquale quadrato media.
177쪽
que magnitudo media b bis sumatur, erit a. bra b. e, atque adeo ac zz bb a
Si fuerim qua r magiatudines , ex quibus productum extremarum sit aequale producto mediarum , illa erunt geometrice proportionales 84 Sint quatuor magnitudines a, b, c, d, ex quibus productum ad extremarum a. d sit aequale potuino κ mediaru mb, c. Dico, esse a. b a c. L
Esto namque 2 m, - D, adeoque i ta a, O Tre in . Multiplicatis ergo membris aequationis bm zz a per eandem quantitatem d, sicuti etiam membris aequationis dari e per eandem quantitatem b, erit bmita ad , ch se . Est autem per hypothesim ad ri M. Ergo erit similiter bia' inb da; ae proinde Tet i ex Perspicinum porro
a otus autem m est ex hypothesi exponens rationis - , "us nexponem rationis P . Ergo erit a. b zz c. d ch . Igitur fi fuerint quatuor magnitudines M. quod erat ostendendum.
178쪽
c OROLLARIUM. Si furens tres magnitudines , ex quibus producturi extrem rum si aquale qua ato media, erunt illa continuo inter se geometrice proportionales.
8s Erit nempe π: a. b. e, si fuerit ae V M. andoquidem hae cadia hypothesi, erit a. ba ke έ; ac proinde a. b. e. S c H O L I O86 Hisce propositionibus innititur regula trium tam directa,
quam inversa, quae ob usum amplissimum merito optimoque jure aarea nuncupatur. In eo igitur regula trium directa posta est, ut trisau datis mamitudin f, quana mNeriatur ad qMamisa se baleat tertia, ise babet illarum prima ad secundam. Regula vero trium laversa in eo consistit, ut duis tribus m nitu f-bus, quarta seveniatur, exjus ratio ag secundam ab ea πω sit diseris, quam habet earundem prima au uniam.
Dasis tribas anas nisu oes , quartam directe 'πονι nalem invenire.
87 Datae sint tres magnitardines a, b, c. Quartam invenire oporteat, ad quam ua se trabeat tertia e , ut se habet primaa ad secundam λ
Multiplicetur secunda b tertiam si & factum M per
179쪽
Etenim si ponatur - 'd, erit mi Ergo a. b ae. d b, c OROLLARIUM.88 Positis igitur quatuor magiatudinibus Gemediise proportionalibus , quarta aequast quotum facti ex fecunda in tertiam per illarum primam divise; prima vero ἀγHis erit quoto facti ex secunda in tertiam per quartam dmisi.
sc NOLI ON. 89 Hine ostenditur artificium alibi traditum μ' convertendi stactionem in aliam dati nominis. Id enim per inventionem magnitudinis , ad quam ita se habeat denominator fractinis quaesitae, ut se haut deaominator fractionis datae
Dauis trisus magni dissius, quartam reciproce proportio lem inruenire. so Datis tribus magnitudinibus a, b, e, quartam invenire oporteat, quae sit ad secundam b, ut est prima a ad tertiam c.
Factum at ex ductu primae a in secundam , dividatur per tertiam c. Quotus τ erit quarta quaesim.
180쪽
Datu duabus magni dolus mediam Geometrice proportionalem invenire
mediam Geometrice proportionalem in-
Etenim si fiat μῶ erit ara ab, atque adeo Q a. r. b d
Datu dualus magnitudinibus, tertiam Geometrice. WFortionalem in venire. magnitudiuibus a, b, invenire oporteat gerrim Geometrice proportionalem.