장음표시 사용
191쪽
bin aὶ . ens b, . Constat autem, ege. - b taete . Igitur erit bta e d . Eadem itaque magnitudo &α quod erat ostendendum.
Maior magnitudo majorem, quam minor , ad eundem terminum rationem habet ; σ quae majorem ad eundem terrumum ratιonem habet, major est.
Tuesia. II 4 Magnitudo a sit major magnitudinei v.p. . autem ad maguitudinem d reseratur. Dico, . b. d. b . Utraque esse a. d
iis Vicissim vero sit a.d b. d. Dico, esse b.
192쪽
gnitudo tac. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM T. Na fractio est ma ον , euius numerator majorem ad suum
denominatorem rationem habet. a , c
a. b c. d. Enimvero, cum sit - . I 'a . . I ta
e . d e , non potest esse a. b e. d, nisi etiam sit
- - I atque adeo quin itidem habeatue -
c OROLLARIUM ILEractis illa est major, cujus numerator ductus in inerias fractionis denominatorem majas productum ocit. II Fractio nimirum se major erit fractione - , si sinum 5 d .
193쪽
ad ex multiplicatione numeratoris a per denominatorem dmajus fuerit producto is, quod ex multiplicatione numeratoris e per denominatorem b emcitur. Qiandoquidem, si suerit G, erit a. b c. d O . Non potest autem es
sc MOLIO . I 18 Datis idcirco duabus fractionibus dissimilibus , fac Ie erit dignostere, an aequales sint inret se, num vero inq- quales; &si inaequales, quaenam illarum si major.
Eadem magnitudo minxem ad ma orem, quam ad minorem terminum ration- bet . Et terminus in major est, ad q-m eadem magnitudo minorem
Melid IIv Eadem magnitudo a ad inaequales b, e referatur . i. p sitque e. Dieo, esse a. b ma. r. '
Esto namque -- tam , --Igitur erit 3.. v ta c. b
autem Eer hypothesim e m b. Ergo erit etiamd . Quoti autem in , n sunt exponentes rationum
194쪽
Quoniam est per hypothesim a. b M a. e, si ponatur
tεὶ. Ergo erit e Vb, sive, Ο εὶ. Eadem itaque magnitudo &c. quod erat Ost de usum .
Si quatuor magnitudines proportionales sterint , etiam inυertendo, p portionales erunt. ixi Esto a'B. b. Dico, etiam invortendo esse a. ta b. B.
Enimvero cum A. a 'ta. d. bierit Ab ad si . Est autem aB productum extremarum δ, B, de Ab est productum mediarum A, b. Ergo erit a. A b. R gὶ . Itaque si quatuor magnitudines &α quod erat ostendendum.
195쪽
c OROLLARIUM. Bi omni proportinalitate Gremetrica termini eo e. quentes sunt iamlui xxx Eadem enim est ipsorum ratio ad suos antecedem
si prima quMuor magnitudinum majorem rationem habuerit ad secundam, quam tertia ad quartam, facta rnversione, habebis secunda minorem rationem ad Prim , quam habeat quarta ad tertiam. Et vici sim δε prima habuerit ad secundam minorem rationem, quam tertia ad quartam , ratio secundae ad primam major erit ratione qua ta ad tertiam.
196쪽
Demonstratio . . Est enim hoe ipso Ab M aB a). Ergo erit a. M b. Bib . Itaque si prima quatuor magnitudinum &c. quod erat
Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, etiam alte natim sumta proportionales erunt. I 23 Esto A. a 'ta E. b. Dico, etiam ine Udo, esse A. Euella.
Quandoquidem cum sit A. ata B. b, erit Ab π aB c. Facta autem alternatione, est adhuc productum extremarum , &-, si ve Ba est productum mediarum . Ergo erit A. B-b cd . Itaque si quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM Lὸ Partes similes duarum magnitudinum sunt disse inter se, ut ipsa magniturines. I 16 Nimirum si magnitudines a, b fuerint partes similes aliquotae, vel aliquantae duarum magnitudinum A, B, eam partes ipsae rationem habebunt inter se, quam habent ipsae magnitudines. Cum enim per hypothesim sit a . 'Atab. B e , erit etiam a. b α A. B f).Z COR O
197쪽
c OROLLARIUM ILA Pa. io Mais sani disine inter se , ut partesiisaram simules.
I 17 Demonstratio eadem est cum praecedenti. c O R O L L A R I U M III. Si prima quatuom magmtudinum mport-alium sierit aqualis , vel ma r , aut minor tertia, etiam secunda erit aequalis, vel mi or, aut minos quarta. Similiter si secunda fuerit aqualis, vel major, aut minor quarta, etiam prima eris aqualis vel major , aut minor tertia. tia tam nempe analogia a. brae. d, si fuerit a me, vela M c, aut a Mc, erit etiam ba d, vel L aut b Q. d. Si
Si prima quatuor metnitudinum majorem ratiouem habuerit M fecundam , quam tertia ad quartam, erit alternarido ratio prima ad tertiam major ratione fecunda ad quartam. Si iliter β ratis prima ad secundam minor fueris ratione te tia ad quartam , erit quoque ratio prima ad tertiam minor rarianae secunda ad quartam.
198쪽
IIo sit vero meo, itidem Hiemando, esse iacB.
Demonstratur taem modo. Habetur enim Me ipla Ab Mas ses; ac proinde via. b so. Itaque si prima die. quod erat 'stendendum.
i3 i Videlicet si latat-a Bh de a n b, erit B. Si Vero fuerit A. a a- erit α B. Facta namque hypothesi, ut sit a B. erit etiam M. B a. b e . Ratio autem termini a ad terminum b est ratio ariualitatis per hypothesim. Ergo ratio termini A ad terminum B erit ratio majoris inaequalitatis ); ac proinde erit . B. sim,
199쪽
Si quatuor Magnisadives proportionalis fuerint, etiam compositae proportionales erunt... Esto A. a zzB. b. Dico, etiam eo mendo, esse-
Cum enim sit A. a T B. b, eris Asb T B ain; ae propterea eris etiam Ab-ab zz aB-- ab sb . Est autem orb-al pro- ductum extremarum Α- a, b, dc ass-- ab est productum in diarum a , B-b FH. Ergo erit A --α a za B-b. b so. Si quatuor itaque magnitudines &c. quod erat ostendenduin . .
Si prima quatuar magnitudinum mallorem rationem habuerit cundam, quam tertia ad quartam, etiam componendo , primaeum fecunda majyemra embabebit ad secundam, quam ιtertia simul eum quarta ad quactam. Similiter si ratis primae ad secundam minor fuerit ratione , . '--τertia ad quartam, ratio itidem primae eum fecunda adsecundam minor erit ratione ter tia cum quaeria ad quartam. ν,ννει Esto A. a B. b. Di O, etiam eo Onendo, esse A. a. a . I. u.p. B-λλ
200쪽
Coi sest eum praxedenti. Erit enim Ab aB o , ae proinde Ab-ιὰ MaB-- ab id . Igitur erit quoque A a. akB--λ b se P. Itaque si prima &c. quod erat ostendendum.
Si quintuor an itudines proportionales fuerint, etiam dra D proportionales erunt. ias Esto Dico, esse A a. ata B--λλ
' itenim cum sit per hypothesim A. a T B.b, erit. Ab asae proinde Ab - ab M a B ab fg . Constat aurern,Euellaeb-ab esse productum extremarum s a, O,&aB-aia esse' productum mediarum ι B-b th). Ergo erit . a. a B P. b si . Itaque si quatuor magnitudines &α quod erat ostemdendum.