장음표시 사용
201쪽
Si prima quatuor magnitarinum maliorem rationem habuerit ad Iecundam, quam tertia ad quartam , etiam distrino , h. bis mi- -έον- να-- ad sora - , - ad quartam. Similiter si ratio prima ad secundam n nor fuerit rati- renia ad sp nam , etiam d videndo, ratio primae ad secandam mirior eris rat se lenia ad . - .
Ostenditur eodem modo. Nam eum propter hypothesim si Ab M a B te , adeoque Ab - ab V aB - ab ci ; sitque a b, quemadmodum vim aB-- Q. et 'a κ
202쪽
Si quatuor magnitudines proportionales fuerint . etiam tam posita per conversionem rationis proportiora s erami. I 38 Esto A. ata B. b. Dico, etiam eomponendo per conversionem rationis, esse A-a. AI
Cum enim propter hypothesim sit Ab T aB sc , erit etiam Ab-ABza aBM AB id). Est autem Ab -- productum mediarum est productum extremarum γε- a, B te . Ergo erit .a-- α ιἀπ B - λ B is . Itaque si quatuor magnitudines M. quod erat Ostendendum.
Si prima quatuor magnitudinum majorem habuerit rati em ad secundam , quam tertia ad quartam, componendo per conversitanem rationis, Prima cum secunda mi rem rationem haerebit ad n mam, quam tertia eum quarta ad tertiam. Si vero ratio Priama ad fecundam minor fuerit ratisne tertia ad quartam , eomponendo per conversi em rationis, ratio prima cum με da ad primam majoν erit ratione tertia chm
203쪽
I o sit vero A. a MB. b. Dico, componendo per eonversionem rationis, esse A - a. A B --b. B.
Coincidit cum praecedenti. Quandoquidem cum propter hypothesim habeatur Ab M aB H; ac proinde aB -- ΑΒ Ab- AB M , productum extremarum Α- B majus erit producto mediarum A, B --b. Quamobrem erit Α--a. Α B- b. B g . Itaque si prima M. quod erat ostendendum.
Si quatuor magnitudines proportionales fuerint , etiam disiasa per eonversionem rationis proportionales erunt. I I Esto A. a ' B. b. Dico, etiam dividendo per conversi nem rationis, esse δε - a. Α Β - b. B.
Cum enim sit A. ata B. erit Ab AE th ; ac propterea
204쪽
atque adeo productum extremarum δε B aequale producto mediarum A, B - Ergo erit quoque Α - a. Ata B B te . Itaque si quatuor magnitudines Sc. quod erat ostendendum.
Si prima quatuor magni dinum majorem ratimem habuerit ad secundam, quam tertia ad quartam, dividendo per conversionem rationis, exesus prima supra secundam habebit majcirem rationem ad primam , quam excessus tertia supra quartam ad tertiam. Si vero ratio prima ad secundam minor fuerit ratione tertiae ad guartam, excessus primasuprasecundam habebit minorem rationem ad primam , quam excessus tertia supra quartam ad tertiam.
205쪽
M ae proinde ΑΒ-au α ΑΒ - Ab in . Constat autem , esse ΑΒ - aB
si fuerint --unque ma itu es proporthmatis , summa mum antecedentium eris ad summam omnium consequentium , ut una ex antecedentibus ad unam ex consequentibus. pmportionales, vid
206쪽
suerint quotcunque magnitudines &c. quod erat ostendendum ac o R O L L .A R I U M. Si duabus magnitudinitas duae similes magnitudines a dantur , Iumma , qua hinc emergunt, erunt, ut data magnitudines.
1 s Ut si magnitudines a, b similes fuerant duabus A, B, erit A-a. B--b. V Etenim, cum per hypothesim sit .ae. B a a. b b , erit quoque . - a se B te .
Si prima quatuor magnitudinum majorem rationem habuerit ad Iecundam, quam tertia ad quartam, sum recedentiam minorem rationem habebit ad summam consequentium, quam prima ad secundam . Si vero ratio prima ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam Jumma graec dentium majorem rationem habebis ad summam tam sequentium, quam babeat illarum prima ad secundam.
207쪽
Coincidit cum praecedenti. Quandoquidem stante hypothesi, erit Ab m aB d); atque adeo Aa -- Aa e). Igitur erit quoque Α--B. a. b , A. a cD. Itaquesi. prima quatuor magnitudinum Sc. quod erat ostendendum.
Si fuerit , ut tota ad totam , ita ablata ad allatam erit etiam reliqua ad relιquam, ut est tota ad totam. ei id. Iq8 Magnitudinibus ιε, B demantur partes a, b , sitque i Ama. b. Dico, esse A a. B - b A. B.
Etenim ob hypothesim erit Abra Ba g i ac propterea AB aBm aB-bA h . Est autem AB aB. productum cxtremarum B , dc AB-b A productum mediarum B b, A, ut patet. Ergo erit A a . B-b A. B i . Daque si sueris &c., quod erat ostendendum.
208쪽
c O R O L L A R IU M. Partes similes a Dir totis sublata relinquunt paries similes. 1 9 Partes enim similes duarum magnitudinum sunt directe inter se, ut ipsae magnitudines, quarum sunt partes a ii THEO REM A XX..
sti tota ad totam mvorem habuerit rationem, quam ablata ad ablatam, etiam reliqua ad reliquam mastorem rationem h bebit, quam tota ad totam . Si vero ratio totius ad totam , minor fuerit ratione ablata ad ablatam, reliqua ad reliquam minorem rationem habebit, quam . tota ad totam
I so Magnitudinibus M, B demantur partes a, b , . B a. b. Dico, esse La -a.. B- A. B.
209쪽
i s o Elementorum Demon tratio.
Namque ob hypothesim erit -- a , adeoque Act- aB V AB -bA b . Igitur , cum sit AB - aB productum extremarumοῦ, & ΑΗ - bA productum mediarum , erit Α- a . B -b QA. B c . Itaque si tota &c. quod
Si fuerint quatuor munitudines geometrice proportionales , disserentia arueredentium erit di mentiam conse --tii , ut quavis antecedens ad suam consequentem. sv Sit A. ara: B. b. Dico, esse Α - B. a - b A. a B. b.
Quandovident, cum sit A. a b, erit Abra aB d ;&ideo Aa -- μα - - e . Est autem Aa - Ba produstum extremarum,& Aa in productum mediarum. Ergo erit Α - B. a- b A . a i 0; ac proinde etiam A - Β.a- b B.b g ; cum sit per hypothesim A. m B. b. Itoque si fuerint &e. quod erat ostendendum.
Si fuerint tres ninnitudines triuin aliis proportionales, disserentiae priorum erunt proportionales differen- . tiis posteriorum.1 3 Tres magnitudines Α , B , C proportionales sint
tribus a, b, e, esto nimirum A. B: a. b,&B. CV b. c. Dico, itidem esse Α - B. B- C et a - b. b. c.
210쪽
Si tres maquales malvitinimes per eodem misit si enuur , disserentia productorum erunt iηter se , ut disseremia ipsarum magniodinum. is Ut si tres inaequales magnitudines a, b x e mustiplicatae fuerint per eandem quantitatem r,& fiant producta ar, is, cr, erit ar -br. ω - er zz a - b. b-- e. Est enim M. D ta a. b, dcis. ποῦ b. e e . Igitur erit quoque ar- is. ω - ποῦ a - b. b - e D. c OROLLARIUM II. Si tres inaequales magnitudines per eandem dividantur , quotientium disserentia erant inter se, ut disserentia sarum magnitudinum. 1s Divisis nempe tribus inaequalibus magnitudinibus a , a bb, ς per eandem quantitatemd, ita ut sit