장음표시 사용
41쪽
LIBER PRIMUS. De perspicuis corporibus.
Definitiones. 4N I A M, ut ait Euclides , si in vas aliquid Aminiectum sit,aecepto interuallo, ut minime spectetur , infitia in vas aqua , iniectum spe - ctatur; existente vero visu in aquam perpen dieulari, aqua ipsa eiecta, iniectum adhuc per eandem spectatur visualem lineam, ideo supponimus. Supposita . . I perpendicularem radium in diaphanum recte procedere; ωbliquum vero versus perpendicularem frangi. a Radios aeque inclinatoriaeque frangi; magis vero inelin
3 Multiplicato angulo inclinationis, angulum quoque stactionis aequaliter multiplicari. 4 Rem apparere in loco concursus radii visitatis recti eum ea,quae ab re ipsa iti planum diaphani,sierpendicularis pro-
Quod per diaphanum planum transparet,maius quam sit ac propinquius videtur,& eo magis, quo propim pia no diaphani. E- per diaphanum enim planum ΑΒ tran areat longitudo quaepiam C D per radios sta' A v ctos E A C, & E B D, & producantur in rectum n radii E A, & E B, donee eum ipsis C F, D G ad 'planum A B perpendicularibus concurrant in ignis F, C; apparebunt signa C D, in signis in FG per ultimum suppositum . Longitudo ergo C ---C D, quae absque diaphano sub angulo C E D,
42쪽
appareret,nunc ad angulum FEG, maiorem spectaturivi inaterminis FG. Quare maior,& propinquior.
Si oculus intra diaphanum aliquod aliquid extra ubdeat, minus ac remotius id spectabit.
Intra diaphanum A B, oeulus E spectet rem se C D extra existentem per radios E A C, E B D. fractos in A, B, fignis a perpendicularibus per c50 uersionem primi suppositi, & producantur in rectum radii E A, E B, donec ipsis C F, D G ad planum A B perpendicularibus occurrant in signis F, G, & apparebunt signa C D, in locis F, G, per ultimum suppositum. Res ergo C D, quae absque in diaphano sub angulo C E D appareret, nunc sub T ipso F. E G minori, & in loco F. G, spectatur.
THEOREM A PII. Potest aliquid per fractos radios videri, quod per dis
rectos non appareat. Facile enim hoc ostenditur, quod tune eontingit, eum o staculum aliquod rectum dumtaxat visualem intercipit radium . quam quidem experientiam ad supposita firmanda af
Contingit propter radiorum fractionem unum 1 pIura videri .
I Disponatur enim diaphanum quodpiam ABCDE, habens tria plana B, C, D, depressa ad planum A E, I a cuius partibus ponatur oculus F; ab oppositis vero ponatur res visa in signo Gi tune enim per tres radicis I stitieet F G rectum , MFΑBG,&FEDG singulos utrinque fractos, trinae ipsius rei G, imagines ipsi oculo F reddentur. Verum talium imaginum, media quae per rectum spectatur radium, in proprio quil dem loco ; exterae extra locum spectatae rei areare .u bunt T HE
43쪽
Si quid per diaphanum parallelepipedum tran areae, linea visuali orthogonaliter plana persorant per ipsemetrectam lineam speetabitur: secus vero, non per ipsam, sed per radium utrinque fractum ad aequos inclinationis augulos,& ideo extra locum rei, e r. Prima huius theorematis pars ex primo supponto satis patet. Ut autem reliqua palam fiat, sit c diaphanum A B , habens plana Α Β, parallela: oculus autem C; S: specta tum D. & ducatur C D radius ad ipsa A B, plana inclinatus; dico ipsum D non per ipsam C D lineam videri, sed per radium C A. B D, fractum in Α,& B; ita vi A B ab ipsa C D bifariam secetur in Ε, atque ipsi inelinationum anguli sint inuicem aequales: si enim aliter enset,oporteret aut perpendicularem radium frangi; aue ex uno plano diaphani, plures unius rei videri imagines. Cum ergo D appareat per lineam C A, B D, iam extra proprium loeum
Si diaphani plana parallela non erunt, fiunquam res per lineam speAabitur directam , sed per radium utrinque ad rectos fractum angulos. Per rectam enim lineam spectari non potest; quandoquidem rectam aliquam utrique plano perpendicularem esse, impostibile est. Per diaphanum igitur A,B, cuius pla. V Ina non aequidistant, signum D spectabitur per radium XC A B D; in A & B, ad aequos inclinationum angulos Dfractum . Nam si D, per lineam plano B perpendicu Iarem,& in plano A fractam, aut e contrario appare retr eadem ratione per lineam ab oeulo C plano Aperpendicularem, & in plano B fractam , aut conuer. fum videretur. Quare ex uno diaphani plano vnius rei v Iduo viderentur simulacra. QSod est absurdum.
Hine manifestum quod ea qui per planarum superficierum divhana traspareat, nunc in rebitudine, nune altiora, nunc. E inse-
44쪽
inferiora, nune dexterior nuc sinistriora,quam sint,videntar, pro Uarietati nimirumstus diaphani, ut nunc perperpendie larem,nune per obliquum radium 'uritur, ere.
Si quid rectum partim intra diaphanum,partim extra, atque ipsi plano erectum ponatur; pars interior breuior .quam sit,sed in rectum reliquae apparebit.
Vt si diaphano A B, bacillus rei ius C D, ipsi plano A B erectus sit: parte A D intra diaphanum, reliqua a Z vero extra existente: Ab oculo E videbitur signum D; -per radium fractum FB D, & apparebit per ultimum stippositum in signo F, ubi radius E B ipsi D F, in
planum diasaani occurrit. Qitare A D, apparebit sub mensura Λ F breuiore, & in rectum ipsi C Α. Ex qua quidem experientia liquet, rem in loco concursus radii eum perpendiculari apparere,sicut extremum suppositum volebat.
Si rectilinea res fuerit plano inclinata ag
I & breuior,& fracta spectabitur.
. Vt si C D, fuerit inelinatum,tune ducta per- pendiculari D F donee ipsi E, B, oecurrat in F; γ apparebit signum D in F, & ideo portio A D. Y . apparebit sub terminis A F, & ideo breuior , at fracta in signo A. Patet ergo propositum.
THEO REMA IX. Si quid intra diaphanum planae superficiei per fractos
radios cernatur, id ab inclinatiori oculo plano diaphani propinquius spectabitur. Intra diaphanum A B, signum C spectetur ,- per radium fractum D B C, sitq. loeus appari-Z tionis per ultimum suppositum P signum Α Ε, M in B D radius in reiam protractus perpe
'' di lari C A, oecurrit. Spectetur etiam idem
C per radium fractum G F C, inclinatiorem ;κ dico quod concursus ipsius G F cum perpendiculari C Α, fiet inter signa E, A, ut in signo H ;& .ideo signum C ab oculo G spectabitur ipsi plano
45쪽
lano A B vieinius quam ab oeulo D. Si enim o F ipsi C A.
in signo E. aut inter figna C, E, Meurreret , tune angulus i elinationis A E B, angulo inclinationis Λ C F, minorisortire. tur angulum fractionis E B C, maiorem angulo E F C,que in angulus inclinationis A E F sortitur. inod quidem e et eonistra secundam partem secundi iuppositi. quod autem angulusu B C, maior sit angulo E F C, facile pateret si ipsi triangulo
E B C eirculus eircumscriberetur; tunc enim angulus E F C , extra periferiam relictus, angulo E B C minor esset, ut per a Giij. Elementor. luce clarius palam fieret. Multo magis πια eadu radius G Fprotractus Ua gnum E; quia multo maior fleret anguIus E BC, stactionis angulo. Uidentur autem mi amuli inchnationum, qui ni a dys rectis cum linea perpendiculari: ita enim sit si magis ines natus maiorem faxiat angulum;quamuis angulus inei Bia, qui ab eodem radio cum plano diaphani At, minor sit. Ita quoque sumtu angulus inctinationis insequenti,M.
Haec ergo ratio est, quod aliquid in fundo vasis aqua pleia positum,spectanti, ac paulatim sese inclinanti, spectatur magisae magis sublime fieri.
Anguli inclinationum sunt fractionum angulis proin
portionales . Vt si in plano diaphano A B, suerint duo inclinati radii C. D, quidem ad lignum G; at E F ad signum H fracti versus ipsas Α Κ,& B L perpendiculares, sicut primum vult suppositum; erit sicut angulus D Α ad angulum P B L: sie angulus G A I , ad angulum H B Li fiant enim radi j M A N, 8c o B P ad signa R, fracti, ita ut ipsi N A A,& P B L anguli sint ip- Ksorum D A I ,& F B L angulorum utcumque a multiplices; & tunc erunt per tertium sup- D Gpositum) anguli N A R& 'B R, ipsorum D A G, & F B Η angulorum similiter multipliees. Sed per secundum suppositum si angulus N AK, maior est angulo P B L; angulus quoque N Ammaior eris angulo P B R; & si minor, minor;& si aequalis,aqualis: ergoser aefinit. proportionalium E a quan
46쪽
quantitatum, erit sicut angulus D A K, ad antulum F B L; sie angulus D Α G, ad angulum F B in quod erat demonstrandum. Vnde quando maximus inclinationis angulus est recturi iam de angulus maximus fractionis in diaphanis habebit unius
recti tres Octauas. Corollarium .
Ergo & angulus inclinationis a. angulum suae fractionis' semper unam seruat ratione. Estq. dupla & duas tertias super- paties.sicut experimento in chrystallina sphqra probauimus.
Dum inclinatus in perspicuum planum radius deprimitur: fractus intra ipsum diaphanum eleuatur.' Vt vin diaphano A plano, inclinatus radius B A C ad signum D stadus incidat, qui deinde depressior fiat, utq. E A F; dico quod frangetur ad signum G. erit. ξ que ipse fractus radius A G, eleuatior ipso A D. Sit enim in planum A perpendicularis Α Η, & erit per praecedens liseor, sicut angulus C Α Η ad an .gulum F Α H r sic angulus C A D, ad angulum C A G. Qnare per r9. quinti e Iementorum , erit sieut angulus C A H ad angulum F A B: sie angulus D Α Η ad angulum G Α Η: minor autem est angulus C A H ip F Α Η. ergo & ipse D A H, minor erit ipso G Α Η. Quare Λ G radius eleuatior erit quam Α D, quod est propositum .Hας propos similis viritu propytioni p. Ubi mensum ea rem ab inelinatiori oeulo propinquiorem diaphano spectari,ncmpe perfractum radium magis eleuatum , quo incidens raditis est magis depressus.
Transeuntibus per diaphanam sphaeram tribus paralle
lis radijs, uno per centrum, reliquis autem praeter cen trum; qui per centrum,in rectum transibit; at ei propinquior frangetur,ad ipsum tamen non perueniet: reliquus quoque frangetur , sed alterum s actum nequaquam is continget. Esto perspimus orbis A B, centrum C, per quod transeant tres paralleli radii A Bler e trum; D E F, autem,& G Η Κ
47쪽
praeter centrum; Aio quod A B non frangitur; sed D E frangetur, & fractus ad diametrum Λ B noria perueniet, sed ad sighum L inter signa F B. Ips quoque G H frangetur, fractus autem ad E L non veniet, sed ad signum M inter ipsa Κ L signa. Quod enim A B non Dangitur per primum suppositum satim patet.Quod si E L ipsam A B secaret,vel ad B signum perueniret, tuc ducta diametro E N,angulus F E N, qui a radio recto, & perpendiculari Comprehenditur,ad angulum fractionis F E L, aut duplus esset, aut minor, qua duplus per et s. iij.quod est falsum. Duplus quid essetfradiusfractus ad B perueniret, quia tune areus F N ad arcum F B duplus esset. minor Oero , quam duplussi Curearet, . Nam per Corollarium deci-mς angulus inclinationis ad angulum fractionis est sieue g. ad 3. Et si H M ad ipsam E L perueniret, tunc anguli inclinationum L E N, & M Η Ο, ducta ipsa H Ο, differrent in angulo , qui consistit supra areum N Ο, aut minori; anguli autem fractionum F F L,i& Κ Η M disserrent in angulo,qui eonsistit supra areum K F; & ideo in angulo in quo disserunt anguli in- .
clinationum propter aequalitatem arcuum K F, HE, id est N Ο, aut minori. Sed anguli inclinationum, sunt per deeimam stactionum angulis proportronales. Ergo dis retia maiorum est aequalis ditare tig minorum, aut minor,quod est impossibile. oportet. n. vi maior sit disserent ia maioru, quam sit d flaretia minorum,quod per I9. quinti facile ostenditur. Destruelix erisso oppositis,uerum est propositum.
Progredientibus a signo quopiam extra sphaeram,per qu. im ipsam perspicuam sphς-
ram transeuntibus tribus radijs,vno peris trum, reliquis autem praeter centrum ; qui per centrum,non frangitur; franguntur vero reliqui; at nullus eorum alterum conti git, aut secat. Sit pellucidus orbis AB,& a signo D extra sphan am procedant tres radij; D A B, per cen-uum Q at D E F, & D G Η praeter centrum i
48쪽
dieo quod D Α Β non frangitur, sed D E, & D G Dangetur erunt q. E Κ, & G L. Neque aliquis ipsorum Α Β, Ε Κ, G L.
alterum continget. Quod quidem non aliter demonstratur, quam in praemissa; & eo sortius quod hic disseretia angulorum inclinationum semper minor erit, quam differentia angulorum fractionum propter areum G E minorem ipso H F. ductis prius E M, & G N diametris.
Si quid diaphanae sphaerae immersum spectetur, maluequam sit, di eo maius quo spectatum ad oppositas sphae
rae partes magis accesserit,apparebit. , Sit enim inter pellucidam sphaeram A B loa-gitudo quaedam C D; in quam ab oeulo extra is sphaeram, E,procidant radij E A C. E B D fracti in A, B . Item recti E & E D; videbitur ergo vera rei quantitas sub angulo C E D; perfractos vero radios sub ipso A E B. Ergo maior ram sit. Producantur adhuc ipsi A C , B D,ad ligna F, G, in sphaerae superficiem,qui quoniam in angustum tendunt, efiiciunt ut longitudo breuior ipsa C D, inter signa C F, & D G terminata adhue per eosdem radios, ideoque sub eodem angulo Λ E B spectetur. Ergo sequitur, ut ipsi CD aequalis sub maiori appareat angulo, sicut H Κ, quae per radios E LAE M M atque sub angulo L E M, ipso A E B maiore cer
Sehorion. Contingit tamen, eum rady F, ct EG paraia Munt, ut I ctatum quamuis aecedat, ct Needa semper suberem Pectetur ammis, gina per easdem lineas. Cumq. ydem . . Iracti ro6 in amplum proredunt, sit ut remotius mimo appa reat. Sed hae in oculo ta pharae propinquo accidunt,ut ma-3orsis ratio anguli,quis is fracto,ct ea,quae a centro com zebenditur, ad an iam fractionis; quam ratio ipsus oeuli asst,raesuperflete distantis, adllba semidiametrum.xuodperas. theorema patebit.
Quod per diaphanam sphaeram transparet intra radio eum congressum, maius vero, quami inter sphaeram eΓ'
49쪽
- DIAPHAN. LIA. I. as tin eo maius,quo ad signum congressus propius acces
serit, spectatur, & in vero situ. Extra vero congressum protinus omnifariam conuersum apparebit ;& prope, congi essum quidem, maius quam sit,ac recedens minus, de eo minus,quo longius recesserit. Esto perspicuus globus Λ B C D, spectatum E F, oeulus ad
partes oppositas G. qui videat rem per radios GACE,&GBDF, qui franguntur tam ingredientes, quam egredientes, ncut primum Iuppositum, & eius conuersio postulat: & concurrant C E, & D F, ad unum H ; Tunc enim res E F; quae sub angulo EGF, videri solet, ad
angulum A G B, vero maiorem cernetur. Et
quoniam spatium X L, inter ipsas Λ E, D F lineas,ipso E F maius, ad angulum sub quem , ipsum E F spectatur,ideo M N ipsi E F aequat sub minori spectabitur ansulo. Et quia ipsum o P, signo H propius, & ideo ipso E F minus, ad angulum sub quem ipsum E F,cernitur, idebipsi E F aequale sub maiori apparebit angulo. Producantur iam ipsi CH, & D Η, radia, sitq.
extra concursum longitudo S T, tunc ergo S, signum per lineam G A; T, vero per GB radium transparebit. ipsum ergo T S conuersum videbitur,ac maius vero, donee T G & G S veri radii inter ipsos Λ G, G B, fractos consistent:cxistentibus autem veris,& fractis ijsdem, sub vera magnitudine apparebit. Et quoniam V X, ipso S T a congressu remotius ac ideo maius, eodem quo ipsum ST spectatur angulo, ideo T Y, ipsi TS aequale, sub minore apparebit.
Patuit ergo rati,quare per diaphanos globos iras arentia inter congressum , sicut sunt; extra vero supreina, infima Iae dextra,sinistra spei tantur:& cur quantitas etiam vacietur. Sehesion . Sis aliqua per diapbanum orbem transparent. κDeus in quo res videtur,esAgnum, in quo radius ab oculo progrediem,ei,quaper centrumstbaerae ad rem visam producitur , occurrit cui quartumsuppostum continet. em quidem con 'rursumnum inter Mutam, Isthaeram; ne intra i am sua-b
50쪽
-π,nunc ad oppostaspartes fieri rentingit. Ex quo seris p Qtet spectata rei Deus. Sed ne linearum multitudo con οπια parias, tales radiorum incidentias praetermittimus.
Postis intra pelluc dam sphaeram duobus parallelis radiis a centro aeque remotis; in egressu frangentur utrinque atque in ijsdem signis, cum axe sibi pararuleio concurrent:signis inquam utrisque a sphaera aeque
remotis. In sphaera enim Α Β D,paralleli radii AC,B Dutrinque ad figna scilicet A B.& C D,per primu
suppositum frangentur,& ideo cum axe E F,sibi parallelo ad signa G. H,ambo concurrent. Cum enim A C,& B D,a cetro aequedistent,ideo squeasphaerae superficie inclinantur. quare per secundum suppositum, aeque franguntur. Ex an8ulis igitur portionum,dcrectilineis aequalibus facile
ostendetur A G E, & B G E triagula ad inuicem aequilatera, & ideo G E latus etia utrique cc mune. Similiter & ipsa quoque C H F, S: D H Ftriangula esse , & ad inuicem, & ipsis AGE, B G E eriangulis aequilatera. Quare fiet ut Λ & B G, ad ipsum quidem G, signum; ita ipsa C Η, & D Η, ad ipsum H eommune signum concurrant, ae . que ipsae G E, & F H distantiae sint ad inuicem aequales. Idem etiam protractis diametris A D, B C, sese in centro K seeantihus,ex triangulis ΛGI , BG Κ, CHI ,& DHK, propter angulos fractionum aequales, aequilateris facillime demonstrabimus.
Radij vero intra sphaeram transparentem a centro ab que remoti, qui paralleli non sunt, ad idem utrinque signum cum sphaerae diametro a fractionum terminus aemquedistanti concurrent; & signum congressus a partibus ad quas radii, qui intra sphaeram in arctum conueniunt,