Medicina mentis, sive Artis inveniendi praecepta generalia E.W.D.T.

151쪽

iio ME Daci NAE MENTI sdium scilicet AB conferri posse cum A G, quatenus nimibrum alicubi motum suum sistit, vel ad perpendicularem , FA, vel ad rectam AD , quae

eandem rectam cum AB coimstituit: originem inde, juxta prius, ducit

7. Axioma, angulum B AFaequari angulo FAD; juxta posterius vero 8. Axioma , lineam B D, quae diameter dicitur, per centrum A transeuntem, semper duplam esse radii M. ANque ita alia adhue possent obiervari. Si quis eadem ratione in Mathesiuniversali, de qua supra, consideret primo quantitatem in genere, tunc, quia .mnia in Mathesi reducuntur ad aequalitatem, qua, tanquam simpliciori conceptu, omnes etiam inaequalitates facile d inde advertimus, porro quantitas considerari poterit, vel in se, tanquam fixum quid, nullam patiens variationem , vel in se, ut mobile quid , patiens aliquam variationem, vel denique, quatenus reipsi quasi movetur, seu rerum n vanum generationes efficit, hoc est, prout cum aliis quanti talibus comparatur ; Si quis haec & s milia consideret, tria primaria totius Matheseos haberi axiomata observabit, 1 quibus omnia, quae in concluduntur, unice derivantur. Horum imum est, omnem quantitatem sibi esse aequalem. Unde patet, totum suis partibus simul sumptis aequari. Et nim totum & omnes partes sint eadem quantitas, quae is

circo sibi ipsi aequalis est. Hinc sequitur : si totum omnibus suis partibus est aequale, ipsum etiam quibusdam saltem esse majus, hoc est, totum sua parte esse majus, aliaqu id genus.

a.dum

152쪽

qualium aequaliumque operationum in alias transformari quantitates non minus aequales. Unde sequitur, si aequalibus aequalia addas , vel ab aequalibus aequalia auferas, vel aequalia per aequalia multiplices, aut dividas &c. producta i ta etiam fore aequalia. Quae eidem aequantur, inter se quoque aequari. Hinc clarum est, ea, quae ejusdem dupla, tripla &c. aut sit dupla , subtripla &c. sunt, etiam sore inter se aequalia. Patet autem, plura his tribus axiomata non dari, nec pluribus opus esse, tum a priori, cum quantitatis cum aequalitate in genere consideratae, ut modo dixi, non plures dentur relationes, tum a posteriori, per Analysin speci sana. Omnia enim theoremata, seu quicquid in Mathesi absconditum est, nota fiunt ope aequationum ejusdem An lyseos. Est autem aequatio talis, in se considerata absque

ulla variatione, nihil aliud, quam quantitas eadem diveris modo expressa, ac proinde per axioma primum sibi ipsi aequalis ; adeoque quanibet talis aequatio est primi hujus axiomatis asseveratio. Deinde omnes variationes, quas eadem subit aequatio , cum aliqua ex quantitatibus ad alteram a quationis partem reducitur, nihil aliud sunt, quis affirmatio continua secundi axiomatis. Denique, cum eaedentiquantitates ex diversis aequationibus sic ad alteram aequationum partem redactae inter se aequantur, indeque novae aequationes exoriuntur, quid hoc aliud est, quam tertii axiom tis applicatioὶ Quum vero ex solis hisce tribus aequationum operationibus, ut Algebrae peritis notum, omnia ex quibuslibet subjectis eruantur theoremata, hinc vel a posteriori manifestum est, seu ipsa experientia comprobatur, non plu- ribus, quam tribus his ipsis, nos indigere axiomatibus ad occulta quaecunque in Mathesi determinanda, utut maxime simplices, seu nullius momenti veritates primo intuitu esse videantur. Nec ergo mirum est, omnia Matheseos adeo

153쪽

herspicua eci, cum tam mani stis, tamque paucis cuncta ita perstruantur axiomatibus. Spero itaque me , ut praece Aptis , ita exemplis satis declarasse, qua ratione axiomata sint invenienda , circa quae denique quam optime notandum, niaximi interesse, quo ordine ea, si nempe his opus habemus, deducantur. Etenim hic definitiones haud adeo compositae, quὰ nimirum pauca elementa in sua generation requirunt, priori Ioco simi considerandae, ut ita u simplucioribus ad magis compositariun rerum cognitionem gradatim progrediamur. cinsectata Ex his omnibus patet 1. Licet ejusmodi axiomata, m

i ve, ut ab aliis appellantur, communes notiones, vel aete nae veritates, non semper ad certum redigi queant num

iram, da quod dissiculterinprimis peragitur, si definitio ad-

inodum compositam generationem habeat; ea tamen, ubi de iis cogitandi se offert occasio, non posse ignorari. Sunthnim omnibus, e quibus oriuntur, definitionibus sic ines sa, ut unice ab iis dependeant. Si itaque circa alicujus difficultatis enodationem ad illas definitiones attendimus, non possunt non axiomata quoque, cum usu veniunt, nobis esse manifesta.

r. Patet, hoc ipi nullam amplius de axiomatibus f

re disputationem, qualis antehac erat, quando definiebantur ea, quod essent sententiae omnibus manifestae: item tales, quae a nemine possent in dubium Vocari: cum tamen saepe fieret, ut quaedam a nonnullis tanquaria nota assum rentur, quae ab aliis pro talibus non agnoscebantur, verum potius ut dubia rejiciebantur. Nam si axiomatum veritas

a solis pendeat definitionibus, dato aliquo axiomate, illico definitiones, quae ingrediuntur, exhibendae erunt. Si igitur istae definitiones, juxta superius tradita, validae suerint, . non magis de axiomatibus, quam de ipsis definitionibus, ex quibus ortum suum duxere, erit dubitandum, adeoque illa aeque manifesta erunt, ac hae. Si contra desinitiones minus

154쪽

PARs fricu NDA. Irtiuerint probae, verorum etiam axiomatum vicem supplere . non poterunt. Atque ita habebimus genuinam normam accurate examinandi, quaenam in axiomatum numemm po sint referri, quaenam non. Ut taceam, has definitionei, nimirum axiomata esse sententias omnibus manifestas, nublius esse usus, cum neutiquam ostendanti unde no eydem proprio Marte invenire queamus, quod tamen ex supra πρditis mox obvium est. 3. Patet quoque hinc, qua ratione non necessaria declinentur. Quod fit, si alia non assiimantur, quam quae ex definitionibus originem ducunt, & ad rem quandam tractandam necessario requirantur. Sic multi hujus rei igna ri, quo sibi de re quadam scientiam aliquam parent, pe multa primum talia coacervant axiomata, quae tamen, an sibi usui sint latura nec ne, plane ignorant. Alii vero no quidem alia, quam quibus ad suas demonstrationes usi sum runt, in catalogum reserunt, haesitant tamen, annon alia forte dentur axiomata, quibus res melius ac expeditius do. monstretur. Nesciunt utrique, quae solum sint i cessaria quaque ratione, ubi opus, ejusmodi omnia determinand . antequam certae se accingant disquisitioni. Haec autemnania ex hactenus ostensis clare & secure, meo quidem j dicio, addiscere licet. Multa ex. gr. in Euclidis Hementis o currunt axiomata, quae nullibi adhibentur, & quibus nulls tenus erat opus: quaedam recensentur, quorum definiti nes, quae ipsa ingrediuntur, a principio non fuerunt adhubitae : quaedam tanquam theoremata proponuntur, cum tamen mera sint axiomata. Ouantopere vero ab aliis M theseos ignaris hic aberratum sit, ab iis praecipue, qui Archaeologias, seu ejusmodi scientias condere voluerunt,

quibus similia axiomata, seu juxta illos, prima principi

vel omnium scientiarum canones contineant , non sinς

singulari delectatione perspiciet ille, qui & haec pauca a me . tradita probe perpenderit, & nihilominus tamen, per ea a 2 tanta

155쪽

υ MEDi CiNAE MEN Tis. ' tanta confusione penitus liberari se posse, reapse viderit Confido igitur, me etiam hic satis declarasse, quomodo axis omatum ope tali ratione promovenda sit scientia, ut nihil eorum omittatur, quae scitu sunt necesseria.

D. Nὸhisia Postquam ergo omnes rei tractandae definitiones sorinax, ib-: u- mus,easque in se ipsis quoque sipectavimus, ultimum, quod ad

augendam ulterius scientiam esticere poterimus, est, ut ipsas definitiones inter se etiam jungamus. Iunctis ita duabus pli ribusve invidem definitionibus, hoc est, diversis naturis, accui dit,u quae antea separatam constituebant naturam, jam accipiant naturas a se mutuo dependentes ; atque ita accidit, ut inde nova natura, seu novum postsibile oriatur, vel, si in vis, nova veritas. Et has veritates tali ratione deductas imposterum Neoremata vocabo. Sic ex diversa rerum n turalium junctione alia aliaque proveniunt nova. Idem ' etiam in diversis machinis perspicuum est, compositis ex a

liquibus rotulis, quae, prout Varie junguntur, alium atque alium exhibent esseetium. Globus D inno/. plerumquα xi gravitatis per rectam D E versus inseriora ad E tendit:

sed si plano AB Ob

lique ad horigor tem FB inclinato in C jungatur, no

vana tunc conficiet

per CB viam. Curva item AH DK iri n. s. curvae BD Fin D jungatur. Iam ex curvae AH DK. definitione seu ra iura omnes rectae GH, CD certam naturam seu res

156쪽

bebunt. Itidenta, in curva BDF omnibus rectis CD, EF &c. juxta hujus curvae definitionem , certa relatio erit ad omnes re-

Quum vero curvae jungantur in D, natura rectarum AC, CD dependebit tam a natura curvae AHDΚ, quam a nat ra curvae BD F, adeoque novam acquiret naturam, quae ab utriusque curvae natura dependebit, hoc est, novum hinc inde producetur Theorema. Ex tali tradita Theorematum definitione, ipsam e '' rum generationem involvente, facillime colligitur, qua ratione ea sint invenienda. Si ex. gr. in adductis modo e emplis rotarum natura seorsim nota sit, & earum conjunctio, deinde attendatur, tunc e vestigio constabit, quis motus ex ita composita machina oriturus sit. Sic ex natu

ra gravis D , deorsum ad perpendiculum tendentis, iten plani AB, nec non globi D, statim colligitur, ipsum, ubi

ad C pervenerit, per rectam CB esse rotaturum. Nec quoque ignorare poterimus theorema, quod ex conjunctione curvarum AH DK &BDF inter lineas AC & CD ortunia' habet, modo istarum curvarum naturam seu definitionem sciamus. Quemadmodum vero docui omnes definitiones primum acquirere circa priora: ita ostendi deinceps, qu modo hinc omnia axiomata sint derivanda. Quodsi janti porro omnibus modis, quibus possibile est, has conjung mus definitiones, hoc est, modo binas, modo ternas, m do quaternas &c. sive diversam, sive eandem habuerint naturam, fieri certe nequit, quin hac procedendo via omnes

O 3 etiam

157쪽

116 MEnici NAE MEN Tis etiam veritates, quas per naturam scire datum est, hoc est, cuncta cognoscibilia, seu theoremata, nobis acquiramus. Atque ita nova alia atque alia detegere semper in nostra erit potestate, modo & animus & tempus nobis fuerit talia detegendi. Hoc ostendere secunda hac sectione meum mnino fuit propositum. Est autem hic loci apprime notandum, omnia, quemydmodum de definitionibus & axi matibus supra notavi, certo semper ordine esse conjungemda ; incipiendo nimirum a simplicissimis, hoc est iis, quorum definitiones paucissima continent elementa, seu possibilia, & ascendendo gradatim ad magis composita, hoc est ea, quae subinde plura pluraque requirunt possibilia. Hoc

pacto enim derivatae hinc veritates seu theoremata certum servabunt ordincm, ut adeo tribus quatuorve cognitis e

rum ordo in infinitum pateat, atque sic eadem methodo infinitas semper veritates impetremus. Quin ex duabus inimium definitionibus assumptis, si vel maxime eaedem fuerint, varie junctis, infinita prodibunt; cujus exempla dederunt Euclides aliique Mathematici, qui ex sola linea recta ac ci culo quamplurima krmavere theoremata. Ego ipse jania multos ante annos exercitii gratia ex iisdem subjectis infibnita eduxi theoremata, quae generaliora, pulchriora & in sis admiranda, qtiam illa omnia, quae a veteribus fuerunt demonstrata. Simile quid speciminis loco desiderantibus quaedam theoremata, istas habentia conditiones, aliquando communicavi. Quinimo ex sola recta, si integra cum suis

partibus conseratur, prout ea intres, quatuor&c. partes

divisa supponitur, infinita, & si rite procedas, plane singularia resultant theoremata. Nec arbitror, quenquam jure conquesturum esse, viam ad infinita nova invenienda sibi

satis praemon aram non sui se ; sed existimo, potius menaeam omnlito in hia sectione secunda fidem liberasse, ubi post omnia nec ordinem quidem, quo progrediendum in veritatis inquisitione, reticui, hoc est, docui, quae facilia primum

158쪽

PAR, Sscus C W7 primum qiuerenda sint, & quo pacto paulatirn atque per gradus ad dissiciliora transeundum. Equidem optime &ab aliis dictum est, nullam in veritatis indagatione utiliorem posse dari Regulam illa ipsa, qua semper a facilioribus ad

magis composita gradatim adscendere jubemur: Verum , nescio, an etiam modum, quo sequi eandem haut dissicubter liceat, adeo perspicue ostenderint, ac quidem a me pra sentibus hisce factum esse jam manifestum est. Antequam tamen hanc concludam sectionem, necesse adhuc est , ut ad alia quoque transeam, quae hinc sequuntur, certe non murioris , quam hactenus dicta, momenti. Ι- Notandum, theoremata aliquarido admodum esse 'o si 'generalia, & proinde multa specialia ex iis concludi posse; aliquando etiam alia hinc immediate sequi, licet speciales

eorum casus non sint: quas veritates, ita deductas, distinctioriis gratia Coro aria vocabo. Ex hac corollarii defini, Grea eis tione, quod scilicet theorematis alicujus aut specialis sit c sus, aut consequentia, facile patet, id quandoque demonstratione, quandoque nulla indigere. Etenim si fuerit c sus specialior, tunc necessum est, eum, qui generalem de monstravit casum, eo ipso omnes quoque speciales casus d monstrasse ; & ideo nulla utique indigebit demonstratione: Si vero fuerit consequentia saltem, certe corollarium talo erit demonstrandum, nempe per ipsum theorema, cujus

est consequentia .

Notandum praeterea hoc Ioco est, quod, cum ea, quae hic de theoremate dixi, tam axiomati, quam problemati, de quo mox, accidere quoque possint, his ipsis etiam eadem ratione Corollaria conveniant. r. Aliquis sorte ex hactenus ostensis, qui viderit, me cim Iz-huc usque de definitionibus, axiomatibus, theorematibus, M. .corollariis &ci locutum esse, colliget, me in ea esse opini ne, ad alios n'titia quadam imbuendos omnia eo modo, quo

159쪽

W3 MEDICINAE MEN Tas quo solent Geometrae, demonstranda, hoc est, synthesin ashibendam esse. Quod ad hanc rem attinet, fateor equudem, me satis capere non posse, cur viri ingeniosi hanc praeca teris viam non fuerint amplexi. Quid enim praestantius hac in parte est, quam adversarios, quantumvis pertinaces, ita posse convincere, ut, velint nolint, ad assensum cogat turὶ Et quid magis necessarium, quam in veritatis inquisitione ea, quae jam certo sunt determinata, ab aliis, quae nondum certo determinata, sed probabilia tantum esse deprehenduntur, evidenter distinguere, quo silc tandem inimidium ac dubiorum finis cum omnium acquiescentia ori turi Ast interim tamen via haec discere cupientium animis non satisfacit: hac siquidem ratione veritatem jam inuem tam solum cognoscimus, invictamque eam facimus, quod L

psum etiam veterum Mailaematicorum Unicum erat intei tum, nimirum ut alios de veritatibus suis, quas detexerant,

convincerent: illam autem similia proprio Marte inveniet in Viam, quam Analysin vocant, quamque isti Geometrae plane reticebant, eo ipso non addiscimus. Mea haec est mens, analysin synthesi semper esse jungendam : quemadmodum & in hisce attentus lector potuit observare, me vias

has ambas ea methodo, qua huc usque ita constanter princessi, tam intime conjungere, ut in unam coalescant, atque hac ratione una quasi eademque eVadat methodus. Semper enim tam in definitionibus, quam axiomatibus ac the rematibus genuinam exhibui Viam, quae, quo pacto res in

thodice & tanquam a priori fuerit inventa, ingenue ostendit, nec nudum saltem, quemadmodum alii faciunt, definitionum, axiomatum &c. exhibet numerum. Haec ipsa vero, quibus veri inventionum ita aperiuntur fontes, ac ordinis ratio, seu quomodo omnia continuo nexu cohaereant, ostenditur, quibusque singula ubique ad faciliorem intelligentiam necessaria continentur, ubi opus erit ea bene distingvere, Schiata appellabo.

160쪽

PARs SECuNDA. Ir9 si itaque quaevis ad scientias spectantia hoc etiam modo ab aliis tractarentur, explicari sane vix posset, quantam lectores utilitatem inde percepturi essent. Verum enimvero paucissimi mentem vere generosam habent, parum deIectorum utilitate augmentoque scientiarum soliciti, multum autem in hoc occupati, ut alios in sui admirationem rapere, atque sic propriam, quam impense sectantur, gloriam quovis modo magis magisque stabilire queant , pr ptereaque investigandi viam non tantum nullo modo aliis aperiunt, sed etiam, quantum possitnt, occultare omni in- .dustria student, cum tamen facto hoc & sibi ipsis, eo quod

perituris ac maxime instabilibus fortunae bonis, cujusmodi gloria est, inhient,) & scientiarum augmento minus utilesunt, si non plane noxii. 3. Tandem, quia omne id, quod essicitur, ope alicu- Circa jus veritatis detectae in effectum deducitur, ideo ille, quiveritates quascunque sinu theoremata, eruendi viam cognovit, omnia quoque necessaria hinc essicere procul dubio potest, hoc est, cuncta eo ipso PROBLEMATA sibi acquis rendi habet potestatem. Deinde, qui didicit omnia effecta L per causas sic a priori deducere, uti hactenus ostensum, is poterit quoque, modo inverso, ex datis effectis causas investigare. Quae methodus non, ut plerique credunt, dive sa, sed eadem prorsias est, licet ex applicatione duplici ut duplex spectetur, priorque posteriori multo sit excellentior,& qui priorem novit, posteriorem quoque in potestate nocessario habeat, sed non semper e contrario. Ipsa autem quaecunque solvendi problemata methodus, si, quae modo supra demonstravimus, repetam, in hisce paucis consistit. r. Omnium, quae sic coniuncta , aut conjungenda ad M. ' uiae praesanaeum , natura seu risinitiones cognoscendae sunt, . juxta illa quae circa definitiones superius prolata: qua in re quaedam hic veniunt notanda ad faciliorem solutione

conducentia.