장음표시 사용
151쪽
no MEDICINAE MENTI sdium scilicet A B conferri posse cum ΑG, quatenus nimirum alicubi motum suum mstit, vel ad perpendicularem FA, vel ad rectam AD, quae
eandem rectam cum AB constituit: originem inde , juxta prius, ducit 7. Axioma, angulum B AFaequari angulo F A D , juxta posteriumero
3. Axioma, lineam BD, quae diameter dicitur, per centrum A transeuntem, semper duplam esse radii AB. Αγque ita alia adhuc possent observari. Si quis eadem ratione in Mathesi imi versali, de qua si1-pra, conlideret primo quantitatem in genere, tunc, quia omnia Mathesi reducuntur ad aequalitatem, qua, tanquam simpliciori conceptu, omnes etiam inaequalitates facilό deinde advertimus, porro quantitas considerari poterit, vel in se, tanquam fixum quid, nullam patiens variationem , vel in se , ut mobile quid , patiens aliquam Variationem, vel denique, quatenus reipsa quasi movetur, seu rerum n varum generationes efficit, hoc est, prout cum aliis quantitatibus comparatur; Si quis haec & similia consideret, tria primaria totius Matheseos haberi axiomata Observabit, a quibus omnia, quae in ea concluduntur, unich derivantur.
Horuma est, omnem quantitatem sibi esse aequalem. Umde patet, totum suis partibus sitnae sumptis aequari. Et ' nim totum & omnes partes sunt eadem quantitas , quae idcirco sibi ipsi aequalis est. Hinc sequitur: si totum omnibus suis partibus est aequale , ipsum etiam quibusdam saltem esse majus, hoc est, totum sua parte esse majus, aliaque id
152쪽
χ'R a Equales quantitates ope aliarum quantitatum in qnalium aequaliumque operationum in alias transformari quantitates non minus aequales. Unde sequitur, si aequali
bus aequalia addas, vel ab aequalibus aequalia auferas, vel aequalia per aequalia multiplices, aut dividas M. producta ibu etiam fore aequalia. . t
3μ' Quae eidem aequantur, inter se quoque aequari. Hinc clarum est, ea, quae ejusdem dupla, tripla &c. aut tu dupla, subtripla &c. sunt, etiam fore inter se aequalia. Patet autem, plura his tribus axiomata non dari, nec pluribus opus esse, tum a priori, cum quantitatis cum aequalitate in genere conlideratae, ut modo dixi, non plures dentur relationes, tum a posteriori, per Analytin specim am. Omnia enim theoremata, seu quicquid in Maillesiabsconditum est, nota fiunt Ope aequationum ejuSdem An lyseos. Est autem aequatio talis' in se considerata absquo ulla variatione, nillil aliud, quam quantitas eadem diverso
modo expressa, ac proinde per axioma primum sibi ipsi a qualisbi adeoque quaelibet talis aequatio est primi hujus axi
malis asseveratio. Deinde omnes Variationes, quaS eadems ubit aequatio , cum aliqua ex quantitatibus ad alteram in quationis partem reducitur, nihil aliud liint, quam assirin, tio continua secundi axiomatis. Denique, cum eaedeir , quantitates ex diversis aequationibus sic ad alteram aequati num partem redactic inter se aequantur, indeque novae aequationes exoriuntur, quid hoc aliud est, quam tertii axiom,
tis applicatioὶ Quum vero ex solis hi lce tribus aequationum operationibus, ut Algebrae peritis notum, Omnia ex quibu libea subjectis eruantur illeoremata , hinc vel a posteriori manifestum est, seu ipsa experientia comprobatur, non plinribus, quam tribus his ipsis, nos indigere axiomatibus ad occulta quaecunque in Mati iesi determinanda, utut maxime, simplices, seu nullius momenti velitates primo intuitu esse
153쪽
ua MEDICINAE MENTI sperspicua esse, cum tam manifestis, tamque paucis cuncta iiiperistantur axiomatibus. Spem itaque me, ut praecinptis, ita exemplis satis declarasse, qua ratione axiomata lintinvenienda ; circa quae denique quam optime notandum, maximi interesse, quo ordine ea, si nempe his opus his mus, deducantur. Etenim luc definitiones haud adeo com politae, quae nimirum pauca elementa in sua generation requirunt, priori loco sunt considerandae, ut ita a simplucioribus ad magis compositarum rerum cognitionem gradatim progrediamur. s. Confama. Ex his omnibus patet I. Licet ejusmodi axiomata, mve, ut ab aliis appellantur, communes notioneS, Vel aeter .nae veritates, non si mper ad certum redigi queant num
rum, id quod dissiculter inprimis peragitur, si definitio admodum compositam generationem liabeat 3 ea tamen, ubi de iis cogitandi se offert occasio, non posse ignorari. Sunt enim Omnibus, e quibus Oriuntur, definitionibus sic inelusa, ut unice ab iis dependeant. Si itaque circa alicujus difficultatis enodationem ad illas definitiones attendimus, non possunt non axiomata quoque, cum usu veniunt, nobis esse
manifesta. a. Patet, hoc ipse nullam amplius de axiomatibus s
re disputationem, qualis antehac erat, quando definiebam tur ea, quod essent sententiae omnibus manifestae: item in Ies, quae a nemine possent in dubium vocari: cim tamenta . saepe fieret, ut quaedam a nonnullis tanquam nota assumerentur, quae ab aliis pro talibus non agnoscebantur, verum potius ut dubia reiiciebantur. Nam si axiomatum veritas
a selis pendeat definitionibus, dato aliquo axiomate, illico definitiones, quae ingrediuntur , exhibendae erunt. Si igitur istae definitiones, juxta superius tradita, validae fuerint, non magis de axiomatibus, quam de ipsis definitionibus, ex quibus ortum suum duxere, erit dubitandum, adeoque illa aeque manifesta erunt, ac hae. Si contra definitiones minus
154쪽
non poterunt.' Atque ita habebimus genuinam normam accurate examinandi, quamam in axiomatum numerum possint referri, quaenam nou. Ut taceam, has definitiones, nimirum axiomata esse sententas omnibus manifestas, nullius esse usus, cum neutiquam ostendant, unde nos eadem
proprio Marte invenire queamus, quod tamen ex supra re ditis mox obvium est. 3. Patet quoque hinc, qua ratione non necessaria deis clinentur. Quod fit, si alia non assumantur, quam quae ex definitionibus originem ducunt, & ad rem qtiandam tractandam necessario requiruntur. Ac multi hujus rei ignari , quo sibi de re quadam scientiam aliquam parent, per multa primum talia coacervant axiomata, quae tamen, aris sibi usui sint futura nec ne, pland ignorant. Alii vero non quidem alia, quam quibus ad suas demonstrationes usi fuerunt, in catalogum reserunt, haesitant tamen, annonalia sorte dentur axiomata, quibus res melius ac expeditius d monstretur. Nesciunt utrique, quae sollam sint necessaria, quaque ratione, ubi opus, ejusmodi omnia determinanda, antequam certae se accingant disquisitioni. Haec autem mmnia ex liactenus ostensis clarE & secure, meo quidem j dicio, addistere licet. Multa ex. gr. in Euctidis e mensis 'o currunt axiomata, qtipe nullibi adhibentur, & quibus nullatenus erat opus: quaedam recensentur, quorum definiti nes, quae ipsa ingrediuntur, a principio non fuerunt adhibitae : quaedam tanquam theoremata proponuntur, cum tamen mera sint axiomata. Quantopere vero ab aliis Matheseos ignaris hic aberratum sit, ab iis praecipue, qui A chaeologias , seu ejusmodi scientias condere voluerunt, in quibus similia axiomata, seu juxta illos, prima principiata, vel omnium stientiarum canones commeantur, non sine
singulari delectatione perspiciet ille, qui & haec pauca a me tradita probe perpenderit, & nihilominus tamen, per ea a
155쪽
n MEDICINAE MENTIS tanta confusione penitus liberari se posse, reapse viderit. Confido igitur, me etiam hic satis declarasse, quomodo axi matum ope tali ratione promovenda sit scientia, ut nihil e rum omittatur, quae scitu sunt necessaria.
De Nων-- : Postquam ergo omnes rei tractandae definitiones formavia Db-οῦ ubi νο- mus,easque in se ipsis quoque spectavimus, ultimum,quod ad augendam ulterius scientiam efficere poterimus, est, ut ipsas definitiones inter se etiam jungamus. Junctis ita duabus pluribusve invicem definitionibus, hoc est, diversis naturis, accidit,ut,quae antea separatam constituebant naturam, jam accipiant naturas a se mutuo dependentes; atque ita accidit, ut inde nova natura, seu novum possibile oriatur, vel, si ma-Vis , nova veritas- Et lias veritates tali ratione deductas . . Sisia L imposterum Theoremata vocabo. Sic ex diversa rerum naturalium junctione alia aliaque proveniunt nova. Idem etiam in ὸiversis machinis perspicuum est, compositis ex Mliquibus rotulis, quae, prout varie junguntur, alium atquemum exhibent enectum. Globus D in Ag. 3r. plerumque Vi gravitatis per re actam DE versus i feriora ad Ε tendit:
lique ad horimm rem F B inclinato in C jungatur, Π vam tunc conficiet per CB viam. Cur va item AH DK in A. M. curvae BD Fin D jungatur. Iam re ex curvae AH DK definitione seu n rura omnes rectae GH, CD Sc. certam naturam seu relationem Digiti od by Corale
156쪽
ad rectasAG, AC&c. habebunt. Itideia tam curva BDF mnibus rectis C D, EF &ci juxta hujus curvae definiti
nem , certa relatio erit ad omneS r
Quum Vero cureae jungantur in D, natura rectarum AC, CD dependebit tam a natura curvae AH DK, quam a natu ra curvae BDF, adeoque novam acquiret naturam, quae ab utriuSque curvae natura dependebit, hoc est, novum tunc inde producetur Theorema. Ex tali tradita Theorematum definitione, ipsam e a. Aia tramarum generationem involvente, facillime colligitur, qua ra- infimi M tione ea sint invenienda. Si ex. gr. in adductis modo e emplis rotarum natura seorsim nota sit, & earum conjuncto, deinde attendatur, tunc h vestigio constabit, quis motus ex ita composita machina oriturus sit. Sic ex nat
ra gravis D, deorsum ad perpendiculum tendentis, iter plani AB, nec non globi D, statim colligitur, i um, ubi
ad C pervenerit, per rectam C B esse rotaturum. Nec quinque ignorare poterimus theorema, quod ex conjunction curvarum ΑΗ DK & BDF inter lineas AC & CD ortum , habet, modo istarum curvarum naturam seu definitionem sciamus. Quemadmodum vero docui omnes definitiones primum acquirere circa priora: ita ostendi deinceps, quin modo liinc omnia axiomata sint derivanda. Quodsi jam porro omnibus modis, quibus possibile est, has conjungamus definitiones, hoc est, modo binas, modo ternas, mindo quaternas &c. sive diversiam, sive eandem habuerint naturam , fieri certe nequit, quin hac procedendo via omnes
157쪽
xis MEDICINAE MENTI setiam veritates, quas per naturam scire datum est, hoe est, cuncta cognostibilia, seu theoremata , nobis acquiramus. Atque ita nova alia atque alia detegere semper in nostra rit potestate, modo & munus & tempus nobis fuerit talia detegendi. Hoc ostendere secunda liac sectione meum mnino fuit propositum. Est autem illa loci apprimE notandum, omnia, quemadmodum de definitionibus & axi matibus supra notavi, certo semper ordine esse conjungenda ; incipiendo nimirum a simplicissimis, hoc est iis, quorum definitiones paucissima continent elementa, seu possis bilia, & ascendendo gradatim ad magis compolita, hoc est ea, quae subinde plura pluraque requirunt possibilia. IIoepacto enim derivatae hinc veritates seu theoremata certum errabunt ordinem, ut adeo tribus 'quatuorve cognitis eo
rum ordo in infinitum pateat, atque sic eadem methodo infinitas semper veritates impetremus. Quin ex duabus tantum definitionibus assumptis, si vel maximE eaedem fuerint, varie junctis, infinita prodibunt , cujus exempla dederunt Euclides aliique Mathematici, qui ex sola linearecta ac cis culo quamplurima formavere theoremata. Ego ipse jama multos ante annos exercitii gratia ex iisdem subjectis intanita eduxi theoremata, quae generaliora, pulchriora & magis admiranda, quam illa omnia, quae a veteribus fuerunt demonstrata. Simile quid speciminis loco desiderantibus quaedam illeoremata, Has habentia conditiones, aliquando communicavi. Quinimo ex sola recta, si integra cim fuispartibus conseratur, prout ea in tres, quatuor &c. partes
divisa supponitur, infinita, & si rite procedas, plane stingularia resultant theoremata. Nec arbitror, quenquam jur
conquesturum esse, viam ad infinita nova invenienda sibi satis praemonstratam non fuisse , sed exHimo, potius me meam omnino in li1c sectione secunda fidem liberasse, ubi post omnia nec ordinem quidem, quo progrediendum in veritatis inquisitione, reticui, hoc est, docui, quae facilia
158쪽
primum quaerenda sint, & quo pacto paulatim atque per
gradus ad difficiliora transeundum Equidem optime & ab aliis dictum est , nullam in veritatis indagatione utiliorem posse dari Regulam illa ipsa, qua semper a facilioribus ad magis composita gradatim adscendere jubemur : Veriun nescio, an etiam modum , quo sequi eandem haut dissicubter liceat, adeo perspicuE Ollanderint, ac quidem a me prais sentibus hisce factum esse jam manifestum est. Antequam tamen hanc concludam se stionem, necesse adlluc esti ut ad
alia quoque transeam, quae tunc sequuntur, certi: non mianoris, quam hactenus dicta, momenti. 1. Notandum, theoremata aliquando admodum esses. Consectari
generalia, & proinde multa specialia ex iis concludi posse ἱaliquando etiam alia tunc immediate sequi, licet speciales Corum casus non sint: quas veritates, ita deductas, distimetionis gratia Corolguria vocabo. Ex hae corollarii defini- Ciseis rem . tione, quod scitaei theorematis alicujus aut specialis sit c sus, aut consequentia, DeiIe patet, id quandoque demon stratione, quandoque nulla indigere. Etenim si fuerit casus specialior, tunc necessiim est, eum, qui generalem domonstravit castim, eo ipse omnes quoque speciales casus dein monstrasse; &ideo nulla utique indigebit demonstratione: Si vero fuerit consequentia saltem, certe corollarium talo erit demonstrandum, nempe per ipsum theorema, Cujus est consequentia. Notandum praeterea hoc loco est, quod, curn ea, quae hic de theoremate dixi, tam axiomati, quam problemati, de quo mox, accidere quoque possint, his ipsis etiam eadem ratione Corollaria conveniant. a. Aliquis sorte ex hactenus ossensis, qui viderit, me circ s . . huc usque de definitionibus, axiomatibus, theorernatibus, corollariis &c. Iocutum esse, colliget, me in ea esse opini ne, ad alios notitia quadam imbuendos omnia eo modo quo
159쪽
quo Iolent Geometrae, demonstranda, hoc est,hnuhel in adhibendam ess e. Quod ad hanc rem attinet, fateor equd dem, me satis capere non polle, cur viri ingenioli hanc praecaeteris viam non fuerint amplexi. Quid enim praeliantius hac in parte est, quam adversarioS, quantumvis pertinacta, ita posse convincere, ut, Velint nolint, ad assensum cogantur Et quid magis necellarium, quam in veritatis inquit tione ea, quae jam certo sunt determinata, ab aliis, quae nondum certo determinata, sed probabilia tantum esse deprehenduntur, evidenter distinguere, quo sic tandem inin lilium ac dubiorum tinis cum Omnium acquiescentia oriatur. Ait interiin tamen via liaec discere cupientium animis non satisfacit: hac liquidem ratione veritatem jam inventam tblum cognoscimas, invictamque,eam facimus, quod i-
psum etiaIn veterum Mathematicorum unicum erat inter
tum, nimirum ut alios de veritatibus tuis, quas detexerant, convincerent: illam autem sinulta proprio Marte inveniem di viam, quam Analysin vocant, quamque illi Geometrae plane reticebant, eo iplo non addisclinus. Mea liaec est
mens, analylin synthesi semper esse jungendam : quemadmodum &in litice attentus lector potuit observare, me vias has ambas ea methodo, qua hucusque ira constanter princessi, tam intime conjungere, ut in unam coalescant, atque hac ratione una quati eademque evadat methodus. Sem. per etiam tam in definitionibus, quini axiomatibus ac the rematibus genuinam exhibui viam, quae, quo pacto res methodice & tanquam a priori fuerit inventa, ingenuE ostem dit, nec nudum saltem, quemadmodum alii faciunt, definitionum, axiomatum &c. exilibet numerum. Hax ipsa vero, quibus veri inventionum ita aperiuntur fontes, ac ordinis ratio, heu quomodo omnia continuo nexu cohaereant,
stenditur, quibusque singula ubique ad faciliorem intelligentiam neceisaria continentiae, ubi opus erit ea bene distinguere, appellabo.
160쪽
Si itaque quaevis ad scientias spectantia hoc etiam modo ab aliis tractarentur, explicata sane vix posset, quantam lectores utilitatem inde percepturi essent. Vehim enimvero paucissimi mentem vere generosam habent, parum delectorum utilitate augmentoque scientiarum s Oliciti, multum autem in hoc occupati, ut alios in sui admirationem rapere, atque sic propriam, quani impense s ectantur, gloriam quovis modo magis magisque stabilire queant; pr ptereaque investigandi viam non tantum nullo modo aliis aperiunt, sed etiam, quantum pollunt, occultare omni imdustria student, cum tamen facto hoc & sibi ipsis, eo quod
perituris ac maxime intabilibus fortunae bonis, cujusmodi gloria est, inhient, in & scientiarum augmento minus utiles lint, ii non plane noxii.
. Tandem, quia omne id, quod essicitur, ope alicu- Circ probi
jus veritatis detectae in effectum deducitur, i seo ille, quiveritates quascunque seu illeoremata, eruendi viam cogno-
Vit, Omnia quoque necessaria hinc essicere procul dubio potest, hoc est, cuncta eo ipso PROBLEMATA sibi acquirendi habet potestatem. Deinde, qui didicit omnia effecta l. ad isti per caulas sic a priori deducere, uti tractenus ostensum, is poterit quoque, modo inverso, ex datis effectis causas investigare. Quae methodus non, ut plerique credunt, dive se, sed eadem prorsus est, licet ex applicatione duplici ut duplex spectetur, priorque posteriori multo sit excellentior,&qui priorem novit, posteriorem quoque in potestate necessario habeat, sed non semper E contrario. Ipse autem quaecunque solvendi problemata methodus, sit, quae modo supra demonstravimus, repetam, in hisce paucis consistit. I. Omnium, qua sic conjuncta, aut conjungenda ad ali-,.stia quid praefandum, natura seu definitiones cognscendae sint mem . juxta illa, quae circa definitiones superius prolata: qua in re quaedam hic veniunt notanda ad faciliorem solutionem com